高等数学公式大全(精华版)
落日-
高等数学复习公式
高等数学公式
导数公式：
2
(
tgx
)
sec
x
(
ctgx
)
csc
x
(sec
x
)
< br>sec
x
tgx
(csc
x
)
csc
x
ctgx
(
a
)
a
ln
a
(log
a
x
x
2
(arcsin
x
)
(arccos
x
)
(
a
rctgx
)
1
1
x
1
1
x
1<
/p>
1
x
2
2
2
x
)
1
x
ln
a
(
arcctgx
)
1
1
x
2
基本积分表：
tgxdx
ctgxdx
< br>
sec
a
< br>
x
a
ln
cos
x
C
ln
sin
x
C
cos
sin
dx
2
x
x
sec
csc
2
xdx
tgx
C
xdx
ctgx
C
dx
2
2
xdx
ln
sec
x
tgx
C
csc
xdx
ln
csc
x
<
/p>
ctgx
C
d
x
2
sec
x
tgx
dx
csc
x
ctgxdx
a
x
sec
x
C
csc
x
C
C
x
dx
a
dx
x
dx
2
2
1
a
1
arctg
ln
ln
x
a
C
C
C
x
a
x
a
a
x
a
x
< br>x
a
dx
a
x
ln
a
2
2
2
a
1
2
a
shx
dx
chxdx
< br>
2
chx
< br>
C
shx
< br>
C
ln(
< br>x
x
a
)
C
2
2
2
2
a
x
2
arcsin
C
dx
x
a
2
2
2
I
n
sin
0
2
n
xdx
cos
xdx
0
n
n
1
n
a
a
a
2
I
< br>n
2
x
a
)
C
x
a
x
a
C
2
2
2
2
2
u
< br>1
u
x
a
dx
x
a
dx
a
x
dx<
/p>
2
2
2
2
2
x
2
x
2
x
2
x
a
x
a
a
x
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
2
ln(
x
ln
x
arcsin
2
2<
/p>
C
2
三角函数
的有理式积分：
sin
x
，
cos
x
2
1
u
1
u
< br>2
，
u
tg
2
x
2
，
dx
2
du
1
u
2
第
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高等数学复习公式
一些初等函数：
两个重要极限：
e
< br>
e
2
e
e
2
shx
chx
2
x
x
x
x
双
曲正弦
:
shx
双曲余弦
:
chx
双曲正切
:
thx
arshx
ln(
x
archx
ln(
x
arthx
1
2
ln
1
x
< br>1
x
lim
< br>sin
x
x
1
< br>x
x
0
1
)
e
2
.
718
2818284
x
59045
...
< br>lim
(
1
< br>x
e
e
e
e
x
x
x
x
x
1
）
x
1
)
2
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角
A
-
α
90°
-
α
90°
+
α
180°
-
α
180°
+
α
270°
-
α
270°
+
α
360°
-
α
360°
+
α
sin
cos
tg
-
tgα
ctgα
ctg
-
ctgα
tgα
-
ctgα
ctgα
tgα
-
ctgα
ctgα
-
sinα
cosα
cosα
cosα
sinα
sinα
-
sinα
-
ctgα
-
tgα
-
cosα
-t
gα
-
sinα
-
cosα
tgα
-
cosα
-
sinα
ctgα
-
cosα
sinα
-
sinα
cosα
sinα
cosα
-
tgα
tgα
-
ctgα
-
tgα
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin(
)
sin
cos
cos
sin
cos(
<
/p>
)
cos
cos
<
/p>
sin
si
n
tg
(
)
tg
tg
1
tg
tg
ctg
ctg
1
ctg
ctg
sin
sin
2
sin
sin
s
in
2
c
os
2
cos
sin
2
2
2
cos
cos
2
cos
cos
cos
2
sin
2
cos
s
in
2
ctg
(
)
2
2
第
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高等数学复习公式
·倍角公式：
sin
2
2
sin
cos
cos
2
2
cos
1
1
2
sin
cos
sin
ctg
2
tg
2
< br>
ctg
< br>1
2
ctg
< br>2
tg
1
tg
2
2
2
2
2
2
sin
3
3
sin
4
sin
c
os
3
4
cos
3
cos
tg
3
3
tg
tg
<
/p>
1
3
tg
2
3
3
3
·半角公式：
<
/p>
sin
tg
2
1
cos
2
1
cos
1
cos
a
sin
A
1
cos
sin
b
sin
B
cos
ctg<
/p>
2
1
cos
2
1
cos
1
cos
2
2
1
cos
sin
2
2
c
sin
1
cos
2
sin
1
cos
·正弦定理：
sin
C
2
R
·余弦
定理：
c
a
b
2
ab
cos
C
·反三角函数性质：
arcsin
x<
/p>
2
arccos
x
arctgx
2
arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（
Leibniz
）公式：
n
(
uv
)
u
(
n
)
<
/p>
C
k
0
k
n
u
(
n
k
)
v
(
k
)
(
n
)
v
nu
(
n
1
)
v
n
(
n
1
)
2
!
u
(
n
< br>
2
)
v
n
(
n
1
)
(
n
k
1
)
k
!
< br>
u
(
n
k
)
v
(
k
)
uv
(
n
)
中值定理与导数应用：
< br>拉格朗日中值定理：
柯西中值定理：
f
< br>(
b
)
f
(
a
)
f
(
)(
b
a
)
f
(
)
F
(
)
拉格朗日中值定理。
f
(
b
)
f
(
a
)
F
(
b
)
F
(
a
)
当
F
(
x
)<
/p>
x
时，柯西中值定理就是
曲率：
第
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高等数学复习公式
弧微分公式：
平均曲率：
K
ds
< br>
s
2
1
y
d
x
,
其中
y
tg
.<
/p>
:
从
M
点到
M
点，切线斜率的倾角变
s
d
ds
y
(
1
y
)
2
3
化量；
s
：
M
M
弧长。
M
点的曲率：
直线：
K
0
;
K
lim
s
0
.
半径为
a
的圆：
K
1
a
.
定积分的近似计算：
b
矩形法：
f
(
x
)
a
b
b
a<
/p>
n
(
y
0
y
1
y
n
1
)
梯形法：
f
(
x
< br>)
a
b
b
a
1
[
(
y
0
y
n
)
y
1
y
n
< br>1
]
n
2
b
a
3
n
[(
y
0
<
/p>
y
n
)
2
(
y
2
y
4
y
n
2
)
4
(
y
1
<
/p>
y
3
y
n
1
)]
抛物线法：
f
(
x
)
a
定积分应用相关
公式：
功：
W
F
s
水
压力：
F
p
A
引力：
F
k
m
1
m<
/p>
2
r
2
,
k
为引力系数
1
b<
/p>
a
b
函数的平均值：
y
1
b
a
b<
/p>
a
f
(
x
)
dx
均方根：<
/p>
a
f
(
t
)
dt
2
空间解析几何和向量代数：
第
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高等数学复习公式
空间<
/p>
2
点的距离：
向量在轴上的投影：
d
M
1
M
2
(
x
2
x
1
)
(
y
2
y
1<
/p>
)
(
z
2
z
1
)
2
2
2
Pr
j
u
AB
AB
cos
,
是
< br>AB
与
u
轴的夹角。
Pr
j
u
(
< br>a
1
a
2
)
Pr
j
a
1
Pr
j
a
2
a
b
a
b
cos
a
x
b
< br>x
a
y
b
y
a
z
b
z
,
是一个
数量
两向量之间的夹角：
cos
k
,
a
x
b
x
a
y
b
y
< br>
a
z
b
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
2
2
2
< br>2
2
2
i
c
a
b
a
x
b
x
j
a
y
b
y
< br>a
z
,
c
a
b
s
in
.
例：线速度：
b
z
a
y
b
y
c
y
a
z
b
z
c<
/p>
z
v
w
r
.
a
x
向量的混合积：
[
a
b
c
]
(
a
b
)
c
b
x
c
x<
/p>
代表平行六面体的体积
。
a
< br>
b
c
cos
,
为锐角时，
平面的方程：
1
、点法式：
A
(<
/p>
x
x
0
)
B
(
y
y
0
)
C
(
z
z
0
)
0
，其中
n
{
A
,<
/p>
B
,
C
},
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
< br>Ax
By
< br>Cz
D
0
x
a
y
b
z
c<
/p>
1
d
Ax
0
By
0
Cz
0
D
A
B
C
空间直线的方程：<
/p>
2
2
2
2
、一般方程：
3
、截距世方程：
平面外任意一点到该平
面的距离：
x
x
0
mt
x
x
0
y
y
0
z
z
0
t
,
其中
s
{
m
,
n
,
p
};
参数方程：
y
y
0
< br>
nt
m
n
p
z
z
pt
0
2
2
2
2
二次曲面：
1
、椭球面：
< br>2
、抛物面：
3
、双曲面：
单叶双曲面：
双叶双曲面：
x
a
x
a
2
< br>2
2
2
x
a
2
2
2
y
b
2
z
c
1
x
y
2
p
2
q
< br>z
（
,
p
,
q
同号）
y
b
y
b
2
2
2
2
z
c
z
c
2
2
2
2
1
< br>
（马鞍面）
1
多元函数微分法及应用
第
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高等数学复习公式
全微分
：
dz
z
x
dx
<
/p>
z
y
dy
du
<
/p>
u
x
dx
u
y
dy
u
z
dz
全微分的近似计算：
多元复合函数的求导法
z
dz
f
x
(
x
,
y
)
< br>
x
f
y
(
x
,
y
)
y
：
dz
z
u
z
v
z
f
[
u
(
t
),
v
(
t
)]
dt
u
t
v
t
z
z
u
z
v
z
f
< br>[
u
(
x
,
y
),
v
(
x
,
y
)]
x
u
x
v
x
当
u
u
< br>(
x
,
y
)
，
v
v
(
x
,
y
)
时，
du
u
x
dx
u
y
dy
dv
v
x
dx
v
y
< br>dy
隐函数的求导公式：
F<
/p>
F
F
dy
d
y
dy
隐函数
F
(
x
,
y
)
0
，
x
，
2
(
x
)
＋
(
x
)
dx
F
y
x
F
y
y
F
y
dx
dx
F
y
F
x
z
z
隐函数
F
(
x
,
y
,
z
)
< br>0
，
，
x
F
z
y
F
z
F<
/p>
F
(
x
,
y
,
u
,
v
)
0
(
F
,
G
)
隐函数方程组：
J
u
G
(
u
,
v
)
G
(
x
,
y<
/p>
,
u
,
v
)
0
u
u
x
u
y
1
(
F<
/p>
,
G
)
v
1
(
F
,
G
)
J
(
< br>x
,
v
)
x
J
(
u
,
x
)
1
(
F
,
G
)
v
1
(
< br>F
,
G
)
J
(
y
,
v
)
<
/p>
y
J
(
u
,
y
)
F
v
F
u
G
G
u
v
F
v
G
v<
/p>
2
微分法在几何上的应用：
x
(
t
)
x
< br>x
0
y
y
0
z
z
0
空间曲线
y
(<
/p>
t
)
在点
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
处的切线方程：
(
t
0
)
(
t
0
< br>)
(
t
0
)
z
(
t
)
在点
M
处的法平面方程：
若空间曲线方程为：
(
t
0
)(
x
x
0
)
(
t
0
)(
y
y
0
)
(
t
0
)(<
/p>
z
z
0
)
0
F
z
G
z
G
z
,
F
z
F
x
G
x
,
F
x
G
x<
/p>
F
y
G
y
F
y
F
(
x
,
y
,
z
)
0
,
则切向量
T
{
G
y
G
(
x
,
y
,
z
)
0
}
曲面
F
(
x
,
y
,
z
)
0
上一点
M
(
x
0
,
y
0
,
z
0<
/p>
)
，则：
1<
/p>
、过此点的法向量：
n
{
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
),
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
),
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)}
2
、过此点的切平面方程
3
、过此点
的法线方程：
：
F
x
< br>(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
x
x<
/p>
0
)
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
y
< br>
y
0
)
F
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)(
z
z
0
)
0
x
x
0
F
x
(
x
0
,
y
0
,
z<
/p>
0
)
y
y
0
F
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
z
z
0
F<
/p>
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
方向导数与梯度：
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高等数学复习公式
函数<
/p>
z
f
(
x
,
y
)
在一点
p
(
x
,
y
)
沿任一方向
其中
为
x
轴到方向
l
的转角。
f
f
函数
z
f
(
x
,
y
)
在一点
p
(
x
,
y
)
的梯度：
grad
f
(
x
,
y
)
i
j
x
y
它与方向导数的关系是
单位向量。
l
多元函数的极值及其求法：
<
/p>
f
是
grad
f
(
x
,
y
)
在
l
上的投影。
f
：
grad
f
(
x
,
y
)
e
，其中
e
cos
i
sin
j
，为
l
方向上的
l
l
的方向导数为：
f<
/p>
l
f
x
cos
f
y
sin
设
f
x
(
x
0
,
y
0
)
f
y
(
x
0<
/p>
,
y
0
)
0
，令：
f
xx
(
x
0
,
y
0
)
A
,
< br>f
xy
(
x
0
,
y
0
)
B
,
<
/p>
f
yy
(
x
0
,
y
0
)
C
A
0
< br>,
(
x
0
,
y
0
)
为
极大值
2
AC
B
0
时，
A
<
/p>
0
,
(
x
0
,
y
0
)
为极小值
2
则：
值
AC
B
0
时， 无极
AC
B
2
0
时
,
不确定
重积分及其应用：
<
/p>
D
f
(
x
,
y
)
dxdy
D
f
(
r
cos
,
r
sin
)
rdrd
z
z
1
< br>
dxdy
x
y
2
2
曲面
z
f
(
x
,
y
)
的面积
A
D
x
平面薄片的重心：
x
M
M
x
(
x<
/p>
,
y
)
d
D
(
x
,
y
)
d
< br>D
,
y
M
M
y
D
D
y
(
x
,
y
)
d
(
x
,
y
)
d
D
< br>x
(
x
,
y
)
d
2
平面薄片的转动惯量：
平面薄片（位
于
F
x
f<
/p>
对于
x
轴
I
x
D
y
(
x
,
y
)
d
,
对于
y
轴
I
y
< br>2
xoy
平面）对
z
轴上质点
M
(
0
,
0
,
a
),
(
a
0
)
的引力：
F
{
F
x
< br>,
F
y
,
F
z
}
，其中：
，
F
y
f
3
D
(
x
,
y
)
xd
2<
/p>
2
2
D
(
x
,
y
)
yd
2
2
2
，
F
z
fa
3
D
(
x
,
y
)
xd
3
(
x
y
a
)
2
(
x
y
a
)
2
(
x
y
< br>
a
)
2
2
2
2
柱面坐标和球面坐标：
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共
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