高中数列通项公式经典方法_大全
中国娃歌词-
高中数学：
《递推数列》
经典方法全面解析
类型
1
a
n
1
a
n
f
(
n
)
< br>
解法：把原递推公式转化为
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，利用累加法
(
逐差相加
法
)
求解。
例
:
已知数列
a
n
满足
a
1
，
a
n
1
a
n
类型
2
a<
/p>
n
1
f
(
n
)
a
n
解法：把原递推公式转化为
求解。
<
/p>
例
:
已知数列
a
n
满足<
/p>
a
1
，
a
n
1
例
:
已知
a
1
3
< br>，
a
n
1
2
n
a
n
，求
a
n
。<
/p>
3
n
1
3
n
1
a
n
(
n
1
)
，求
a
n
。
3
n
2
a
n
1
f
(
n
)
，利用累乘法<
/p>
(
逐商相乘法
)
a
n
1
2
1<
/p>
，求
a
n
。
n
2
n
类型
3
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)
0
)
）
。
例
:
已知数列
a
n
< br>
中，
a
1
1
，
a
n
1
2<
/p>
a
n
3
，求
a
n
.
变式
:
递推式：
a<
/p>
n
1
pa
n
f
n
。
解法：
只需构造数列
b<
/p>
n
，
消去
f
n
带来的差异．
类型
4
a
n
1
pa
n
q
n
（其中
p
，
q
均为常数，<
/p>
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
。
（
a
n
1
pa
n
rq
n
< br>,
其中
p
，
q, r
均为常数）
。
例
:
已知数列
a
n<
/p>
中，
a
1
,
a
n
1
a
n
(
)
< br>n
1
，求
a
n
。
5
1
1
6
3<
/p>
2
类型
5
递推
公式为
a
n
2
pa
n
1
qa
n<
/p>
（其中
p
，
q<
/p>
均为常数）
。
特
征根法在求递推数列通项中的运用
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的
求解。
特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解
< br>问题往往是解决数列难题的瓶颈。如：
（
08
年广东高考）
设
p
、
q
为实数，α、β是方程
x
2
-px+q=0
的
两
个
实
数
根
，
数
列
{x
n
}
满
< br>足
x
1
=p,x
2
=p
2
-q,x
n
=px
n-1
-qx<
/p>
n-2
(n=3,4,5
……
)
1
）……………
2
）求数列
{x
n
}
的通项公式。
3
）若
p
< br>1
，
q
，求数列
{x
n
}
< br>的前
n
项的和
s
n
(09
年江西高考
)
各项均为正数的数列
a
< br>n
中
a
1
a
,
b
1
b
,
且对满足
m
<
/p>
n
p
q
的正整数
m
,
n
,
p
,
q
都有
，
1
4
a
p
a
q
a
n
a
m
，
(
1
<
/p>
a
n
)(
1
a
m
)
(
1
a
p
)(
1
a
q
)
1
）当
a
,
b
时，求通项
a
< br>n
。
像上述两道题，如果不能
顺利求出数列的通项公式，就不能继
续做后面的题，想得高分就难，对于那些有可能上重
点大学的绩
优学生来说重点大学之梦就可能是两个字——遗憾。本文就一、
两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式的方法之一——
特征根法的运
用，希望能对部分同学有帮助。
类型一、
递推公式为
a
n
2
pa
n
< br>
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为非零常数）
。
先把原递推公式转化为
a
n
2
x
1
a
n
1
x
2
(
a
n
1
x
1
a
< br>n
)
，其中
x
< br>1
,
x
2
满足
1
2
4
5
x
1
<
/p>
x
2
p
，显然
x
1
,
x
2
是方程
x
2
px
q
0
的两个非零根。
x
1
x
2
q
1
）
如果
a
2
x
1
a
1
0
，则
a
n
2
x
1
a
n
1
0
，
a
n
成等比，很容易
求通
项公式。
2
）
如果<
/p>
a
2
x
1
a
1
0
，则
{
a
n
2
< br>x
1
a
n
1
}
成等比。公比为
x
2
，
所以
a
n
1
x
1
a
n
(
a
2
x
1
a
1
< br>)
x
2
n
1
，转化成：
a
n
1
x
2
n
1
x
1
a
n
(
a
2
< br>x
1
a
1
)
，
n
2
x
2
x
2
a
n
1
x
2
n
1
( I )
又如果
x
1
x
2
，则
{
a
n
1
x
2
n
1
}
等差，公差为
(
a
2
x
1
< br>a
1
)
，
所以
a
2
n
1
即：
(
n
1
)(
a
2
x
1
a
1
)
，
a
n
1
[
a
2
(
n
1
)(
a
2
x
1
a
1
)]
x
2
1
a
n
[
a
2
(
a
x
1
a
1
)
n
1
< br>(
n
2
)
2
]
x
2
可
以<
/p>
整
理
成
通
式
：
x
2
x
2
n
1
a
n
(
A
Bn
)
x
2
Ii)
如果
x
1
x
2
，则令
a
n
1
x
2
n
1
b
n
1
，
x
1
A
，
(
< br>a
2
x
1
a
1
)
B
,
就有
<
/p>
x
2
b
n
1
Ab
n
B
，利用待定系数
法可以求出
b
n
的通项公式
b
n
a
1
x
2
(
1
x
2
)
x
1
n<
/p>
1
(
a
2
x
1
a
1
)
x
2
(
)
x
1
x
2
x
2
x<
/p>
1
x
2
a
1
x
2
(
1
x
2
)
x
1
n
1
(
a
2
x
1<
/p>
a
1
)
x
2
n
2
(
)
]
x
2
，化简整理得：
x
1
x
2
x
2
x
1
x
2
所以
a
n
[
a
n
a
1
(
1
x
2
)
n
1
a
1
x
1
a
2
n
< br>1
x
1
x
2
，
x
1
x
2
x
1
x
2
小结特征根法
：对于由递推公式
a
n
2
< br>
pa
n
1
qa
n
，
a
1
,
a
2
给出的数列
a
n
，方程
x
2
px
<
/p>
q
0
，叫做数
列
a
n
<
/p>
的特征方程。若
x
1
,
x
2
是
特
征
方
程
的<
/p>
两
个
根
，
当
x
1
x
2
时
，
数
列
a
n
的
通
项
为
n
1<
/p>
a
n
Ax
1
n
1
Bx
2
，其中
A
，
B
由
a
1
,
a
2
决定（即把
a
1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
和
n
1<
/p>
，得到关于
A
、
B
的方程组）
；当
x
< br>1
x
2
n
1
,
2
，代入
a
n
Ax
1
n
<
/p>
1
Bx
2
时，数列
a
n<
/p>
的通项为
a
n
(
A
Bn
)
x
2
n
1
，其中
A
，
B
由
a
1
,
a
2
决
定（即把
a
< br>1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
和
n
1
,
2
，代入
a
n
(
A
Bn
)
x
2
n
1
，得到关于
A
、
B
的方程组）
。
简例应用
（特征根法）
：
数列
a
n
：
3
a
n
2
5
a
n
1
2
a
n
0
(
n
< br>
0
,
n
N
)
，
a
1
a
,
a
2
b
的特征方程是：
3
x
2
5
x
2
0
x
1
1
,
x
2
< br>
2
,
3
2
n
1
a
n
Ax
1
n
1
Bx
2
A
B
(
)
n
1
。又由
a
1
a
,
a
2
b
，于是
3
a
A
B
A<
/p>
3
b
2
a
2
故
a
n
3
b
2
a
3
(
a
b
)(
)
n
1
2
3
b
A
B
B
< br>
3
(
a
b
)
3
下面再看
特征根法在
08
年广东高考题中的应用：
设
p
、
q
为实数，α、β是方程
x
2
-px+q=0
的两个实数根，数列
{x
n
}
满足
x
1
=p,x
2
=p
2
-q,x
n
=p
x
n-1
-qx
n-2
(n=3,4,5
……
)
1
）……………
2
< br>）求数列
{x
n
}
的通项公式。
3
）若
p
1
，
q
，求数列
{x
n
}
的前
n
项的和
s
n
解：<
/p>
2
）
显然
x
n
=px
n-1
-
qx
n-2
(n=3,4,5
……
)
的特征根方程就是
x
2
-px+q=0
，而α、β是方程
x
2
-px+q=0
的两个实数根，
所以可以
直接假设：
⑴
当α
=<
/p>
β时，设
x
n
(
A
Bn<
/p>
)
n
1
，因为
x
1
=p,x
2
=p
2<
/p>
-q
，所以
2
P
P
2
q
A
A
B
p
< br>
解得
<
/p>
2
2
P
q
p
(
A
2
B
)
p
q
B
<
/p>
x
n
1
4
{
2
p
p
2
q
(
p
2
q
p<
/p>
)
n
}
n
2
⑵
当
时，设
x
n
A
n
1
B
n
< br>1
，因为
x
1
< br>=p,x
2
=p
2
-q
，所以
A
B
p
p
2
p
q
p
2
p<
/p>
q
解得
A
，
B
<
/p>
2
A
B
p
q
p
2
p
q
n<
/p>
1
p
2
p
q
n
1
+
x
n
<
/p>
3
）
p
1
，
q
时，
，由第
2
）
小题的⑴项可以直接得到
A
B
x
n
(
n
<
/p>
1
)
小题。
<
/p>
本题是
08
年广东高考真题，开始前两问
均以字母的形式出
现，给考生设置了接题障碍，如果在考前曾经学过
特征根法
，记
住公式，那本题对这同学来说无疑是几分种的
事情，或对特征根
1
2
1
，
可以用错位相减法求和顺利拿下第
3
）
2
n
1
< br>4
1
2