向量在三角形中的应用
-
向量与三角形的内心、外心、重心的应用（带答案）
一、知识总结：
二、针对性例题：
→
→
→
→
1
．已知平面内一点
P
及△
ABC<
/p>
，若
P
A
＋
PB
＋
PC
＝
AB
，则点
P
与△
ABC
的位置关系是
(
)
A
< br>．点
P
在线段
AB
上
C
．点
P
在线段
AC
上
答案
C
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
< br>→
解析
由
P
A
＋
PB
＋
PC
＝
AB
得
P
A
＋
P
C
＝
AB
－
P
B
＝
AP
，即
PC
＝
AP
－
P
A
＝
2
AP
，所以点
P
在线段
AC
上．
2
→
→
→
2
．设
P
为锐角△
ABC
的外心
(
三角形外接圆的圆
心
)
，
AP
＝
k
(
AB
＋<
/p>
AC
)(
k
∈<
/p>
R
)
，若
cos
∠
BAC
＝
，
则
k
等于
(
)
5
5<
/p>
2
5
3
A.
B.
C.
D.
14
14
7
7
答案
A
→
→
→<
/p>
解析
取
BC<
/p>
的中点
D
，连接
PD
，
AD
，则
PD
⊥
BC
，
AB
＋
AC
＝
2
AD
，
→
→
→
→
→<
/p>
∵
AP
＝
k
(
AB
＋
AC
)(
k
∈
R
)
，
∴
AP
＝
2
kAD
，
∴
A
，
P
，
D
三点共线，
∴
AB
＝
AC
，
DP
DP
2
5
5
5
∴
cos
∠
BAC
＝
cos
∠
DPC
＝
＝
＝
，
∴
AP
＝
AD
，
∴
2
k
＝
，解得
k
＝
，故选
A.
PC
P
A
5
7
7
14
→
→
→
3
、
.
设
< br>G
为△
ABC
的重心，且
sin
A
·
GA<
/p>
＋
sin
B
·
GB
＋
sin
C
·
GC
＝
0
，则角
B
的大小为
< br>________
．
答案
60°
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解析
∵
G
是
△
ABC
的重心，
∴
GA
＋
GB
＋
GC
＝
0
，
GA
＝－
(
GB
＋
GC
)
，将其代入
sin
A
·
GA
＋
sin
B
·
GB
＋
sin
C
·
< br>GC
＝
→
→
→
→
0
，得
(sin
B
－
sin
A
)
GB
＋
(sin
C
－
sin <
/p>
A
)
GC
＝
0.
又
GB
，
GC
不共线，
∴
sin
B
－
sin
A
＝
0
，
si
n
C
－
sin
A
＝
0
，则
sin
B
＝
sin
A
＝
sin
C
．根据正弦定理知
b
＝
a
＝
c
，
< br>
∴△
ABC
是等边三角形，则
角
B
＝
60°
.
B
．点
P
在线段
BC
上
D
．点
P
在△
ABC
外部
→
→
→
→
→
4
．
(2017·
驻马店质检
)
若
O
为△
ABC
所在平面内任一点，且满足
(
OB
－
OC
)·
(
OB
＋
OC
－
2
OA
)
＝
0
，则△
ABC
的形状
为
(
)
A
．正三角形
C
．等腰三角形
答案
C
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
解析
因为
(
OB
－
OC
)·
(
OB
＋
OC
－
2
OA
)
＝
0
，即
CB
·
(
AB
＋
AC
)
＝
0
，因为
AB
－
AC
＝
CB
，
→
→
→
→
→
→
所以
(
AB
－
AC
)·
(
AB
< br>＋
AC
)
＝
0
，即
|
AB
|
＝
|
AC
|
，所以
△
ABC
< br>是等腰三角形，故选
C.
→
→
→
→
4
、已知
O
是平面上的一定点，
A
，
B
，
C
< br>是平面上不共线的三个动点，若动点
P
满足
OP
＝
OA
＋
λ
(
AB
＋
AC
)
，
λ
< br>∈
(0
，
＋∞
< br>)
，则点
P
的轨迹一定通过△<
/p>
ABC
的
(
)
A
．内心
B
．外心
C
．重心
D
．垂心
→
→
→
→
→
→<
/p>
→
→
→
(2)<
/p>
由原等式，得
OP
－
OA
＝
λ
(
AB
＋
AC
)
，即
AP
＝
λ
(
AB
＋
AC
)
，根据平行四边形法则，知
AB
＋
AC
是
△
AB
C
的中线
→
AD
(
D
为
BC
的中点
)
所对应向量
AD
的
2
倍，所以点
P
的轨迹必过
△
ABC
的
重心．
→
→
AB
AC
→
→
＋
5
本例
中，若动点
P
满足
OP
＝
OA
＋
λ
< br>
，
λ
∈
(0
，＋
∞
)
，则点
P
的轨迹一定通过
△
ABC
的
________
．
→
→
|
AB
|
|
AC
|
<
/p>
答案
内心
<
/p>
→
→
→
→
→
→
AB
AB
AC
AC
AB
AC
→
→
→
→
→
＋
＋
解析
由条件，得
OP
－
OA
＝
λ
，即
AP
＝
λ
，而
和
分别表示平行
于
AB
，
AC
的单位向
→
→
→
→
→
→
|
AB
|<
/p>
|
AC
|
|
AB
|
|
AC
|
|
AB
|
|
AC
|
→
→
AB
AC
→
量，故
＋
平分
∠
BAC
，即
AP
平分
∠
BAC
，所以点
P
的轨迹必过
△
ABC
的内心．
→
→
|
AB
|
|
AC
|
6
、
→
< br>→
→
→
AB
AC
→
AB
AC
< br>1
→
→
(1)
在△
ABC
中，已知向量
AB
与
AC
满足<
/p>
(
＋
)·
BC<
/p>
＝
0
，且
·
＝
，则△
ABC
为
(
) <
/p>
→
→
→
→
2
|
AB
|
|
AC
|
|
AB
|
|
AC
|
B
．直角三角形
D
．等腰直角三角形
A
．等边三角形
B
．直角三角形
C
．等腰非等边三角形
D
．三边均不相等的三角形
→
→
→
→
AB
AC
AB
AC
→
→
解析
(1)
，
分别为平行于
A
B
，
AC
的单位向量，由平行四边形法
则可知
＋
为
∠
BAC
的平分线．因为
→
→
→
→
|
AB
|
|
AC
|
|
AB
|
|
< br>AC
|
→
→
AB
AC
→
(
＋
)·
BC
＝
0
，所以
∠
BAC
的平分线垂直于
BC
，所以
A
B
＝
AC
.
→
→
|
AB
|
|
AC
|
→<
/p>
→
→
→
AB
AC
AB
AC
1
1
π
又
·
＝
·
·
cos
∠
BAC
＝
，所以
cos
∠
BAC<
/p>
＝
，又
0<
∠<
/p>
BAC
<π
，故
∠
BAC
＝
，所以
△
ABC
为等边
2
2
3
→
→
→
→
|
AB
|
|
AC
|
|<
/p>
AB
|
|
AC
|
三角形．
→
→
→
→
2
7
．在△
ABC
中，
(<
/p>
BC
＋
BA
)·
AC
＝
|
AC
|
，则△
ABC
的形状一定是
(
)
A
．等边三角形
B
．等腰三角形