裂项法
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裂项法
（一）
同学们知道：在计算分数加减
法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母
分数后再计算。
（一）阅读思考
例如
，这里分母
3
、
4
是相邻的两个自然数，公分
母正好是它们的乘积，把
这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：
即
或
下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
例
1.
计
算
：
分析与解答：
上面
12
个式子的右面相加时，
很容易看出有许多项一加一减正好相互抵
消变为
0
，
这一
来问题解起来就十分方便了。
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分<
/p>
数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例
2.
计算：
公式的变式
当
分别取
1
，
2
，
3
，……，
100
时，就有
例
3.
设符号（
）、
<
>
代表不同的自然数，问算式
号所代表的数的数的积是多少？
中这
两个符
分析与解：
减法是加法的逆运算，
面提到的等式
方法
就变成
，与前
另外一种
便可找到一组解，
即
相联系，
设
得算式
都是自然数，且
。
，当
时，利用上面的变加为减的想法，
这里
入上式得
又因为
是个单位分数，所以
，即
一定大于零，假定
。
，则
< br>，代
是自然数，所以
一定能整除
，即
是
的约数，
有
个
就有
个
，
这
，
，
一来我们便得到一个比
是
的约数时，一定有
，即
更广泛的等式，即当
上面指出
当
，
，
是
的约
数时，一定有
，这里
，
36
共有
1
，
2
，
3
，
4
< br>，
6
，
9
，
12
，
18
，
36
九个约数。
当
当
当
当
时，
时，
时，
时，
，
，
，
，
当
当
当
当
当
时，
时，
时，
时，
时，
，
，
，
，
，
故（
）和
<
>
所代表的两数和分别为
49
，
32
，
27
，
25
。
【模拟试题】
二
.
尝试体验：
1.
计算：
2.
计算：
3.
已知
是互不相等的自然数，当
时，求
。
【试题答案】
1.
计算：
2.
计算：
3.
已知
是互不相等的自然数，当
时，求
。
的值为：
75
，
81
，
96
，
121
，
147
，
< br>200
，
361
。
因为
18
的约数有
1
，
2
，
3
，
6
，
9
，
18
，共
6
个，所
以有