史上最全的数列通项公式的求法13种经典.doc
海底两万里读书笔记-
最全的数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项
公式的常用方法。
一、直接法
根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
二、
公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项
②
若
已
知
数
列
的
前
n<
/p>
项
和
S
n
与
a
n
的
关
系
，
求
数
列
a
n
的
通
项
a
n
可
用<
/p>
公
式
S
1
n
1
求解
.
a
n
<
/p>
S
n
S
n
1
n
2
(
注意：求完后一定要考虑合并通项
)
例
2
．
①已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
2
a
n
(
1
)
n
,
n
1
．求数列
a
n
的通项公式
.
②已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
满足
S<
/p>
n
n
n
1
，求数列
a
n
的通项公式
.
2
③
已知等比数列
a
n
的首项
a
1
1
，
公比
0
q
1
，
设数列
b
n
的通项为<
/p>
b
n
a
n
1
a
n
2
，
求数列
b
n
的通项公式。
③
解析
：由题意，
b<
/p>
n
1
a
n
2
a
n
3
，又
a
< br>n
是等比数列，公比为
q
∴
b
n
1
a
n
2
a
< br>n
3
q
，故数列
b
n
是等比数列，
b
1
a
< br>2
a
3
a
1
q
a
1
q
2
q
(
q
1
)
，
b
n
a
< br>n
1
a
n
2
∴
b
n
q
(
q
1
)
q
n
1
< br>q
n
(
q
1
)
三、归纳猜想法
如果给出了数列的前
几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想
出数列的通项公式，
然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。
四、累加（乘）法
对于形如
a
n
1
a
n
< br>f
(
n
)
型或形如
a
n
1
f
(
n
)
a
n
型的
数列，我们可以根据递推公式，写出
n
取
1
到
n
时的所有的递推关系式，然后
将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。
例
4.
若
在数列
a
n
中，
a
1
3
，
a
n
1
a
n
n
，求通项
a
n
。
例
5.
在数
列
a
n
<
/p>
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
n
a
n
（
< br>n
N
*
）
，求通项
a
n
。
五、取倒（对）数法
r
a
、
a
n
1
pa
n
这种类型一般是等式
两
边取对数
后转化为
a
n
1
pa
< br>n
q
，再利用
待定系数法
求解
b
、数列有形如
f
(
a<
/p>
n
,
a
n
1
,
a
n
a
n
1
)
0
的关系，可在等式两边同乘以
1
1
,
先求出
,
再求得
a
n
.
a
n
a
n
<
/p>
1
a
n
最新课件
c
、
a
n
1
f
(
n
)
a
n
解法：这种类型一般
是等式
两边取倒数
后
换元
转化为
a
n
1
pa
n
q
。
g
(
n
)
a
n
h
(<
/p>
n
)
a
n
(
n
N
),
求
a
n
.
a
n
< br>
3
例
6.
．设数列
{
a
n
< br>}
满足
a
1
2
,
a
n
1
2<
/p>
例
7
设正项数列
a
n<
/p>
满足
a
1
1
，
a
n
2
a
n
1
（
< br>n
≥
2
）
.
求数列
a
n
的通项公式
.
a
n
a
n
1
a
n
1
n
n
解：
两边取对数得：
log
a
，
log
a
2
1
2
log
2
2
1
2
(log
2
1
)
，设
b
n
log
2
1
，
则
b
n
2
b
n
<
/p>
1
b
n
是以
2
为公比的等比数列，
b
1
log
1
2
1
1
.
n
1
< br>n
1
n
n
b
n
1
2
n
1
2
n
1
，
log
a
1
，
∴
a
n
2
2
，
log
a
2
1
2
2
2
n
< br>1
1
变式
:
1.
已知数列｛
a
n
｝满足：
a
1
＝
求数列｛
a
n
｝的通项公式；
2
、若数列的递推公式为
a
1
3,
< br>1
1
2(
n
)
，则求这个数列的通项公式。
a
n<
/p>
1
a
n
3na
n
－
1
3
（
n
2
，
n
N
）
，且
< br>a
n
＝
2a
n
－
1
＋
n
－
1
2<
/p>
3
、已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
,
n
2
时，
a
n
1
a
n
2
a
n
1
a
n
，求通项公式。
4
、已知数列｛
a
n
｝满足：
a
n<
/p>
a
n
1
,
a
1
1
，求数列｛
a
n
｝的通项公式。
3
a
n
<
/p>
1
1
2
a
n
n
∈
N
，求通项
a
n
．
a
n
2
5
、若数列｛
a
n
｝中，
a
1
=1
，
a
n
1
=
六、迭代法
迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算
.
七、待定系数法：
1
、
通过分解常数，
可转化为特殊数列
< br>{a
n
+k}
的形式求解。
一般地，
形如
a
n
1
=p
a
n
+q
（
p<
/p>
≠
1
，
pq
≠
0
）型的递推式均可通过待定系数法对常
数
q
分解法：设
a
n
1
+k=p
< br>（
a
n
+k
）与原式比较系数
可得
pk
－
k=q
，即
k=
q
，从而得等比数列
{a
n
+k}
。
p
1
例
9
< br>、数列
{a
n
}
满足
a
1
=1
，
a
n
=
1
a
n
1
+1
（
n
≥
2
）
，求数列
{
a
n
}
的通
项公式。
2
说明：通过对常数
1
的分解，进行适当组合，可得等比数列
{<
/p>
a
n
－
2}
，从而达到解决问题
的目的。
练习
、
1
数列
{
a
n
}
满足
a
1
< br>=1
，
3
a
n
1
a
n
7
<
/p>
0
,
求数列
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式。
2
、已知数列
< br>
a
n
满足
a
1
1
，且
a
n
1
3
a
n
2
，求
a
n
．
最新课件
2
、递推式为
a
n
1
p
a
n
q
n<
/p>
1
（
p
、
q
为常数）时，可同除
q
n
1
，得
从而化归为
a
n
< br>
1
pa
n
q
（
p
、
q
为常数）型．
< br>
、
a
n
1
p
a
n
a
n
1
b
，令
n
q
n
1
q
q
n
q
n
例
10
．
已知数列
a
n
满足
< br>a
1
1
，
a
n
3
n
2
a
n
1
(
n
2
)
，
求
a
< br>n
．
a
n
2
a
1
a
n
2
a
n
1
解
：
将
a
n
3
n
< br>2
a
n
1
两边同除
3
n
，得
n
1
n
1
3
3
n
1
3
3
n
3
n
a
n
2
2
< br>2
1
设
b
n
n
，则
b
n
1
<
/p>
b
n
1
．令
b
n
t
(
b
n
1
< br>t
)
b
n
b
n
1
t
3
3
3
3
3
a
2
8
t
3
< br>．条件可化成
b
n
3
(
b
n
1
3
)
，数列
b
n
3
是以
b
1
3
1
3
为首项，<
/p>
3
3
3
a
n
2
8
2
为公比的等比数列．
b
n
3
<
/p>
(
)
n
1
．因
b
n
n
,
3
3
3
3
8
2
a
n
b
n
3
n
3
n<
/p>
(
(
)
n
1
3
)
a
n
3
n
1
2
n
2
．<
/p>
3
3
3
、形如
a
n
1
pa
n
an
b
(
p
1
、
0
，a
< br>0
)
解法：这种类型一般利用
待定系数法
构造等比数列，即令
a
n
1
x
(
n
1
)
y
< br>
p
(
a
n
xn
y
)
，
与已知递推式比较，解出
x
,
y
,
从而转化为
a
n
xn
y
是公比为
p
的等比数
列。
例
11:
设数列
a
n
：
a
1
4
,
a
n
3
a
n
1
2
n
1
,
< br>(
n
2
)
，求
a
n
.
解：
令
a
n
1
x<
/p>
(
n
1)
y
3(
a
n
xn
y
)
a
n
1
< br>
3
a
n
2
xn
2
y
x
<
/p>
化简得：
2
x
2
x
1
2
y
x
1
y
< br>
0
，所以
a
n
1
(
n
1)
3(
a
n
n
)
所以
解得
又因为
a
1
1
5
，所以数列
a
n
n
是以
5
为首项，
3
为公比
的等比数列。
n
< br>1
n
1
a
n
5
3
,
所以<
/p>
a
5
3
-
n
n
n
从而可得
4
、形如
a
n
1
pa
n
an
bn
c
(
p
1
、
0
，a
0
)
解
法
：
这
种
类
型
一
般
利
用
待
定
系
数
法
构
造
等
比
< br>数
列
，
即
令
2
a
n
1
x
(
n
1)
2
y
(
n
1)
c
p
(
a
< br>n
xn
2
yn
c
)
，与已知递推式比较，解出
x
,<
/p>
y
,z.
从
而转
化为
a
n
x
n
yn
c
是公比为
p
的等比数列。
例
12:
设数列
a
n
：
a
1
< br>4,
a
n
3
a
n
1
2
n
<
/p>
1
,(
n
2)
，求
a
n
.
2
2
八：不动点法，形如
a
n
1
< br>pa
n
q
ra
n
h
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