高数公式大全(记忆篇)
高山族-
高等代数
—
兼听则明，偏信则暗
姓名：飞哥
班级：
数应
2
班
高等数学公式
·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形
ABC
中
,
角
A
的
正弦值就等于角
A
的对边比斜边
,
余弦等于角
A
的邻边比斜边
正切等于对边比邻边
,
·三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ
-
sinα·sinβ
cos
(α
-
β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1
-
tanα·tanβ)
< br>tan(α
-
β)=(tanα
-
tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+c
osα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ
-
sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=
cosα·cosβ·cosγ
-
cosα·sinβ·sin
γ
-
sinα·cosβ·sinγ
-
sinα·sinβ·cosγ
第
1
页
共
2
页
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ<
/p>
-
tanα·tanβ·tanγ)/(1
-
tanα·tanβ
-
tanβ·
tanγ
-
tanγ·tanα)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)
sin(α+t)
，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+B
cosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α
-t)
，
tant=A/B
·倍角公式：
·三倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
sin(3α)=3sinα
-
4sin^
3(α)
cos(2α)=cos^2(α)
-
sin^2(α)=2cos^2(α)
-1=1
-
2sin^2(α)
cos(3α)=4cos^3(
α)
-
3cosα
tan(2α)=2tanα/[1
-
tan^2(α
)]
·半角公式：
sin(α/2)=±√((1
-
cosα)/2)
cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)
tan(α/2)=±√((1
-<
/p>
cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1
< br>-
cosα)/sinα
·降幂公式
sin^2(α)=(1
-c
os(2α))/2=vers
in(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2(α)=(1
-
cos(2α))/(1+cos(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1
-
< br>tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
< br>tanα=2tan(α/2)/[1
-
tan^2(α
/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α
-
β)]
cosα·sinβ=(1/2)[
sin(α+β)
-
sin(α
-
β)]
cosα·cosβ=(1/2
)[cos(α+β)+cos(α
-
β)]
sinα·sinβ=
-
(1/2)[cos(α+β)
-
cos(α
-
β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α
-
β)/2]
第
2
页
共
3
页
sinα
-
sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α
-
β)/
2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]c
os[(α
-
β)/2]
cosα
-
cosβ=
-
2sin[(α+β)/2]sin[(α
-
β
)/2]
·推导公式
tanα+cotα=2/sin2α
tan
α
-cot
α
=-2cot2
α
1+cos2α=2cos^2α
1-
cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2
·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π
*3/n)+……+sin[α+2π*(n
-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2
/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n
-1)/n]=
0
以及
sin^2(α)+sin^2(α
-
2π/3)+sin^2
(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
三角函数的角度换算
[
编辑本段
]
公式一：
设
α
为任意角，终边相同的角的同一三
角函数的值相等：
sin
（
2kπ
＋
α
）＝
sinα
co
s
（
2kπ
＋
α
）＝
cosα
< br>tan
（
2kπ
＋
α
）＝
tanα
cot
（
2kπ
＋<
/p>
α
）＝
cotα
公式二：
设
α
为任意
角，
π+α
的三角函数值与
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（
π
＋
α
）＝－
sin
α
cos
（
π
＋
α
）＝－
c
osα
tan
（
< br>π
＋
α
）＝
tanα
cot
（
π
＋
α
）＝
cotα
公式三：
任意角
α
与
-
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（－
α
）＝－
sinα
cos
（－
α
）＝
c
osα
tan
（－
α
）＝－
tanα
cot
（－
α
）＝－
cotα
公式四：
第
3
页
共
4
页
利用公式二和公式三可以得到
π
-
α
与
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（
π
－
α
）＝
sinα
cos
（
π
－
α
）＝－
c
osα
tan
（
π
－
α
）＝－
tanα
cot
（
π
－
α
）＝－
cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到
2π
-
α
与
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（
2π
－
α
）＝－
sinα
cos
（
2π
－
α
）＝
cosα
tan
（
2π
－
α
）＝
－
tanα
cot
（
2
π
－
α
）＝－
cotα
公式六：
π/2±α
及
3π/2±α
与
α
的三角函数值之间的关系：
sin
（
π
/2
＋
α
）＝
cosα
cos
（
π/2
＋
α
）＝－
sinα
tan
（
π/2
＋
α
）
＝－
cotα
< br>cot
（
π/2
＋
α
）＝－
tanα
sin
（
π/2
－
α
）＝
cosα
cos
（
π/2
－
α
）＝
sinα
tan
（
π
/2
－
α<
/p>
）＝
cotα
cot
（
π/2
－
α
）
＝
tanα
sin
（
3π/2
＋
α
）＝－
cosα
cos
（
3
π/2
＋
α
）＝
sinα
< br>tan
（
3π/2
＋
α
）＝－
cotα
cot
（
3π/2
＋
α
）＝－
tanα
sin
（
3π/2
－
α
）＝－
cosα
cos
（
3
π/2
－
α
）＝－
sinα
tan
（
3π/2
－
α
）＝
cotα
cot
（
3π/2
－
α
）＝
tanα
(
< br>以上
k
∈
Z)
部分高等内容
[
编辑本段
]
·高等代数中三角函数的指数表示
(
由泰勒级数易得
)
：
< br>
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tan
x=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展开有无穷级数，
e^z=exp(z)
< br>＝
1
＋
z/1
< br>！＋
z^2/2
！＋
z^3/3
！＋
z^4/4
！＋
< br>…
＋
z^n/n
！＋
…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·
三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组
< br>y=-y'';y=y''''
，有通解
Q,
可证明
Q=Asin
x+Bcosx
，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数
——
双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
特殊三角函数值
第
4
页
共
5
页
a 0` 30` 45` 60` 90`
sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1
cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0
tana 0 √3/3 1 √3 None
cota None √3 1 √3/3
0
导数公式：
(
tgx
)
sec
x
(
ctgx
)
< br>
csc
2
x
< br>(sec
x
)
sec
x
tgx
(csc
x
)
csc
x
ctgx
(
a
x
)
a
x
ln
a
1
(log
a
x
)
x
ln
a
基本积分表：
2
(arcsin
x
)
1<
/p>
1
x
2
1
(arccos
x
)
1<
/p>
x
2
1
(
arctgx
)
1
x
2
1
(
arcct
gx
)
1
x
2
tgxdx
ln
cos
x
C
ctgxdx
< br>
ln
sin
x
C
sec
xdx
ln
sec
x
tgx
C
csc
xdx
ln
csc
x<
/p>
ctgx
C
dx
1
x
<
/p>
arctg
C
a
2
x<
/p>
2
a
a
dx
1
x
a
ln
x
2
a
2
2
a
x
a
C
dx
1
a
x
a
2
x
2
2
a
ln
a
x
C
dx
x
arcsin
C
a
2
x
2
a
2
n
dx
2
< br>
sec
cos
2
x
xdx
tgx
C
dx
2
csc
sin
2
x
xdx
ctgx
C
sec
x
tgx
dx
sec
x<
/p>
C
csc<
/p>
x
ctgxdx
csc
x
C
a
x
a
dx
ln
a
C
x
shxdx
c
hx
C
c
hxdx
shx
< br>C
dx
x
2
a
2
ln(
x
x
2
a
2<
/p>
)
C
2
I
n
sin
xdx
cos
n
xdx<
/p>
0
0
n
1
I
n
2
n
x
2
a
2
2
x
a
dx
x
a
ln(
x
x
2
a
2
)
C
2
2
x
2
a
2
< br>2
2
2
x
a
dx
x
a
ln
x
x
2
a
2
C
2
2
x
2
a
2
x
< br>2
2
2
a
x
dx
a
x
ar
csin
C
2
2
a
2
2
第
5
页
共
6
页
三角函数的有理式积分：
2
u
1
u
2
x
2
du
sin
x
，
cos
x
，
u
tg
，
dx
2
2
2
2
1
< br>
u
1
u
1
u
一
些初等函数：
两个重要极限：
< br>e
x
e
x
双曲正弦
:
shx
2
e
x
e
x
双曲余弦
:
chx
< br>
2
shx
e
< br>x
e
x
双曲正切
:
thx
chx
e
x
e
x
arshx
ln(
x
x
2
1
）
archx
ln(
x
x
2
1
)
1
1
x
arthx
ln
2
1
< br>x
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角
A
sin
lim
sin
x
1
x
0
x
1
lim
(
1
)
x
e
<
/p>
2
.
7182818284
59045
...
x
x
cos
tan
cot
第
6
页
共
7
页
-
α
90°
-
α
90°
+
α
180°
-
α
180°
+
α
270°
-
α
270°
+
α
360°
-
α
360°
+
α
-
sinα
cosα
cosα
cosα
sinα
sinα
-tan
α
-cot
α
cot
α
tan
α
-
sinα
-cot
α
-tan
α
-
cosα
-tan
α
-cot
α
cot
α
tan
α
-
sinα
-
cosα
tan
α
-
cosα
-
sinα
cot
α
-
cosα
sinα
-
sinα
cosα
sinα
cosα
-cot
α
-tan
α
-tan
α
-cot
α
tan
α
cot
α
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin(
)
sin
cos
cos
sin
cos(<
/p>
)
cos
cos<
/p>
sin
<
/p>
sin
tg
(
)
tg
tg
1
tg
tg
c
t
g
c
t
< br>g
1
c
t
g
(
)
c
t
g
c
t
g
s
i
n
< br>
s
i
n
2
s
i
n
2
2
s
i
n
< br>
s
i
n
2
c
o
s
s
i
n
2
2
c
o
< br>s
c
o
s
2
c
o
s
c
o
s
2
2
c
o
< br>s
c
o
s
2
s
i
n
s
i
n
2
2
c
o
s
·倍角公式：
s
i
n
2
2
s
i
n
c
o
s
2
2
c
o
2
s
<
/p>
2
c
o
2
s
1
1
2
s
i
n
c
o
2
s
s<
/p>
i
n
3
s
i
n
3
3
s
i
n
4
s
i
n
ctg
2
1
ctg
2
2
ctg
2
tg
t
g
2
1<
/p>
tg
2
·半角公式：
c
o
3
s
4
c
o
3
s
< br>3
c
o
s
3
tg
tg
3
t
g
3
1<
/p>
3
tg
2
s
i
n
2
tg
1
c
o
s
1
c
o
s
c
o
s
2
2
2
1
c
o
s
1
c
o
s
s<
/p>
i
n
1
c
o
s
1
c
o
s
s
i
n
c
t
g
1
c
o
s
s
i
n
1
< br>
c
o
s
2
1
c
o
s
s
i
n
1
c
o
s
2
< br>
第
7
页
共
8
页
·正弦定理：
a
b
c
2
R
sin
A
s
in
B
sin
C
2
2
2
·余弦定理：
c
a
b
2
ab
cos
C
·反三角函数性质：
arcsin
x
高阶导数公式——莱布尼兹（
Le
ibniz
）公式：
2
arccos
x
arctgx
2
arcctgx
(
uv
)
(
n
)
k
(
n
k
)
(
k
)
< br>
C
n
u
v
k
0
n
u
(
n
)
v
nu
(
n
1
)
v
中值定理与导数应用：
n
(
n
1
)
(
n
2
)
n
(
n
1
)
< br>(
n
k
1
)
(
n
k
)
(
k
)
u
v
u
v
< br>
uv
(
n
)
2
!
k
!
拉
格<
/p>
朗
日
中
值
定
理
f
(
b
：
)
f
(
a
)
f
(
)(
b
a
)
f
(
b
)
f
(
a
)
f
(
)
柯
西
中
值
定
理
：
F
(
b
)
< br>F
(
a
)
F
(
)
曲率：
当
F
(
x
)
x
时
，
柯
西
中
值
< br>定
理
拉
就
格
是
朗
日
中
值
定
理
。
弧微分公式：
ds
1
y
2
dx
,
其中
y
tg
<
/p>
平均曲率：
K
.
<
/p>
:
从
M
点到
M
点，切线斜率的倾角变
化量；
s
：
M
M
弧长。
s
y
d
M
点的曲率：
K
lim
.
2
3
s
0
<
/p>
s
ds
(
1
y
)
直线：
K
0
;
1
半径为
a
的圆：
K
.
a
定积分的近似计算：
第
8
页
共
9
页
b
矩形法：
f
(
x
)<
/p>
a
b
b
a
(
y
0
y
1
y
n
1
)
n
b
a
1<
/p>
[
(
y
0
y
n
)
y
1
y
n
1
]
n
2
b
a
[(
y
0
y
n
)
2
(
y
2
y
4
< br>
y
n
2
)
4
(
y
1
y
3
y
n
1
)]
3
n
梯形法：
f
(
x<
/p>
)
a
b
抛物线法：
f<
/p>
(
x
)
a
定积分应用相关公式：
< br>功：
W
F
s
水压力：
F
< br>
p
A
m
m
引力：
F
k
1
2
2
,
k
为引力系数
r
b
1
函数的
平均值：
y
f
(
x
)
dx
b
a
a<
/p>
1
均方根：
f
2
(
t
)
dt<
/p>
b
a
a
空间解析几何和向量代数：
b
空间
2
点的距离：
d
M
1
M
2
(
x
2
x
1
)
2
(
y
2
y<
/p>
1
)
2
(
z
2
z
1
)
2
向量在轴上的投影：
Pr
j
u
AB
AB
cos
,
是
AB
与
u<
/p>
轴的夹角。
Pr
j
u
(
a
1
a
2
)
Pr
j
a
1
Pr
j
a
2
< br>
a
b
a
b
c
os
a
x
b
x
a
y
b
y
a
z
b
z
,
是一个数量
,
两向量之间
的夹角：
cos
< br>i
c
a
b
a
x
b
x
j
a
y
b
y
a
x
b
x
a
< br>y
b
y
a
z
b
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
< br>2
2
2
2
2
2
k
a
z
,
c
a
b
sin
.
例：线速度：<
/p>
v
w
r
.
b
z
a
y
b
y
c
y
a
z
b
z
a
b<
/p>
c
cos
<
/p>
,
为锐角时，
c
z
a
x
向量的混合积：
[
a
b
c
]
(
a
b
)
c
b
x
c
x
代
表
平
行
六
面
体
的
。
体
积
< br>
第
9
页
共
10
页
平面的方程：
1
、点法式：
A
(
x
x
0
)
B
(
y
y
0
)<
/p>
C
(
z
z
0
)
0
，其中
n
{
A
,
B
,
C
},
< br>M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
2
、一般方程：
Ax
By
Cz
D
0
x
y
z
3
、截距世方程：
< br>
1
a
b
c
平面外任意一点到该平
面的距离：
d
Ax
0
By
0<
/p>
Cz
0
D
A
2
B
2
C
2
x
< br>x
0
m
t
x
x
y
y
0
z
z
0
空间直线的方程：
0
t
,<
/p>
其中
s
{
m
,
n
,
p
};
参数方程：
<
/p>
y
y
0
nt
m
n
p
z
z
pt
0
二次曲面：
x
2
y
2
z
2
1
、椭球面：
2
2
2
1
a
b
c
x
2
y
2
2
、抛物面：
z
（
,
p
,
q
同号）
2
p
2
q
3
、双
曲面：
x
2
y
2
z
2
单叶双曲面：
< br>2
2
2
1
a
b
c
x
2
y
2
z
2
双叶双曲面
：
2
2
<
/p>
2
（马鞍面）
1
a
b
c
多元函数微分法及应用
全微分：
dz
z
z
u
u
u
dx
dy
du
dx
dy
dz
x
y
x
y
z
全微分的近似计算：
z
dz
f
x
(
x
,
y
)
< br>x
f
y
(
x
,
y
)
y
多元复合函数的求导法
：
dz
z
u
z
< br>
v
z
f
[
u
(
t
),
v
(
t<
/p>
)]
dt<
/p>
u
t
v
t
z
z
u
z
v
z
f
[
u
(
x<
/p>
,
y
),
v
(
x
,
y
)]
x
u
x
v
x
当
u
u
(
x
,
y<
/p>
)
，
v
v
(
x
,
y
)
时，
du
u
u
v
v
dx
dy
dv
dx
dy
< br>x
y
x
y
隐函数的求导公式：
F
x
F
F
dy
dy
d
2
y
隐函数
F
(
x
,
< br>y
)
0
，
，
< br>2
(
x
)
＋
(
x
)
dx<
/p>
F
y
x
F
y
y
F
y
dx
dx
F
y
F
x
z
z
，
隐函数
F
(
x
,
y
,
z
)
0
，
x
F
z
y
F
z
第
10
页
共
11
页