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指数函数
概念：一
般地，函数
y=a^x
（
a
＞
0
，且
a
≠
1
）叫做指数函数，其中
x
是自变量，函数
的定义域是
R
。
注意：⒈指数
函数对外形要求严格，前系数要为
1
，否则不能为指数函数。<
/p>
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质
：
规律：
1.
当两个指数函数中的
a
互为倒数时，两个函数关于
y
轴对称，但这
两个函数都不具有奇偶性。
2.<
/p>
当
a
＞
1
时，底数越大，图像上升的越快，在
y
轴的右
侧，图像越靠近
y
轴；
当
0
＜
a
＜
1
时，底数越小，图像下降的越快，在
y
轴的左侧，图像越靠近
y
轴。
在
y
轴右边
“
底大图高
”
；在
y
轴左边
“
底大图低
”
。
3.<
/p>
四字口诀：
“
大增小减
< br>”
。即：当
a
＞
1
时，图像在
R
上是增函数；
当
0
＜
a
＜<
/p>
1
时，
图像在
R
上是减函数。
4.
指数函数既不是奇函数也不是偶函数
。
比较幂式大小的方法：
1.
2.
3.
4.
当底数相同时，则利用指数函数的
单
调性
进行比较；
当底数中
含有字母
时要注意
分类讨论
；
当底数不同，指数也不同时，则需要
引入中间量
进行比较；
对多个数
进行比较，可用
0
或
1
作为中间量进行比较
底数的平移：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会
向右平移。
在
f(X)
后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数
1.
对数函数的概念
由于指数函数
y=a
x
在定义
域
(-
∞，
+
∞
)
上是单调函数，所以它存在反函数，
我们把指数函数
y=a
x
(a
＞
0
，
a
≠
1)
的反函数称为对
数函数，并记为
y=log
a
x(a<
/p>
＞
0
，
a
≠
1).
因为指
数函数
y=a
x
的定义域为
(-
∞，
+
∞
)
，值域为
(0
，
+
∞
)
，所以对数函
数
y=log
a
x
的
定义域为
(0
，
+
∞
)
，值域为
(-
∞，
+
∞
).
2.
对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为
反函数
，因此它们的图
像
对称于直线
y=x
.
据此即可以画
出对数函数的图像，并推知它的性质
.
为了研究对数函数
y=log
a
x(a
＞
0
，
a
≠
1)
的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log
2
x
，
y=log
10
x
，
y=log
10
x,y=l
og
1
x,y=log
1
x
的草图
2
10
由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对
数函数
y=log
a
x(a
＞
0
，
a
≠
1)
的图像的特征和性质
.
见下表
.
图
象
a
＞
1
a
＜
1
性
质
(1)x
＞
0
(2)
当
x=1
时，
y=0
(3)
当
x
＞
1
时，
y
＞
0
0
＜
x
＜
1
时，
y
＜
0
(4)
在
(0
，
+
∞
)
上是增函数
补
充
性
质
(3)
当
x
＞
1
时，
y
＜
0
0
＜
x
＜
1
时，
y
＞
0
(4)
在
(0
，
+
∞
)
上是减函数
设
y
1
=log
a
x
y
2
=log
b
x
其中<
/p>
a
＞
1
，
b
＞
1(
或
0
＜
a
＜
1
0
＜
b
＜
1)
当
x
＞
1
时“
< br>底大图低
”即若
a
＞
b
则
y
1
＞
y
2
当
< br>0
＜
x
＜
1
时“
底大图高
”即若
a
＞
b
，则
y
1
＞
y
2
比较对数大小的常用方法有：
(1)
若底数为同一常数，则可由对数函数的
< br>单调性
直接进行判断
.
(2)
若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行
分类讨论
.
(3)
若底数不同、真数相同，则
可用
换底公式
化为同底再进行比较
.
(4)
若底数、真数都不相同，则常借助
1
、
0
、
-
1
等
中间量
进行比较
< br>.
3.
指数函数与对数函数对比
名称
一般形式
定义域
值域
函
数
值
变
化
情
况
指数函数
y=a
x
(a
＞
0
，
a
≠
1)
(-
∞，
+
∞
)
(0
，
+
∞
)
当
a
＞
1
时，
对数函数
y=log
a
x(a
＞
0
，
a
≠
1)
(0
，
+
∞
< br>)
(-
∞，
+
∞
)
当
a
< br>＞
1
时
1
(
x
0
)
a
x
1
(
x
0
)
< br>
1
(
x
0
)
当
0
＜
a
＜
1
时，
0
(
x
1
)
log
a
x
0
(
x
1
)
0
(
x<
/p>
1
)
当
0
＜
a
＜
1
时，
1
(
< br>x
0
)
a
x
1
(
x
0
)
1
(
x
0
)
< br>当
a
＞
1
时，
a
x
是增函数；
当
0
＜
a
＜
1
时，
a
x
是减函数
.
< br>
0
(
x
1
)
log
a
x
0
(
x
1
)
0
(
x
1
)
< br>
当
a
＞
1
时，
log
a
x
是增函数；
当
0
＜
a
＜
1
时，
log
a
< br>x
是减函数
.
单调性
图像
y=a
x
的图像与
y=log
a
x
的图像
关于直线
y=x
对称
.<
/p>
幂函数
幂函数的图像与性质
幂函数
y
x
随着
n
的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分
类记忆的方法．熟练掌握
y
< br>x
n
，当
n
2
,
1,
从中可以归纳出以下结论：<
/p>
n
1
1
,
,
3
的图像和性质
，列表如下．
2
3
①
它们都过点
1,1
，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函
数图像都不过第四象限．
1
1
,
,1,
2
,
3
时，幂函数图像过原点且在
0
,
< br>
上是增函数．
3
2
1
③
a
,
1,
2
时，幂函数图像不过原点且在
0
,
上是减
函数．
2
②
a
④
任何两个幂函数最多有三个公共点
．
y
x
n
奇函数
偶函数
非奇非偶函数