小学奥数5-1-3-3 数阵图(三).教师版
电脑背景图-
5-1-3-3.
数阵图
教学目标
1.
了解数阵图的种类
2.
学会一些解决数阵图的解题方法
3.
能够解决和数论相关的数阵图问题
知识点拨
.
一、数阵图定义及分类：
1.
定义
：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图
.
2.
数阵是一种由幻方演变而来的数
字图
.
数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封
闭型数阵
图、辐射型数阵图和复合型数阵图
.
3.
二、解题方法：
解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：
第一步：区分数阵图中的普通点
(
或方
格
)
和关键点
(
或方格
)
；
第二步：
在数阵图的少数关键点
(
一
般是交叉点
)
上设置未知数，
计算这些
关键点与相关点的数量关系，
得到关
键点上所填数的范围；
第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数
阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方
法的综合运用．
例题精讲
数阵图与数论
【例
1
】
把
0
—
9
这十个数字
填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差
数列的各项
之和为
55
，那么这个等差数列的公差有
种可能的取值．
【考点】数阵图与数论
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】迎春杯，三
年级，初赛，第
8
题
【
解
析
】
设
顶点分别为
A
、
B
、
C
、
D
、
E
，有
45+
A
+
B
+
C
+
D
+
E
=55
，
所以
A
+
B
+
C
+
D
+
E
=10
，所以
A
、
B
、
C
、
D
、
E
分别只能是
0-4
中的一个数字
.
则除之外的另外
5
个数（即
边上的）为
45-10=35.
设所形成的等差数
列的首项为
a
1
，
公差为
d
.
利用求和公
式
5
（
a
1<
/p>
＋
a
1+4
d<
/p>
）
2=55
，
得
a
1+2
d
=11
，
故大于等于
< br>0+1+5=6
，
且为奇数，只能取
7
、
9
或
11
，而对应的公差
d
分别为
2
、
1
和
0.
经试验都能填出来所以共有
3
< br>中情
况，公差分别为
2
、
1
、
0.
【答案】
2
种可能
【例
2
】
将
1
~
9
填入下图的
○
中，使得任意两个相邻的数之和都不是
3
，
5
，
7
的倍数．
【考点】数阵图与数论
【难度】
4
星
【题型】填空
【
解
析
】
根
据题意可知
1
的两边只能是
3
与
7
；
2
的两边只能是
6
与
9
< br>；
3
的两边只能是
1
、
5
或
8
；
4
的两边只
能是
7
与
9
．可以先将
3
—
1
—
7--
写出来，接下来
7
的后面只能是
4
，
4
< br>的后面只能是
9
，
9
的后面只
能是
2
，
2
的后面只能是
6
，
可得：
3
—
1
—
7
—
4
—<
/p>
9
—
2
—
6--
，还剩下
5
和
8
两个数．由于
6
8
14
是
7
的倍数，所以接下来应该是
5<
/p>
，这样可得：
3
—
1
—
7
—
4
—
9
—
2
—
6
—
5
—
8
—
3
．检验可知这样的填法
符合题意．
【答案】
3
—
1
—
7
—
4
< br>—
9
—
2
—
6
—
5
—
8
—
3
【例
3
】
在下面
8
个圆圈中分别填数字
l
，
2
，
3
< br>，
4
，
5
，
6
，
7
，
8(1
已填出
)
．从
1
开始顺时针走
1
步进入下
一个圆圈，这个圆圈中若填
n
(
n
≤8)
。则从这个圆<
/p>
圈开始顺时针走
n
步进入另一个圆圈．依
此下
去，走
7
次恰好不重复地进入每个
圆圈，最后进入的一个圆圈中写
8
．请给出两种填法．
【考点】数阵图与数论
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】走美杯，<
/p>
5
年级，决赛，第
12
< br>题，
15
分
【解析】
按
顺时针方向：
1,2
，
5,3
，
8
，
7,4
，
6
或
1,5,2
，
4
，
8
，
6
，
7,3
或
1,6,2,3
，
8
，
5
，
7
，
4
或
1,6
，
4
，
2
，
8
，
7
，
5
，
3 (
答对任一种给
6
分，总得分不超过
< br>12)
由于无论如何填
8
都是最
后一个填写，而填之前，已
经走过了
28
步，因为
28÷
8=3
余
4
，即
8
永远只能在最底下的圆圈里。顺推：试算，从
1
到<
/p>
8
顺序
填写发现可以，此时从
1
顺时针为
1
、
2
、
5
、
3
、
8
、
< br>7
、
4
、
6
；逆推：
8
前面的一个填有
2
、
3
、
5
、
6
、
7
共
5
种可能。假设为
2
，如上图，再往前一个数有
3
、
4
、
< br>5
、
7
共
4
种可能，设为
3
，再前推一个
数可能是
4
或
6<
/p>
，设为
4
，
…<
/p>
依次类并排除错误的选择，可得
1
、
5
、
2
、
4
、
8
、
6
、
< br>7
、
3
。
【答案】
1
、
5
、
2
、
4
、
8
、
6
、
7
、
3
。
【例
4
】
在圆的
5
条直径的两端分别写着
1
～
10
（如图）
。
现在请你调整一部分数的位置，
但保留
1
、
10
、
5
、
6
不动，使任何两个相邻的数之和都等于直
径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）
。
【考点】数阵图与数论
【难度】
5
星
【题型】填空
【关键词】走美杯，五
年级，初赛，第
4
题
【
解
析
】
共
6
种
【答案】
【例
5
】
图中是
一个边长为
1
的正六边形，它被分成六个小三角形．将
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
14
、
16
各一个填
入
7
个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成
6
个
菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，
填在菱形的中心
A<
/p>
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
位置上（例如：
a<
/p>
b
g
f
A
）
．已知
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
依次分别能被
2
、
3
、
4
、
< br>5
、
6
、
7
整除，那么
a
< br>g
d
___________
．
【考点】数阵图与数论
【难度】
5
星
【题型】填空
【关键词】迎春杯，六
年级，初赛，第
12
题
【
解
析
】
< br>
先考虑菱形顶点的和为
3
、<
/p>
6
的倍数，
7
个
数被
3
除的余数分别为
1
、
0
、
2
< br>、
1
、
0
、
2
、
1
，
可以得到
中间数
g
< br>8
或
14
，同样分析
5
的倍数，
7
的倍数，得
到具体的填法（如图），
a
g
d
4
8
10
320
评注：采用余数分析法，找到关键数的填法
。
1
3
2<
/p>
6
1
1
2
0
14
F
E
0
4
A
8
D
10
B
C
6
12
【答案】
320
【例
6
】
在如图
所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被
3
整除。请问这
样的填法存在吗
?
如存在，请给出一种填法；如不存在，请说明理由。
16
4
【考点】数阵图与数论
【难度】
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级
，二试，第
18
题，
10
分
【解析】
图
中共有
4
个不同的数，
每个数除以
3
的余数只可能有
0
、
1
、
2
三种，根据抽屉原理可知，这
4
个
数中必然至少存在一对同余的数，那么这两个数的差必然为
3
< br>的倍数，故不存在这样的填法。
【答案】不存在这样的填法
【例
7
】
如图<
/p>
ABC
被分成四个小三角形，请在每个
小三角形里各填入一个数，满足下面两个要求：
(1)
任
2
3
何两个有公共边的三角形里的数都互为倒
数
(
如：
和
是
互为倒数
)
；
(2)
< br>四个小三角形里的数字的
3
2
乘
积等于
225
。
则中问小三角形里的数是
A
B
C
【考点】数阵图
与数论
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，六
年级，初赛，第
3
题，
6
分
【解析】
四
个小三角形共三对相邻三角形，这三对的积都是
1
，所以将这三对数乘起来，得到的积还是
1,
但
1
其中中间的数被乘了
3<
/p>
次
,
如果只乘
1
次那么积为
225
，所以中间的数是<
/p>
.
15
1
【答
案】
15
【例
8
】
（
2010
年第
8
届
走美杯
3
年级初赛第
8
题）
2010
年是虎年，请把
1~11
这
11
个数不重复的填入虎<
/p>
额上的
“
王
”<
/p>
字中，使三行，一列的和都等于
18
【考点】复合型数阵图
【难度】
5
星
【题型】填空
【关键词】走美杯，
3
年级，初赛
【解析】
三
个答案均可
8
1
5
6
2
7
4
3
11<
/p>
5
10
7
9
6
1
4
2
8
3
10
9
11
7
1
4
10
5
2
8
11
6
3
< br>9
三个交叉点数的和是：
<
/p>
1
2
11
4
18
6
，只能是
6
1
2
3
。剩下通过整数分拆即可得到如图
的三种实质不同的答案
【答案】
8
1
5
6
2
7<
/p>
4
3
11
5
10
7
9
6
1
4
2
8
3
10
6
9
5
11
7
1
4
2
8
3
9
11
10
【例
9
】
将
1
～
9
这
9
个数字填入下图的
9
个圆圈内，使得每条线段两端上的两个数字之和各不相同（即可
得到
12
个不同的和）
。
【考点】数阵图与数论
【难度】
5
星
【题型】填空