北师大版八年级数学下册知识点总结教学教材
受伤英文-
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八年级下册数学各章节知识点总结
第一章
一元一次不等式和一元一次
不等式组
一
.
不等关系
1.
一般地
,
用符号“
<
”
(
或“≤”
),
“
>
”
(
或“≥”
)
连接的式子叫做不等式
.
2.
区别方程与不等式：方程表示是相等的关系
，不等式表示是不相等的关系。
3.
准确“翻译”不等式
,
正确理解“非负数”
< br>、
“不小于”等数学术语
.
非负数
<===>
大于等于
0
(
≥
0)
<===>
0
和正数
<===>
不小于
0
非正数
<===>
小于等于
0
(
≤
0)
<===>
0
和负数
<===>
不大于
0
二
.
不等式的基本性质
1.
掌握不等式的基本性质
,
并会灵活运用
:
(1)
不等式的两边加上
< br>(
或减去
)
同一个整式
,
不等号的方向不变
,
即
:
如果
a>b,
< br>那么
a+c>b+c, a-c>b-c.
(2) <
/p>
不等式的两边都乘以
(
或除以
)
同一个正数
,
不等号的
方向不变
,
即
如果
a>b,
并且
c>0,
那么
ac>bc,
a
b
. <
/p>
c
c
a
b
c
c
(3)
不等式的两边都乘以
(
或除以
)
同一个负数
,
不等号的方向改变
,
即
:
如果
a>b,
并且
c<0,
那么
ac
2.
比较大小
:
(a
、
b
分别表示两个实数或整式
)
一般地
:
如
果
a>b,
那么
a-b
是正数
;
反过来
,
如果
a-b
是正数
,
那么
a>b;
如果
a=b,
那么
a-b
等于
0;
反过来
,
如果
a-b
等于
0,
那么
a=b;
如果
<
br>组成这 : :
<
br>) <
br>ax>b( 当 且 <
br>解为 <
br>时 : , <
br>;
a
那么
a-b
是负数
;
反过来
,
如果
a-b
是正数
,
那么
a
即
:
a>b
<===>
a-b>0
a=b
<===>
a-b=0
a
<===>
a-b<0
(
由此可见
,
要比较两个实数的大小
,
只要考察它
们的差就可以了
.
三
.
不等式的解集
:
1.
能使不等式成立的未知数的值
,
叫做不等式的解
;
一个不等式的所有解
,
个不等式的解集
;
求不等
式的解集的过程
,
叫做解不等式
.
2.
不等式的解可以有无数多个
,<
/p>
一般是在某个范围内的所有数
,
与方程的
解不同
.
3.
不等式的解集在数轴上的表示
:
用数
轴表示不等式的解集时
,
要确定边界和方向
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①边界
有等号的是实心圆圈
,
无等号的
是空心圆圈
;
②方向
:
大向右
,
小向左
四
.
一元一次不等式
:
1.
只含有一个未知数
,
且含未知数的式子是整式
,
未知数的次数是
1.
像这样的不
等式叫做一元一次不等式
.
2.
解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似
,
特别要注意
,
当不等
式两边
都乘以一个负数时
,
不等号要改
变方向
.
3.
解一元一次不等式的步骤
:
①去分母
;
②去括号
;
③移项
;
④合并同类项
;
⑤系数化为
1(
不等号的改变问题
4.
一元一次不等式基本情形为
或
ax
b<
/p>
;
②当
a=0
时
,
且
b<0,
则
x
取一切实数
;
a=0
时
,
b
≥
0,
a
b
则无解
;
③当
a<0
时
,
x
;
a
①当
a>0
,
解为
x
5.
不等式应用的探索
(
利用不等式解决实际问题
)
列不等式解应
用题基本步骤与列方程解应用题相类似
,
即
①审
:
认真审题
,
找出题中的不等关系
,
要抓住题中的关键字眼
,
如“大于”
、
“小
于”
、
“
不大于”
、
“不小于”等含义
;
②设
:
设出适当的未知数
;
③列
:
根据题中的不等关系
,
列出不等式
;
④解
:
解出所列的不等式的解集
;
⑤答
:
写出答案
并检验答案是否符合题意
.
五
.
一元一次不等式组
1.
定义
:
由含有一个相同未知数的几个
一元一次不等式组成的不等式组
,
叫做一
元一次不等式组
.
2.
一元一次
不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集
.
如
果这
些不等式的解集无公共部分
,
就说
这个不等式组无解
.
几个不等式解集的公共部分
,
通常是利用数轴来确定
.
3.
解一元一次不等式组的步骤
:
(1)
分别求出不等式组中各个不等式的解集
(2)
利用数轴求出这些解集的公共部分
,
即这个不等式组的解集
.
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两个一元一次不等式组的解集的四种情况
(a
、
b
为实数
,
且
x
a
一元一次不
等式
解
集
x>b
图示
叙述语言表达
a
x
b
<
/p>
x
a
x
b
x
a
x
b
x
a
<
/p>
x
b
a
b
两大取较大
x>a
a
b
两小取小
大小交叉中间找 把一个多项式化成几个整式的积的形式
a
a
b
在大小分离没有解
无解
a
b<
/p>
(
是空集
)
第二章
分解因式
一
.
分解因式
1.
,
这种变形叫做把这
个多项式分解因
式
.
2.
因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区别和联系
:
(1)
整式乘法是把几个整式相乘
,<
/p>
化为一个多项式
;
(2)
因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘
.
二
.
提公共因式法
1.
如果一个多项式的各项含有公因式
,
那么就可以把这个
公因式提出来
,
从而将
多项式化成两个
因式乘积的形式
.
这种分解因式的方法叫做提公因式法
.
如
:
ab
ac
a
(
b
c
)
2.
概念内涵
:(1)
因式分解的最后结果应当是“积”
;(
2)
公因式可能是单项式
,
也可
能是多项式
;(3)
提公因式法的理论依据是
乘法对加法的分配律
,
即
:
ma
mb
mc
m
(
a
b
c
)
3.
易错点点评
:(1)
注意项的符号与幂指数是否搞错<
/p>
;(2)
公因式是否提“干净”
;
(3)
多项式中某一项恰为公因式
,
提出后
,
括号中这一项为
+1,
不漏掉
.
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三
.
运用公式法
1.
< br>如果把乘法公式反过来
,
就可以用来把某些多项式分解因
式
.
这种分解因式的
方法叫做运用公式
法
.
2.
主要公式
:
(1)
平方差公式
:
a
2
b
2
(
a
b
)(
a
b
)
(2)
完全平方公式
:
a
2
2
< br>ab
b
2
(
a
b
)
2
<
/p>
a
2
2
ab
b
2
(
a
b
)
2
3.
因式分解要分解到底
.
如
x
4
y
4
(
< br>x
2
y
2
)(
x
2
y
2
)
就没
有分解到底
.
4.
运用公式法
:
(1)
平方差公式
:
①应是二项式或视作二项式的多项式
;
②二项式的每项
(
不含符
号
)
都是一个单项式
(
或多项式
)
的平方
;
③二项是异号
.
(2)
完
全平方公式
:
①应是三项式
;
②其中两项同号
,
且各为一整式的平方
;
③还有一项可正可负
,
且它是前两项幂的底数乘积的
2
倍
.
5.
因式分解的思路与解题步骤
:
(1)
先看各项有没有公因式
,
若有
,
则先提取公因式
;(2)
再看能否使用公式法
;(3)
用分
组分解法
,
即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分
解的目的
;
(4)
因式分解的最后结
果必须是几个整式的乘积
,
否则不是因式分解
< br>;
(5)
因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数
范围内不能再分解为止
.
四
.
分组分解法
:
1.
分组分解法
:
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解
法
.
如
: <
/p>
am
an
<
/p>
bm
bn
<
/p>
a
(
m
n
)
b
(
m
n
)
(
a
b
)(
m
n
)
2.
概念内涵
:
分组分解法的关键是如何分组
,
要尝试通过分组后是否有公
因式可
提
,
并且可继续分解
,
分组后是否可利用公式法继续分解因式
.
3.
注意
:
分组时要注意符号的变化
.
五
.
十字相乘法
:
1.
< br>对于二次三项式
ax
2
bx
c
,
将
a
和
c
分别分解成两个因数的乘积
,
a
a
1
a
2
,
a
1
c
1
c
2
c
c
1
c
2
,
且满足
b
a
1
c
2
a
2
c
1
,
往往写成
a
< br>2
的形式
,
< br>将二次三项式进行分
解
.
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如
:
ax
2
bx
c<
/p>
(
a
1
x
c
1
)(
a
2
x
c
2
)
< br>
2.
二次三项式
x
2
px
q
的分解
:
p
a
b
q
ab
1
1
a
b
x
2
px
q
(
x
a
)(
x
b
)
< br>
x
2
px
q
分解因式时
,
如果常数项
q
3.
规律内涵
:(1)
理解
:
把
是正数
,
那么把它分解成两个同号因数
,
它们的符号与一次项系数
p
的符号相同
.
(2)
如果常数项
q
是负数
,
那么把它分解成两个异号因数
,
其中绝对值较大的因数与
一次项系数
p
的符号相同
,
对于分解的两个因数
,
还要看它们的和是不是等于一次
项系数
< br>p.
4.
易错点点评
:(1
)
十字相乘法在对系数分解时易出错
;(2)
< br>分解的结果与原式不等
,
这时通常采用多项式乘法还原后
检验分解的是否正确
.
第三章
分式
一
.
分式
1.
两个整数不能整除时
,
出现了分数
;<
/p>
类似地
,
当两个整式不能整除时
,
就出现了分
式
.
整式
A
除以整式
B
,
可以表示成
A
A
的形式
.
如果除式
B
中含有字母
,
那么称
为
B
B
分式
,
对于任意一个分式
,
分母都不能为零
.
整式
2.
整式和分式统称为有理式
,
即有
:
有理式
分式
3.
进行分数的化简与运算时
,
常要进行约分和通分
,
其主要依据是分数的基本性
质
:
分式的分子与分母都乘以
(
或除
以
)
同一个不等于零的整式
,
分式的值不变
.
A
A
M
,
B
B
M
A
A
M
< br>
B
B
M
(
M
0
)
4.
一
个分式的分子分母有公因式时
,
可以运用分式的基本性质
,
把这个分式的分
子分母同时除以它的们的公
因式
,
也就是把分子、
分母的公因式约
去
,
这叫做约分
.
二
.
分式的乘除
1.
< br>分式乘以分式
,
用分子的积做积的分子
< br>,
分母的积做积的分母
;
分式除
以分式
,
把
除式的分子、分母颠倒位置
后
,
与被除式相乘
.
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