-

2021年2月19日发(作者：龙岩永定土楼)

1

、使学生理解二 次函数的概念，学会列二次函数表达式和用待定

教学目标

系数法求二次函数解析式。

2

、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量

的取值范围。

重点、难点

能够根据实际问题，

熟练地列出二次函数关系式，

并求出函数的自变量的取

值范围。

考点

1< /p>

：二次函数的有关概念

考点及考试要求

考点

2

：二 次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系

考点

3

：二 次函数在生活中的运用

教

学

内

容

第一课时

二次函数知识重要考点（

1

）

考点

1

< p>
、二次函数的概念

定义：一般地，如果

y



ax

2

< p>


bx



c

(

a

,

b

< br>,

c

是常数，

a



0

)

，那么

y

叫做

x

的二次函数

注意点：

（

1

）二次函数是关于自变量

x

的二次式，二次项系数

a

必须为非零实数，即

a

≠

0

< p>
，而

b

、

c

为任意实数。

（< /p>

2

）当

b=c=0

时，二次函数

y



ax

2

是最简单的二次函数。

a



0

)

自变 量的取值为全体实数

（

3

）

二次函数

y



ax

2



bx



c

(

a

,

b

,

c

是常数，

（

ax

2



bx



< p>
c

为整式）

典型例题

：

例

1

：

函数

y=

（

m

＋

2

）

x

m

2



2

＋

2x

－

1

是二次函数，则

m=

．

例

2

：

已知函数

y=ax

2

＋

bx

＋

c

（其中

a

，

b

，

c

是常数）

，当

a

时，是二次函数；当

a

，

b

时，

是一次函数；当

a

，

b

，

c

时，是正比例函数．

考点

2

、三种函数解析式：

（

1

）一般式：

y=ax2+bx+c

（

a

≠

0

）

，

b

b

4

ac

< p>


b

2

对称轴：直线

x=



< br>

顶点坐标：

(



，

)

2

a

4

a

2

a

（

2

）顶点式：

y



a



x



h





k

（

< br>a

≠

0

）

，

2

对称轴：直线

x=

h

顶点坐标为（

h

,

k

）

（

3

）交点式：

y=a

（

x-x

1

）

（

x-x

2

）

（

a

≠

0

）

,

x1



x

2

2

(

其中

x

1

、

x

2

是二次函数与

x

轴的两个交点的 横坐标

).

对称 轴

:

直线

x=

例

1

：

抛物线

y



x

2



2

x



8

的顶点坐标为

；对称轴是

。

例

2

：

二次函数

y=-4

（

1+2x

）

（

x-3

）的一般形式是

。

例

3

：

已知函数

y

< /p>

mx

2



(

m

2



m

)

x



2

的图象关于

y

轴对称，则

m

＝

________

；

例

4

：

抛物线

y=x

2

-4x+3

与

x

轴的交点坐标是

。

例

5

：

把方程

x

（

x+2

）

=5

（< /p>

x-2

）化为一元二次方程的一般形式后

a=( ),b=( ),c=( )

考点

3

、用 待定系数法求二次函数的解析式

（

1

）一般式：

y



ax

2



bx



c

.

已知图像上三点或三对

x

、

< p>
y

的值，通常选择一般式

.

（

2

）顶点 式：

y



a



x



h





k

.

已知图像的 顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式

.

2

（

3

）交点式：已知图像与

x

轴的交点坐标

x

1

、

x

2

，通常选用交点式：

y



a



x



x

1



x< /p>



x

2



.

例

1

：

一个二次函数的图象顶点坐标为（

-5

，

1

）

，形状与抛物线

y=2x

2

< br>相同，这个函数解析式

为

．

例

2

：

已知抛物线的顶点坐标是（－

2

，

1

）

，且过点（

1

，－

2< /p>

）

，求抛物线的解析式。

例

3

：

已知二次函数的图像经过（

0

，

1

）

，

（

< p>
2

，

1

）和（

< p>
3

，

4

）

，求该二次函数的解析式。

例

4

：

已知二次函数的图像与

x

轴的

2

个交点为（

1

，

0

）

，

（

2

，

0

）

< br>，并且过（

3

，

4

）

，求该二次函数的

解析式。

考点

4.

二次函数的图象

1

、二次函数

y



ax

2



bx



c

的图像是对称轴平行于（包 括重合）

y

轴的抛物线

.

2

2

、二次函数由特殊到一般，可 分为以下几种形式：①

y



ax

2

；②

y



ax

2



k

< p>
；③

y



< p>
a



x



h



；

2

④

y< /p>



a



x



h





< p>
k

；⑤

y



ax

2



bx



c

.

注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到

3

、二次函数

y

< br>

ax

2



bx



c

的图像的画法

< p>

因为二次函数的图像是抛物线，是轴 对称图形，所以作图时步骤是：

(1)

先找出顶点坐标，画出对称轴；

(2)

找出抛物线上关于对称轴的四个点

(

如与坐标轴的交点等

)

；

(3)

把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来

.

例

1

：

函数

y=x

2

的顶 点坐标为

．若点（

a

，

4

）在其图象上，则

a

的值是

．

例

2

：

若点

A

（

3

，

m

）是抛物线< /p>

y=

－

x

2

上一点，则

m=

．

例

3

：

函数

y=x

2< /p>

与

y=

－

x

2

的图象关于

< p>
对称，也可以认为

y=

－

x

2

，是函数

y=x

< br>2

的图象绕

旋转得到．

例

4

：

若二次函数

y=ax

< p>
2

（

a

≠

0

）

，图象过点

P

< p>
（

2

，－

8

）

，则函数表达式为

．

第二课时

二次函数知识重要考 点（

2

）

考点

5.

二次函数的性质

函数解析式

y



ax

2

< p>

开口方向

对称轴

x



0

（

y

轴）< /p>

顶点坐标

（

0,0

）

(0,

k

)

(

h

,0)

(

h

,

k

)

b

4

ac

< /p>

b

2

(



，

)

2

a

4

a

y



ax

2



k

2

y



a



x



h



当

a< /p>



0

时

开口向上

当

a



0

时

开口向下

x



0

（

y

轴）

x



h

x



h

b

x





2

a

y



a



x

< br>

h





k

2

y



ax



bx



c

2

注：常用性质：

1

< br>、开口方向：当

a>0

时，函数开口方向向上；

当

a<0

时，函数开口方向向下；

2

、增减性：

当

a>0

时，在对称轴左侧，

y

随着

x

的增大而减少；在对称轴右侧，

y

随着

x

的增大而 增大；

当

a<0

时，在对称轴左侧，

y

随着

x

的增大而增大；在对称轴右侧，

y

随着

x

的增大而减少；

3

、最大或最小值：

4

ac



b

< br>2

b

当

a>0

< br>时，函数有最小值，并且当

x=



，

y

最小

＝

2

a

4

a

4

ac



b

2

b

当

a<0

时，函数有最大值，并且当

x=



< p>

，

y

最大

＝

2

a

4

a

例

1

：

抛物线

的顶点在

y

轴上，则

m

的值为

______________

。

例

2

：

按要求求出下列二次函数的解析式：

（

1

）形状与

析式；

（

2

）与抛物线

< p>
关于

x

轴对称的抛物线的解析式；

，且经过（

1

，

< p>
1

）点的抛物线的解析式。

的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（

0

，－< /p>

3

）的抛物线的解

（

3

）对称轴是

y

轴，顶点的纵坐标 是

例

3

：

已知函数

（

1

）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值；

（

2

）求抛物线与

x

轴、

y

轴的交点；

（

3

）观察图象：

x

为何值时，

y

随

x

< p>
的增大而增大；

（< /p>

4

）观察图象：当

x

为何值时，

y>0

时，当

x

为何值时，

y=0

；当

x

为何值时，

y<0

。

考点

7.

抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。

①

a

的符号 决定抛物线的开口方向

② 对称轴平行于

y

轴（或重合）的直线记作

x



h

.

特 别地，

y

轴记作直线

x



0

.

③顶点决定抛物线的位置

.

几个不同 的二次函数，如果二次项系数

a

相同，那么抛物线的开口方向、 开口大小完全相同，

只是顶点的位置不同

.

例

1

：

函数

在同一坐标系中的图象大致是图中的（

）

例

2

：

(< /p>

2009

年四川省内江市

)

抛物线

y



(

x



2

)

< br>2



3

的顶点坐标是（

）

A

．

（

2

，

< p>
3

）

B

．< /p>

（－

2

，

3

）

C

．

（

2

，－

3

）

D

．

（－

< p>
2

，－

3

）

例

3

：

< br>（

2009

年桂林市、百色市）二次函数

y



(

x



1)

2



2

的最小值是（

）

．

A

．

2 B

．

1 C

．－

3 D

．

2

3

例

4

：

(2009

年上海市

)

抛物线

y



2(

x



m

)

2



n

（

m

，

n

是常数）的顶点坐标是（

）

A

．

(

m

，

n

)

2

< p>
y



ax



bx



c

中

a

、

b

、

c

的作用

考点

< br>8.

抛物线

B

．

(



m

，

n

)



n

)

< /p>

C

．

(

m

，



n

)

< p>

D

．

(



m

，

1

、

a

决定抛物线的开口方向和开口大小

a

的符号决定抛物线的开口方向：当

a>0

时，函数开口方向向上；

当

a<0

时，函数开口方向向下；

< p>

a

的大小决定抛物线的开口大小：当

< p>
a

越大时，开口越小；

当

a

越小时，开口越大；

< p>
a

相等，抛物线的开口大小、形状相同

.

2

、

a

和

< p>
b

共同决定抛物线的对称轴位置。

（

x=



b

）

2

a

< br>左同右异：①如果对称轴在

Y

轴左侧，则

a

、

b

符号相同。

< p>

②如果对称轴在

Y

轴右侧，则

a

、

b

符号相反。

注意点：①

b



0

< br>时，对称轴为

y

轴；

b



0

（即

< p>
a

、

b

同号）时，对称轴 在

y

轴左侧；

a

b

③



0

（即

a

、

b< /p>

异号）时，对称轴在

y

轴右侧

< p>
.

a

3

、

c

的大小决定抛物线于

y

轴 的交点位置。

（于

y=kx+b

中的< /p>

b

作用相同）

②

当

x



0< /p>

时，

y



c

，∴抛物线

y



a x

2



bx



c

与

y

轴有且 只有一个交点（

0

，

c

）

：

-

-

-

-

-

-

-

-