数列通项公式求法大全
炒白菜的做法-
数列通项公式的十种求法
一、公式法
二、累加法
a
n
1
a
n
f
(
n
)
例
1
已
知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
a
n
2
n
1
，
a
1
1
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
n
n
2
例
2
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
a
n
2
3
n
1
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
< br>}
的通项公式。
（
a
n
3
n
n
1.
< br>）
三、累乘法
a
n
< br>
1
f
(
n
)
a
n
例
3
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n<
/p>
1
2(
n
1)5
n
a
n
，
a
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
（
a
n
3
2
n
1
5
n
< br>(
n
1)
2
n
!.
）
评注：本题解题的关键是把递推关系
a
n
1
2(
n
1
)5
n
a
n
转化为
a
n
a
n
1
a
a
L
3
2
a
1
，即得数列
{
a
n
}
的通项公式。
a
n
1
a
n
2
a
2
a
1
a
n
1
2(
n
1)5
n
，
a
n
进而求出
例
4
已知数列
{
< br>a
n
}
满足
a
1
1
，
a
n
a<
/p>
1
2
a
2
3
a
3
L
(
n
1)
< br>a
n
1
(
n
2)
，求
{
a
n
}
的
通项公式。（
a
n
n
!
.
）
2
评注
：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
(
n<
/p>
1)
a
n
(
n
2)
转化为
a
a
a
a
n
1
n
1(
n
2)
，进而求出
n
n
1
L
3
a
2
，从而可得当
n
2
时，
a
n
的表达
a
n
1
a
n
2
a
2
a
n
式，最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
四、待定系数法
a
n
1
pa
n
q
< br>
a
n
< br>1
pa
n
f
n
a
n
2
pa
n
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）。
例
5
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
2
a
n
3
5
n
，
a
1
6
，求数列
a
n
< br>的通项公式。
（
a
n
2
n
1
5
n
）
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
5
n<
/p>
转化为
从而可知数列
{
< br>a
n
5
n
}
是等比数列，
进而求出数列
{
a
n
5
n
}
a
n
1
< br>5
n
1
2(
a
n
5
n
)
，<
/p>
的通项公式，最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
6
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
3
a
n
5
2
n
4
，
a
1
1
，求数列
{
a
< br>n
}
的通项公式。
（
a
n
13
3
n
< br>
1
5
2
n
2
）
评注：本题解题的关键是把递推关
系式
a
n
1
3
a
n
5
2
n
4
转化为
a
n
1
5
2
< br>n
1
2
3(
a
n
5
2<
/p>
n
2)
，从而
可知数列
{
a
n
5
2
n
2}
是等比数列，进
而求出数列
{
a
n
5
2
n
2}
的通项公式，最后再
求数列
{
a
n
}
的通项公式。
例
7
已知
数列
{
a
n
}
满足
a
n
<
/p>
1
2
a
n
3
n
2
4
n
5
，
a
1
1
，
求数列
{
a
n
}
的通项公式。
（
< br>a
n
2
n
4
3
n
2
10<
/p>
n
18
）
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
2
a
n
3
n
2
4
n
5
< br>转化为
a
n
< br>1
3(
n
1)
2
10(
n
1)
18
2(
a
n
3
n
2
10
n
18)
，从而可知数列
{
a
n
< br>3
n
2
10
n
18}
是等比数列，进而求出数列
{
a
n
3
n
2
10
n
18}
的通项公式，
最后再求出数列
{
a
n
}
的通项公式。
五、
递推公
式为
S
n
与
a
n
的关系式
(
或
S
n
f<
/p>
(
a
n
)
)
S
1
<
/p>
(
n
1
)
解法：这种类型一般利用
a
n
S
n
S
n
1
<
/p>
(
n
2
)
例
8
已知数列
a
n
前
n
< br>项和
S
n
4
a
n
通项公
式
a
n
.
1<
/p>
2
n
2
.
（
1
）求
a
n
1
与
a
n
的关系；（
2
）求
六
例
9
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1
，
a<
/p>
1
3
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
解：
a
n
1
3
a
n
2
3
n
1
两边除以
3
n
1
，得
则
a
n
1
a
n
2
< br>1
，故
3
n
1
3
n
3<
/p>
3
n
1
a
n
1
a
n
2
1
n
n
1
，
n
1
3
3
3
3
1
(1
3
n
1
)
n
a
n
2(
n
< br>
1)
3
2
n
1
1
因此
n
，
1
n
3
3
1
3
3
2
2
3
< br>2
1
1
则
a
n
n
3
n
3
n
.
3
2
2
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n
1
3
a
n
< br>2
3
n
1
转化为
a
n
1
a
n
2
1
，进而求出
n
1
n
n
1
3
3
3
3
(
a
n
a
n
1
< br>a
n
1
a
n
2
a
n
2
a
n
3
a
2
a
1
a
1
a
n
< br>
，即得数列
)
(
)
< br>
(
)
L
(
)
n
的通项
3
n
3
n
1
3
n
1
3
n
2
< br>3
n
2
3
n
3
3
2
3
1
3
3
公式，最后
再求数列
{
a
n
}
的通项公式。
七、对数变换法
（当通项公式中含幂指数时适用）
5
例
10
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
2
3
n
a
n
，
a
1
7
，求数列
{
a
n
}
的通项公式。
5
5
，
a
1
7
，所以
a
n
0
，
a
< br>n
1
0
。在
a
n
1
2
<
/p>
3
n
a
n
解：因为
a
n
1
2
3
n
a
n
式两边
取常用对数得<
/p>
lg
a
n
1
5lg
a
n
n
lg3
lg
2
设
lg
a<
/p>
n
1
x
(
n
1)
y
5(lg
a
n
xn
y
)
○
11
⑩