小学奥数 数论 余数问题 余数性质(二).题库版
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5-5-4.
余数性质（二）
教学目标
1.
学习余数的三大定理及综合运用
2.
理解弃
9
法，并运用其解题
知识点拨
一、三大余数定理：
1.
余数的加法定理
a
与
b
的和除以
c
的余数，等于
< br>a
,
b
分别除以
c
的余数之和，或这个和除以
c
的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23+16
＝
39
除以
5
的余数等于
4
，即两个余数的和
3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以
c
的余
数。
例如：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，所以
23+19
＝
42<
/p>
除以
5
的余数等于
3+4=7
除以
5
的余数为
2
2.
余数的加法定理
a
与
b
的差除以
c
的余数，等于
a
,
b
分别除以
c
的余数
之差。
例如：
23
< br>，
16
除以
5
< br>的余数分别是
3
和
1
，所以
23
－
16
＝
7
除以
5
的余数等于
2
，两个余数差
3
－
1
＝
2.
当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：
23
，
14
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，
23<
/p>
－
14
＝
9
除以
5
的余数等于
4
，两个余数差为
3
＋
5
－
4
＝
4
3.
余数的乘法定理
a
与
b
的乘积除以<
/p>
c
的余数，等于
a
,
b
分别除以
c
的余数的积，或者这个积除以
c
所得的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23×
16
除以
5
的余数等于
3×
1
＝
3
。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以
c
的余数。
例如：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，所以
23×
19
除以
5
的余数等于
3×
4
除以
5
的余数，即
2.
乘方：如果
a
与
b
除以
m
的余数相
同，那么
a
n
与
b
n
除以
m
的余数也相同．
二、弃九法原理
<
/p>
在公元前
9
世纪，有个印度数学家名叫花
拉子米，写有一本《花拉子米算术》
，他们在计算时通常是在一
个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是
这样进行的：
例如：检验算式
1234
1898
18922
678967
178902
88992
3
1234
除以
9
的余数为
1
1898
除以
9
的余数为
8 <
/p>
18922
除以
9
的余数为
4
5-5-4.
余数性质
（二）
.
题库
教师版
page 1 of 6
67896
7
除以
9
的余数为
7
178902
除以
9
的余数为
0
这些余数的和除以
9
的余数为
2
而等式右边和
除以
9
的余数为
3
，那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到
的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几
个加数除
以
9
的余数的和再除以
9
的余数一定与等式右边和除以
9
的余数相同。
而我们在求一个自然数除以
9
所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的
各个
位数字之和除以
9
的余数就可以了，在算的时候往往就是一个<
/p>
9
一个
9
的找并
且划去，所以这种方法被
称作
“
弃九法
”
。
所以我
们总结出弃九发原理：任何一个整数模
9
同余于它的各数位上数
字之和。
以后我们求一个整数被
9<
/p>
除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被
9
除的余数
即可。
< br>利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证
一定正确。
例如：检验算式
9+9=
9
时，等式两边的除以
9
的余数都是<
/p>
0
，但是显然算式是错误的
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式
2
两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往
可以帮助我们解决一些较复杂的算式
迷问题。
例题精讲
模块一、余数性质的综合运用
【
例
1
】
2
2003
与
2003
2
的和除以
7
的余数是
________
．
【考点】余数性质的综合运用
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】
2003
年，南京市，少年数学智力冬令营
【解析】
找
规律．用
7
除
2
，
2
2
，
2
3
，
2
4
，
2
5
，
2
6
，
…
的余数分别是
2
，
4
，
1
，
2
，
4
，
1
，
2
，
4
，
1
，
…,2
的个数是
3
的倍数时，用
7
除的余数为
1
；<
/p>
2
的个数是
3
的
倍数多
1
时，用
7
除的余数为
2
；
2
的个
数是
3
的倍数多
2
时，用
7
除的余数为
4
．因为
2
2
003
2
3
667
2
，所以
2
2003
除以
7
余
4
．又两个数的
积除以
7
的余数，与两个数分别除以
7
所得余数的积相同．而
2003
除以
7
余
1
< br>，所以
2003
2
除以
7
余
1
．故
2
2003
与
2003<
/p>
2
的和除以
7
的
余数是
4
1
5
．
【答案】
5
2
2008
2008
2
除以
7
的余数是多少？
【
巩
固
】
【考点】余数性质的综合运用
【难度】
3
星
【题型】解答
2
3
8
除以
7
的余数为
1
，
2008
3
< br>669
1
，所以
2
2008
2
3
669
＋
1
(2
3
)
669
2
，其除以
7
的余数为：
【解
析】
1
669
2
2
；
2008
除以
7
的余数为
6
，则
2008
2
除以
7
的余数等于
6
2
除以
7
的余数，为
1
；所以
2
2008
2008
2
除以
7
的余数为：
2
1
3
．
【答案】
3
【
巩
固
】
31
30
30
31
被
13<
/p>
除所得的余数是多少？
【考点】余数性质的综合运用
【难度】
3
星
【题型】解答
5-5-4.
余数性质（二）
.
题库
教师版
page 2 of 6
【解析】
3
1
被
13<
/p>
除所得的余数为
5
，当
< br>n
取
1
，
2
，
3
，
8
，
1
13
的余
数为
12
；
30
被
13
除所得的余数是
4
，当
n
取
1
，
2
，
< br>3
，
10
，
1
，
4
，
3
，
12
，
9
，
10
，
时<
/p>
5
n
被
13
除所得余数分别是
5
，
12
，
8
，
1
，
5
，
1
2
，
以
4
为周
期循环出现，所以
5
30
被
13
除的余数与
5
2
被
13
除的余数相同，余
< br>12
，则
31
30
除以
时，
4
n
被
13
除所得的余数分别是
4
，
3
，
12
，
9
，
以
6
为周期循环出现，所以
4
31
被
13
除所得的余数等于
4
1
被
13<
/p>
除
所得的余数，即
4
，故
30
31
除以
13
的余数为
4
；
所以
31
30
30
31
被
13
除所得的余数是
12
4
13
3
．
【答案】
3
【
例
2
】
M
、
N
为非零自然数，且
2007
M
2008
N
被
7
整除。
M
N
的最小值为
。
【考点】余数性质的综合运用
【难度】
4
星
【题型】填空
【关键词】
2008
年，第
6
届，走
美杯，
6
年级，决赛，第
7
题，
10
分
2007
除以
7
的余数是
5
，
2008
除以
7
的
余数是
6
，所以
5
M
6
N
能被
7
整除，经试算，
M
N
最小
【解析】
值为
3
2
5
【答案】
5
【
例
3
】
1
1
2
2
3
3
4
4
< br>2005
2005
除以
10
所得的余数为多少？
【考点】余数的加减法定理
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
求
结果除以
10
的余数即求其个位数字．从
1
到
2005
这
2005
个数的个位数字是
10
个
一循环的，而
对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是
4
个一循环的，因此把所有加数的个位数按每
20
个
(20
是
4
和
10
的
最
小
公
倍
数
)
一
组
，
则
不
同
组
中
对
应
的
个
位
数
字
应
< br>该
是
一
样
的
．
首
先
计
算
1
1
2
2
3
3
4
4
20
20
的个位数字，
为
1
4
7
6
5
6
3
6
9
0
1
<
/p>
6
3
6
5
6
7
4
9
0
94
的个位数字，为
4
，
由于
2005
个加数共可分成
100
< br>组另
5
个数，
100
组的个位数字和是
4
1
00
400
的个位数即
0
，
另外
5
个数为
2001
2001
、<
/p>
2002
2002
、
2003
2003
、
2004
2004
、
2005
2005
，
它们和的个位数字是
1<
/p>
4
7
6
5
23
的个位数
3
，所以原式的个位数字是
3
，即除以
10
的余数是
3
．
【答案】
3
【
例
4
】
已知<
/p>
n
是正整数，规定
n
!
1
2
n
，<
/p>
令
m
1!
1
2!
2
3!
3
2007!
2007<
/p>
，则整数
m
除以
2008
的余数为多少？
【考点】余数性质的综合运用
【难度】
3
星
【题型】解答
【关键词】
2008
年，清华附中
【解析】
m
1!
1
2!
2
<
/p>
3!
3
2007!
2
007
1!
（
2
1
）
2!<
/p>
（
3
1
）
3!
（
4
1
）
< br>2007!
（
2008
1
）
2!
1!
3!
2!
4!
3!
2008!
2007
!
2008!
1
2008
< br>能够整除
2008!
，所以
20
08!
1
的余数是
< br>2007
．
【答案】
2007
【
例
5
】
设
n
为正整数，
k
2004
n
，
k
被
7
除余数为
2
，
k
被
1
1
除余数为
3
，求
n
的最小值．
【考点】余数性质的综合运用
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
2
004
被
7
除余数为
< br>2
，
被
11
除余数也为
2
，
所以
2
n
被
7
< br>除余数为
2
，
被
11
除余数为
3
．
由于
2
1
2
被
7
除余
2
，而
2
3
< br>
8
被
7
除余
1
，所以
n
除以
3
的余数为
1
；由于
2
8
256
被
11
除余
3
，
2
10
1024
被
5-5-4.
余数性质（二）
.
题库
教师版
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