两个正整数互质的概率。
炳烛夜读-
任取两个正整数，它们互素的概率为
6/π
²<
/p>
题
构造适当的概率模型证明：从正整数中随机地取两个数，它们互素的概率为
6
。
2
证
设
p
1
,
p
2
,
p
3
,
是从小到大排列的全体素数，即
p<
/p>
1
2
，
p
2
3
，
p
3
5
，„
。
从正整数中任意取一个数，它能被某一素数
p
i
整除的概率为
1
。
p
i
从正整数中任意取两个数，它们同时都
能被素数
p
i
整除、即它们有素数公因子
p
i
的概率为
1
1
1
1
<
/p>
2
，因此，它们没有素数公因子
p
i
的概率为
1
2
。
p
i
p
i
p
i
p
i
所以，任取两个正整数，它们没有任何素数
公因子、即这两个正整数互素的概率为
1
1
2<
/p>
p
i
i
1
1
i
1
1
1
1
p
i
2
1<
/p>
1
1
1
1
2
4
6
p
i
p
i
p
i<
/p>
i
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
1
2
4
<
/p>
)(
1
2
4
)(
1
2
4
)(
1
2
< br>
4
)
2
2
3
3
5
5
7
7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>1
2
2
4
2
2
2
2
6
4
2
2
2
3
< br>2
5
2
3
7
2
3
2
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
4
5
6
7
< br>8
9
10
1
n
n
1
1
2
1
2
< br>6
2
≈
0
.
60792710
。
6
答案是
6/
π
2
。这里
π
就是圆周率
3.1415926........
解：
设任意两个自然数为
a
、
b
，它们互素的概率
为
p
，设一自然数
k
< br>，则
k
为
a
、
b
的公因子的概率为
1/k
2
（即
a
、
b
同时是
k
的倍数的概率）。
令
a=m*k
，
b=n*k
，则“m、
n
互素”的充分必要条件为“k
是
a
、
b
的最大公因
子”。由于在
k
是
a
、
b
的公因子的前提下，
< br>m
、
n
也等价于两个任意自然数
，所