巧求周长(三四年级通用版)
-
.
巧求周长
例题精讲
基本概念
①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长．
②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积．
基本公式：
①长方形的周长
2
(
长
宽
)
< br>，面积
长
< br>宽．
②正方形的周长
4
边长，正方形的面积
边长
边长．
< br>
常用方法：
对于基本的长方
形和正方形图形，
可以直接用公式求出它们的周长和面积，
对于
一些不规
则的比较复杂的几何图形，
我们可以采用转化的数学思
想方法割补成基本图形，
利用长方
形、正方形周长及面积计算的
公式求解．
转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要
抓住“变”与“不变”两个部分．转化
后的图形虽然形状变了，
但其周长和面积不应该改变，
所以在求解过程中不能遗漏掉某些
线段的长度或某部分图形的面积．
转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图
形．
寻求
正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解
决数
学问题时，
思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．
也就
是说，
在直接求解不容易或很难找到解题途
径的问题时，
我们往往转化问题的形式，
从侧
< br>面或反面寻找突破口，
知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题．
这种解决问题的
思想在数学中叫“化归”
，它是
数学思维中重要的思想和方法．
原有图形结构
在原有图形结构中
解决问题较困难
对称
旋转
平移
新的图形结构
在新的图形结构中
解决问题较容易
<
/p>
在几何中，
有许多图形是由一些基本图形组合、
< br>拼凑而成的．
这样的图形我们称为不规则图
形．
不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算．
那么，
< br>不规则图形的面积怎样去计算呢？
对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类
面积问题的手段．
平移：
在平面图形
的计算中，
常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．
其
中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其
形状与大小，
所以图形面积是保持不变的．
利用图形的平移，<
/p>
可以使面积计算问题的解法简捷明快，
颇有
新意．
割补：
割补法在我国古代叫
“出入相补原理”
，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九
章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几
何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变．
.
.
旋转：
在平面图形的割补中，
有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，
产生一种新的
图形结构，
图形在转动过程中形状大小不
发生改变．
利用这种新的图形结构可以帮我们解决
面积的计算问
题．
对称：
平面图形中有许多简单漂
亮的图形都是轴对称图形．
轴对称图形沿对称轴折叠，
轴两
侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面
积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．
代换：
在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的
已知技巧．
本讲主要通过求一些不
规则图形的周长，
体会一种转化思想，
重点在于把不规则图形转
化为
规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学
生体会
求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．
【例
1
】
求图中所有线段的总长
(
单位：厘米
)
4<
/p>
A
B
3
C
1
D
2
E
【解析】
要
注意到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是
、
、
四段，还包括
、
< br>、
等等，因此不能简单地将图中标示的线
；
段
长
度
进
< br>行
求
和
．
同
时
应
该
注
意
到
，
，等等
．因此，为了计算图中所有线段的总
长，需要先计算
AB
、
BC
、
CD
、
DE
这四条线段分别被累加了几次．
这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论：
<
/p>
由
1
段组成的线段共有
< br>4
条，
即
AB
< br>、
BC
、
CD
< br>、
DE
，
而求和过程中
AB
、
BC
、
CD
、
DE
这四条线段
各被累加了
1
次．
< br>类似地考虑到，由
2
段组成的线段共有
< br>3
条，求和过程中
AB
、
DE
各被累加了
1
次
，
BC
、
CD
各被累加了
2
次．
< br>由
3
段组成的线段共有
2
条，求和过程中
AB
、
DE
各被累加了
1
次，
BC
、
CD
各
被累加了
2
次．
由
4
段组成的线段只有
AE
，其中
AB
、
BC
、
CD
、
DE
各被计算了
1
次．
综上所述，
AB
、
DE
各被计算了
4
次，
BC
、
CD
各被计算了
6
次．
因而图中所有线段的总长度为：
【例
2
】
如图所示，一个大长方形被三条
线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图
(
单
位：厘米
)
．求：图中所有长方形的周长之和．
2
4
【解析】
类
似于上题，
题目中所说的长方形，<
/p>
并不只包括最小的几个长方形，
因此需要先求
出每条线段在求和过程中被累加了多少次．
因为没从大长
方形的长上找到一条线段，就能对应地找到大长方形内的一个长方
形，所以可以利用上一
个问题的结论来解决这个问题．当然，
要考虑到，
每个长方
形都有两条长和两条宽，因此计算过程中应该注意不要漏算．
先考虑大长方形的长上各边：应用上一道题目的结论，每条边上长为
4
、
3
、
1<
/p>
、
2
的线段分别被计算了
4
、
6
、
6
、
4
次．
然后再考虑大长方形的宽：因为共有
个长方形，所以长度为
2
的
宽被计算了
次．
.
A
BC
DE
BE
CD
< br>AC
A
BE
3
1
2
. <
/p>
故
总
周
长
可
以
用
下
式
计
．
算
得
到
：
【例
3
】
如图，正方形的边长为
4
，被分割成如下
12
个小长方形，求这
12
个小长方形的所
有周长之和．
【解析】
4
4
4
5
2
56
．
【巩固】
（
“希望杯”第一试）如右图，正方形
ABCD
的边长是
6
厘米，过正方形内的任意两
点画直线，可
把正方形分成
9
个小长方形。这
9
个小长方形的周长之和是多少厘
米？
A
【解析】
从
总体考虑，在求这
9
个小长方形的周长之和时，
AB
、
BC
、
CD
、
DA
这四条边
被用了
1
次，其余四条虚线被用了
2
次，所以
9
个小长方形的周长之和是：
。
6
4
6
2
<
/p>
4
72
（厘米
）
【例
4
】
下图表示一块地，
四周都用篱笆围起来，
转弯处都是直角．
已知西边篱
笆长
17
米，
南边篱笆长
23
米．四周篱笆长多少米？
北
B
2
D
C
A
北
D
西
17
23
南
东
西
17
C
23
南
东
B
【解析】
因
为这块地的东边和北边的篱笆转弯处是直角，
可以将东西方向的篱笆平移到最外
边得到线段
AD
，
将南
北方向的篱笆平移到最外边得到线段
BD
，
则折线
ACB
的长
等于折线
ADB
的长．
所以
东边和北边篱笆的长分别和西边、南边的篱笆长相等．列式为：
四周篱笆长为：
（
23
17
）
2
80
(
米
< br>)
【巩固】
(
希望杯培训题
)
右图的周长
是
分米．
.
.
7
分
米
6
分米
【解析】
把
那些与水平方向平行的小线段都”
放”
下来，
< br>恰好与底边一致；
把竖直方向的小
线段都依次”贴到”左
边，恰好贴满左边，因此多有的短横线的长的和为
6
分米，
所有的短竖线的长的和为
7
分米，图形的周
长为
（
6
7
）
2
26
(
分米
)
【巩固】计算右边图形的周长
(
单位：厘米
)
。
10
【解析】
要
求这个图形的周长，
似乎不可能，
因为缺少条件。
但是，
我们仔细观察这个图形，
发现它的每一个角都
是直角，所以，我们可以将图中右上缺角处的线段分别向上、
向右平行移动到虚线处
(
见右下图
)
，<
/p>
这样正好移补成一个长方形。
求长方形的周长
就易如反掌了。所以图形的周长是：
(10
15)
2
50
(
厘米
)
。
【巩固】下图是一个
锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长
2
厘米，求这个零件
的周
长．
15
【解析】
平
移法，
将锯齿状的零件转化成平行四边形，
两组对边相等都等于
24
厘米
，
所以
这个零件的周长是
24
×
2
=
48
(
厘米
)
．
【例
5
】
下图中标出的数表示每边长，单
位是厘米．它的周长是多少厘米？
【解析】
平
移转化为求长方形的周长，长方形的长
5
+
6
=
11
(
厘米
)
，宽
1
+
3
=
4
(
厘米
)
，周长
(
11
+
4
)
×
2
=
30<
/p>
(
厘米
)
，
[
(
5
+
6
)
+
(
1
+
3
)
< br>]
×
2
=
30
(
厘米
)
，它的周长是
30
厘米．
【巩固】右图是由七个长
5
厘米、宽
3
厘米的相同长方形经过竖放、横放而
成的图形．求
这个图形的周长？
.
.
【解析】
平
移法．
{[
(
3
+
5
)
×
3
+
3
]+
5<
/p>
}
×
2
+
6
×
(
5
-
3
)
2
=
76
(
厘米
)
【例
6
】
一个周长是
20
厘米的正方形，剪下一
个周长是
6
厘米的正方形，剩下的图形的周
长是
．
(
写出所有可能的结果
)
【解析】
周
长为
6
厘米的正方形的边长为：
6
4
1.5
(
厘米
)
，
周长为
20
厘米的正方形的边
长为
20
4
5
(
厘米
< br>)
，在一个正方形中剪下一个小正方形有两种情况：
对于图
1
的
周长，与原来正方形的周长相等，为
20
厘米；图
2
的周长，观察可以发
现，比原来正方形的周长多了
两条小正方形的边，即为：
20
1.
5
2
23
(
厘米
)
．<
/p>
【例
7
】
求下图的周长
．
图
1
图
2
【解析】
通
过平移转化为右上图，周长等于大长方形周长加上
AB
、
CD
的长，即有周长为
(
50
+
35
)
×
2
+
10
×
2
=
190
(
厘米
)
．
【巩固】求右图的周长．
【解析】
1
40
厘米
【巩固】下图的小正方形边长为
1<
/p>
厘米．这个图形的外沿的周长是多少厘米？
【解析】
2
8
厘米
【例
8
】
如下图是某校的平面图，已知线
段
a
＝
120
米，
b
＝
130
米，
c
＝
70
米，
d
＝
60
米，
l
＝
250
米．杨老师每天早晨绕学校跑
3
圈，问每天跑多少米？
.
.
【解析】
平
移法转化为长方形再求．［
(
120
＋
130
+
60
)
＋
(
70
+
250
)
］×
2
×
3
＝
37
80
(
米
)
．
【例
9
】
(
第七
届”小机灵杯”数学竞赛初赛
)
下面两张图中，周长较大的是<
/p>
．
(
< br>在
横线上填写表示图名的字母
)
A
10
B
【解析】
通
过平移比较发现
B
比
A
多两小段边，得
第
题
B
的周长较大．
【巩固】如下图，正方形操场边长
1
00
米，一只蚂蚁沿甲地走了一圈，另一只蚂蚁沿乙地
走了一圈
，谁走的路长？
它们各走了多少米？
14
14
【解析】
我
们分别求甲、
乙的周长．
甲的周长可转化为长方形周长
(
如图
)
，
即为
(
100
+
50
+
30
)
×
2
=
360
(
米
)
．再求乙的周长
．
乙的周长等于长方形周长加上
2<
/p>
个
30
米，即为
(
100
+
50
)
×
2
+
3
0
×
2
=
36
0
(
米
)
．所
以它俩走的一样长．
【巩固】求右
图所示图形的周长
(
单位：分米
)
50
50
10
【解析】
这
道题最简单的方法也是用平移法来解．下面我们来看一个基本解法．
< br>这是一个组合图形，
由两个矩形组成，
不要误认为两个矩
形周长的和就是组合图形
的周长．
仔细观察图形可以发现：
右边矩形的右边边长可以移到左边，
这样就可以
使左边的矩形变得完整．
所以，
这个组合图形的周长就是左
边矩形的周长再加上右
边矩形的一条已知边长的
2
倍．
即：
（
50
10
）
2
50
2
220
(
分米
)
.