斐波那契螺旋(黄金分割)
张戈-
斐波那契
(Leonardo Fibonacci,
约
1175-
约
1240)<
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也许是在生活在丢番
图
(Diophantos)
之后费尔马
(Pierre
de Fermat)
之前这
2000
年间欧洲最杰出
的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他
出生在意大利那个后来
因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔
所在的城市里，现在那里还有
他的一座雕像。他年轻是跟随经
商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就
是由此而学习到了世界各
地不同的算术体系。在他最重要的著作《算
盘书》（
Liber Abaci
，写
于
1202
年）中，引进了印度
-
阿拉伯数码（包
括
0
）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要
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贡献。
坐落在意大利比萨的斐波那契雕像
数学中有一个以他的名字命名的著名数列：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55, 89, 144, 233,
……
从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在
他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对
兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三
个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，
一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第
n
个月时的
兔子数就
是斐波那契数列的第
n
项。斐波那契数列和黄金分割数有很密<
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切的联系。
斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘
书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。
但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了
为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在
这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏
大自然的造化。
在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不
到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒
草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果
从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向
的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一
种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下
面这个
图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，
顺时针旋转的
具有
13
条顺时针旋转和
21
条逆时针旋转的螺
旋的蓟的头部
（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有
13
条，而逆时针旋转的则有
21
条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。
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具有
13
条
逆时针旋转和
21
条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让
人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点
击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心
菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管
这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契
序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为
斐波那契螺旋
。