关于费波那契数列
充满希望的图片-
关于斐波那契数列
1
．
斐波那契数列
斐波那契（
Fibonacci
）在所著的《算盘书》中，提出了一个著名而有趣的
兔子问题。有
个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对
兔子关在里面。
已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就
开始生小兔子。假
如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？
现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有
一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对
兔子，一对成年
，一对未成年；到第三个月，第一对兔子
生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子
，二对成
年，一对未成年。月月如此。
第
1
个月到第
6
个月兔子的对数是：
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
。
我们不难发现，上面
这组数有这样一个规律：即从第
3
个数起，每一个数都是前面两
个
数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第
12
个数，就得：
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，
21
，
34
，
55
，
89
，
144
，
233
。
显然，第
12
个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内
1
对兔子能繁殖成
233
对。
在解决这个有趣的代数问题过程中，
斐波
那契得到了一个数列。
人们为纪念他这一发现，
在这个数列前面
增加一项“
1
”后得到数列：
1
，
1
，
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，
21
，
34
，
55
，
89
，„„
叫做“
斐波那契数列
”
(Fibonacci
Sequence)
，这个数列的任意一项都叫做“
斐波那契数
”。
这个数列可以由下面递推关系来确定：
它的第
100
项；第
1000
项是什么呢？
a
100
3542248485
；
a
1000
4346655768693745643568852767566
05173
72
5532733224711
6164299644
938298969649928516
377955
(209
位数
)
怎样计算的呢？笔算或
用计算器计算是不可能的，是用电脑软件来完成的。
2.
电脑软件计算斐波那契数列的第
N
项
流程图：
源代码：
问题：
请尝试分别用
Microsoft
Office
中的
Excel
和几何
画板中的迭代，制作斐波那契
数列的若干项，并评价这些软件在求斐波那契数中的局限性。
3
.
斐波那
契其人
斐波那契
(Leonardo
Fibonacci,
约
1175-
约
1240)
是意
大利的一位著名数
学家，也许是在生活在丢番图
(Diophantos)
之后费
尔马
(Pierre de Fermat)
之前，这
2000
年间欧洲最杰
出的数论学家。我们对他
的生平知道得很少。他出生在意大利
那个后来因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在
的城市
里，现在那里还有他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在
北非和欧洲旅行，大概就是由此而学习到了世界各地不同的算
术体系。
在他最重要的著作
《算盘书》
（
Liber
Abaci
，
写于<
/p>
1202
坐落在意大利比萨的斐波那契雕
年）中，引进了印度
-
阿拉伯数码（包
括
0
）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余
方程方面有重要贡献。
4.
斐波那契数列与教材数列的关系
说起
数列，为大家所熟悉的是等差数列和等比数列，我们自然会问斐波那契数列是等差
数列还
是等比数列？显然都不是。那么，如何来求斐波那契数列的通项公式和前
n
项和的公
式呢？
现在我们把斐波那契数列推广到一般的形式：
(
m
R
且
m
0)
a
1
a
2
m
a
n
2
a
n
a
n
< br>1
(
n
r
3)
(1)
(2)
称其为费氏数列，
（
1
）为初
始条件，
（
2
）为递推关系，当
m=1
时，就是斐波那契数列。
这样，费氏数列
a
n<
/p>
(
n
r
2)
可以是等比数列而非等差数列。
设费氏等比数列是
a
n
mq
n
1
则有
mq
n
1<
/p>
mq
n
1
mq
n
两边除以
mq
n<
/p>
1
得
q
2
1
q
（
3
）
解方程（
3
）得两根为
q
1
1
5
1
5
、
q
2
2
2<
/p>
所以，等比的费氏数列有下列两种：
1
5
1
5
1
5
m
,
< br>m
,
m
,
,
m
2
2
2
< br>1
5
1
5
1
5
m
,
m
,
m
,
,
m
2
< br>
2
2
其中，
2
2
n
1
n
1
1
5
1
5
，
1.618
（是黄金分割）
0.618
2
< br>2
问题
：
（
1
）费氏数列不是等差数列请同学们来完成。
（
2
）两个不同的费氏数列的线性组合是否还是费氏数列？
<
/p>
1
5
即
a
n
p
2
n
1
1
5
<
/p>
q
2
n
1
是否为费氏数列？
下面我们来推导斐波那契数列的通项公式：
< br>
1
5
因为费氏数列的一般形式是；
a
n
p
2
当初始条件
a
1
a
2
1
时是斐波那契数列
n
1
1<
/p>
5
q
2
n
1
1
5
1
5
所以有
<
/p>
1
p
1
q
2
2
化间得
p
q
1
0
0
1
5
1
< br>5
p
q
2
2
1
1
p
< br>q
解得
p
5
p
q
2
1
5
1
5
q
2
5
2
5
于是
得斐波那契数列的通项公式为：
n
n
5
1
5
1
5
< br>
a
n
5
2
<
/p>
2
这个通项公式首先由法国数学家比内证明
的，
通称比内公式。
令人惊奇的是，
比
内公式中的
a
n
是以无理数的幂表示的
，然而这所得的结果完全是整数。前面我们已经知道
a
1000
的值，如果
用通项公式计算会是怎样？