(完整word版)高等数学辅导讲义
-
第一部分
函数
极限
连续
函数、极限、
连续
函数
极限
连续
函数概念
函数的四种
特征
反函数与复
合函数
初等函数
数列极限
< br>函数极限
连续概念
间断点分类
初等函数
的连
闭区间上连续
函数的性质
续性
函数的有界
性
数列极限的
定义
函数极限的
定义
第一类间断
点
有界性与最大
值最小值定理
函数的单调
性
收敛数列的
性质
函数极限的
性质
可去间断点
零点定理
函数的奇偶
性
极限的唯一
性
函数极限的
唯一性
跳跃间断点
函数的周期
性
收敛数列的
有界性
函数极限的
局部有界性
第二类间断
点
收敛数列的
保号性
函数极限的
局部保号性
数列极限四
则运算法则
函数极限与数
列极限的关
系
极限存在准
则
函数极限四
则运算法则
夹逼准则
两个重要极
限
单调有界准
则
无穷小的比
较
高阶无穷小
低阶无穷小
同阶无穷小
等价无穷小
历年试题分类统计及考点分布
考点
年份
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
合计
复合函数
极限四则
运算法则
3
3
3
5
4
18
两个重要
极限
3
5
5
3
3
4
4
10
37
单调有界
准则
6
12
4
10
32
无穷小的
阶
3
3
3
3
4
3
4
4
27
合计
5
3
8
8
6
8
3
8
3
3
12
3
5
8
4
15
4
4
4
4
20
本部分常见的题型
1.
求分段函数的复合函数。
2.
求数列极限和函数极限。
3.
讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.
确定方程在给定区间上有无实根。
一、
求分段函数的复合函数
例
1
(1988,
5
分
)
设<
/p>
f
(
x
)
e
x
,
f
[
(
x
)]
1
< br>
x
且
(
x
)
0
,
求
(
x
)
及其定义
域。
解
:
由
f
(
x
)
e
x
知
f
[
< br>(
x
)]
e
(
x
)
1
x<
/p>
,
又
(
x
)
0
,
则
(
x
)
ln(1
x
),
x
0
.
< br>
1,
x
1
例
2 (1990,
3
分
)
设函数
f
(
x
)
,
则
f
[
f
(
x
)]
1
.
0,
x
1
2
2
2
1,
x
< br>
1,
练习题
:
(1)
设
f
(
x
)
0,
x
1,
g
(
x
)
e
x
,
求
f
[
< br>g
(
x
)]
和
g
[
f
(
x
)]
,
并作出这
1,
x
1,
两个函数的图形。
(2)
设
0,
x
<
/p>
0,
0,
x<
/p>
0,
f
(
x
)
g
(
x
)
2
,
< br>x
,
x
0,
x
,
x
0,
求
f
[
f
(
x
)],
g
[
g
(
x
)],
f
[
g
(
x
)],
g
[
f
(
x
)]
.
二、
求数列的极限
方法一
利用收敛数列的常用性质
一般而言<
/p>
,
收敛数列有以下四种常用的性质。
<
/p>
性质
1(
极限的唯一性
< br>)
如果数列
x
n
收敛
,
那么它的极限唯一。
性质
2
(
收敛数列的有界性
)
如果数列
x
n
收敛
,
那么数列
x
n
一定有界。<
/p>
性质
3(
收敛
数列的保号性
)
如果
lim
x
n
a
,
且
a
< br>0
(
或
a
0
),
那么存在
< br>n
n
0
N
,
使得当
n
n
0
时
,
都有
x
n
0
(
或
x
n
0
).
性质
4(
数列极限的四则运算法则
)
如果
lim
x
n
a
,
lim
y
n
b
,
那么
n
n
(1)
lim
(
x
n
y
n
)
a
b
;
< br>n
(2)
lim
x
n
•
y
n
a
•
b
;
n
(3)
当
y
n
0(
n
N
)
且
b
0
时
,
lim
n
x<
/p>
n
a
.
y
n
b
例
3
若
lim
x
n
n
a
,
则
lim
x
n
n
< br>a
.
注
:
< br>例
3
的逆命题是不对的
,
例如我们取
x
n
(
1)
n<
/p>
,
显然
lim
x
n
1
,
n
但数列
x
n
(
<
/p>
1)
n
没有极限。
例
4
如
果数列
x
n
收敛
,
那么数列
< br>
x
n
一定有界。
注
:
例
4
的逆命题是不对的
, <
/p>
例如我们取
x
n
(
1)
n
,
显然数列
x
n
有界
,
但数列
x
n
(
1)
n
没有极限。
例
5
设
a
n
,
b
n
,
c
< br>n
均为非负数列
,
且
lim
a
n
0,
lim
b
n
1,
lim
c
n
.
n
n
n
下列陈述中
哪些是对的
,
哪些是错的
?
如果是对的
,
说明理由
;
如果
是错的
,
试给出一个反例。
(1)
a
n
b
n
,
n
< br>N
;
(2)
b
n
c
n
,
n<
/p>
N
;
(3)
lim
a
c
n
n
n
不
存
在
;
(4)
lim
b
c
n
n
n
不存在
.
1
n
n
, <
/p>
显然
lim
a
n
0,
lim
b
n
1
,
n
1
n
n
解
:
(1)
是错的
,
我们可以令
a
n
,
b
n
但
a
1
1,
b
1
,
从而
a
1
<
/p>
b
1
.
1
2
(2)
是
错
的
, <
/p>
我
们
可
以
令
b
n
1
1
b
1,
c
,
但
,
从而
b
1
c
< br>1
.
b
,
c
n
n
1
1
lim
lim
2
3
n
n
n
1
,
c
n
<
/p>
n
,
n
1
3
显
然
(3)
是错的
,
我们可以令
a
n
,
c
n
n
,
显然
lim
a
n
0,
< br>lim
c
n
< br>
,
n
n
1
n
< br>1
3
但
lim
< br>a
n
c
n
lim
(
•
n
)
.
n
n
1
1
n
3
1<
/p>
3
(4)
是对的
,
由于
lim
b
n
< br>
1
0,
lim
c
n
,
则
lim
b
n
c
n
,
即极
< br>n
n
< br>n
限
lim
b
n
c
n
不存在。
n
注
1:
极限的保序性是说
,
“若
lim
a
n
a
,
lim
b
n
b
,
a
b
,
< br>则存在
n
0
< br>N
n
n
使得当
n
< br>
n
0
时有
a
n
b
n
.
”
,
而
不是对任意的
n
N
< br>
有
a
n
b
n
.
注
2:
事实上我们可以得到如下一个常用的结论
:
< br>若
lim
a
n
< br>
a
0,
lim
b
n
,
则
lim
< br>a
n
b
n
.
n
n
n
练习题
:
设数列
x
n
与
y
n
满足
lim
x
n
y
n
<
/p>
0
,
则下列断言正确的是
(
)
n
(A)
若
x
n
发散
,
则
y
n
必发散
.
(B)
若
x
n
无
界
,
则
y
n
必无界
.
(C)
若
x
n
有界
,
则
y
n
必为无穷小
.
(D)
若
为无穷小
,
则
y
n
必为无穷小
.
方法二
利用一些常用的结论
(1)
设数列
x
n
有
界
,
又
lim
y
n
0
,
则
lim
x
n
y
n
0
.
n
n
1
x
n
0,
q
1
n
(2)
lim
q
n
0(
q
1),
lim
q
1,
q
1
.
n
n
,
q
< br>1
(3)
lim
a
n
1
n
1(
a
< br>
0)
.
例
6
1
n
cos
0
.
lim
2<
/p>
n
n
n
_______.
2
练习题
:
(1)
lim
(
n
n
2
1
1)sin
n
(2)
l
im
(
n
n
1)sin
n
n
__________.
2
例
7
li
m
(
a
n
n
b
c
)
max
a
,
b
,
c
(
a
0,
b
0,
c
< br>0
).
n
1
< br>n
n
解
:
由于
max
a
,
b
,
c
(
a<
/p>
b
c
)
3
max
a
,
b
,
c
,
故
lim
(
a
b
c
)
n
n
n
n
n<
/p>
1
n
n
1
n
1
n
n
max
a
,
b
,
c
.
练习题
:
已知
a
1
0,......,
a
m
0
,
求极限
lim
(
a
......
a
m
)
.
n
1
< br>n
1
n
n
例
8
1
x
lim
2
n
n
1
x
2
n
<
/p>
x
,
x
1
x
0,
x
1
.
x
,
x
1
1
x
2
n
x
<
/p>
x
;
解
:
当
x
1
时
lim
2
n
1
x
n
1
x
2
n
x
0
;
当
x
1
时
l
im
2
n
n
1
x
当<
/p>
x
1
时
1
x
x
lim
lim
2
n
n
1
x
n
x
,
x
1
x
0,
x
1
.
x
,<
/p>
x
1
2
n
1
1
2
n
x
x
x
.
< br>1
1
x
2
n
故
1
x
lim
2
n
n
1<
/p>
x
2
n
练习题
:
1
x
______
__.
lim
2
n
< br>n
1
x
方法三
利用
< br>Heine
定理将抽象数列的极限转化为具体函数的极限
Heine
定理
:
< br>n
lim
f
(
x
)
A
的充分必要条件是
:
对于任意
满足条件
x
x
0
x
x
(
n
N
)
的数列
x
n
,
相应的函
数值数列
f
(
x
n
)
成
立
x
x
且<
/p>
n
0
n
0
lim
lim
f
(<
/p>
x
)
A
.
n
n
sin
x
n
x
n
2
)
.
例
9
设数列
x
n
满足
x
n
0(<
/p>
n
N
)
且
lim
x
n
0
,
计算
lim
(
x
n
n
n
1
解
:
我们考虑函数极限
sin
x
x
2
(
)
lim
e
lim
x
x
0
x
0
1
ln(
sin
x
)
x
x
2
ln(1
lim
e
x
0
sin
x
1)
x
x
2
lim
e
x
0
sin
x
1
x
x
2
sin
x
x
cos
x
1
lim
e
x
0
x
< br>3
lim
e
< br>x
0
3
x
2
l
im
e
x
0
sin
x
6
x
e
1
1
1
6
1
sin
x
n
x
n
2
sin
x
x
2
从而
lim
(
)
lim
(
)
e
6
.
x
n
x
< br>n
x
0
ln(1
x
< br>n
)
x
n
练习题
:
设数列
< br>
x
n
满足
x
n
0(
n
N
)
且
lim
x
n
0
,
计算
lim
[
]<
/p>
.
x
n
<
/p>
n
n
1
方法四
利用夹逼准则
例
10
计算
lim
n
(
n
1
1
1
......
)
.
n
2
n
2
2
n
2
n
n
2
1
1
1
n
2
n
< br>(
2
......
2
)
2
解
:
由于
2
,
故
n
n
n
n
2
2
n
< br>n
n
lim
n
(
n
1
1
1
......
)
1
. <
/p>
n
2
n
2
2
n
2
n
1
n
1
2
练习题
:
(1)
计算
lim
(
n
1
n
2
2
......
1
n
n
2
)
.
(2)
计算
lim
(
n
1
2
n
......
< br>)
.
n
2
n
1
n
2
n
<
/p>
2
n
2
n
n
1
1
1
1
(3)
计算
lim
(1
......
)
n
.
2
3
n
n
< br>
(4)
计算
lim
(
n
1
1
1
......
)
.
n
1
n
2
n
n
方法五
利用单调有界准则
适用题型
: (1)
由递推关系
x
n
1
f
(
x
n
)
定义的数列
x
n
极限问题
,
一般先
用单调有界准则证明极限存在
,
然后等式两边取极限求出极限。
(2)
有些题目直接给出了数列
x
n
的通项公式
,
要求我们证
明数列
x
n
的极限存在
,
这时优先考虑用单调有界准则证明其极限存
在。
例
11
(1996, 6
分
)
设
x
1
< br>10,
x
n
< br>1
6
x
n
(
n
N
)
, <
/p>
试证数列
x
n
极限存在
,
并求此极限。
证明
:
先证
明数列
x
n
是单调减少的。
由于
x
n
1
< br>
x
n
6
x
n
x
n
调减少
的。
注意到
0
x
n
x
1
(
n
N
)
,
于是数列
x
n
有界
,
故数列
x
n
极限存在。
设
l
im
x
n
a
,
等
式
x<
/p>
n
1
6
x
n
两
边
取
极
限
得
a
6
a
,
即
a
3
或
n
(3
x
n
)(2
x
n
)
6
x
n
x
n
0(
n
N
)
,
所以数列
x
n
是单
a
< br>2
,
又
0
a
x
1
10
,
所以
a
3
,
亦即
lim
x
n
3
.
n
练习题
:
(1)
证明数列
2,
2
2
,
2
2
2
,......
的极限存在
,
并求此极
限。
(2)
设
x
1
2,
x
n
1
2
x
n
(
n
N
)
,
< br>试证数列
x
n
极限存在
,
并求
此极限。
(3)
设
x
1
1
,
x
n
1
4
3
x
n
< br>(
n
N
)
,
试证数列
< br>
x
n
极限存在
,
并
求此极限。
(4)
设
0
x
1
1,
x
n
1
x
n
(2
x
n
)(
n
N
)
,
试证数列
x
n
极限存在
,
并求此极限。
例
12 (2008,
4
分
)
设函
数
f
(
x
)<
/p>
在
(
,
)
内单调有界
,
x
n
为数列
,
下
列命题正确的是
( B )
( A )
若
x
n
收敛
,
则
f
(
x
n
)
<
/p>
收敛
.
( B )
< br>若
x
n
单调
,
则
f
(
x
n
)
收敛
.
( C )
若
f
(
x
n
)
收敛
,
则
x
n
<
/p>
收敛
.
( D )
< br>若
f
(
x
n
)
单
调
,
则
x
n
收敛
.
解
:
由于<
/p>
f
(
x
)
在
(
,
)
上单调有界
,
若
x
n
单调
,
则
f
(
x
n
)
是单调有
界数列
,
故
f
(
x
n
)
收敛。
(
1)
n
(
n
N
)
,
显
< br>然
事
实
上
(A)
、
(C)
、
< br>(D)
都
是
错
< br>误
的
。
若
令
x
n
n
1
arc
tan
x
,
x
0
(
1)
n
0
,
即
收敛
,
再令
,
显然
f
(
x
)
在<
/p>
f
(
x
)
x
n
lim
n
n
arctan<
/p>
x
,
x
0
(
,
)
上
单
调
有
界
,
但
f
(
< br>x
n
)
不
收
敛
。
由
于
1
1
arctan
,
n
2
k
(<
/p>
k
N
)
n
f
(
x
n
)
,
< br>所以
lim
f
(
x
n
)
不存在
,
故
(A)
不正
n
arctan(
1
),
n<
/p>
2
k
1(
k
N
)
n
确。
若令
x
n
n
< br>(
n
N
),
f
(
x
)
arctan
< br>x
,
显然
< br>f
(
x
n
)
收敛且单调
,
但
x
n
不收
敛
,
故
(C)
和
(D)
不正确。
例
13
(2006, 12
分
)
设数列
x
n
满足
0
x
1
,
x
n
1
sin
x
n
(
n
N
)
.
( I )
< br>证明
lim
x
n
存在
,
并求该极限
;
n
2
x
( II )
计算
lim
(
n
1
)
x
n
.
x
n
n
1<
/p>
解
:
( I )
用数学归纳法证明数列
x
n
是单调减少的且有界。
< br>由
0
x
1
得
0
x
2
sin
x
1
x
1
;
设
0
x
n
,
则
0
< br>x
n
1
sin
x
n
x
n
,
所以数列
x
n
是单调减少的且有
界
,
故
lim
x
n
存在。
n
n
记
lim
x
n
a
,
于
是
0
a
.
由
x
n
1
sin
x
n
得
a
sin
a
,
注
意
到
函
数
f
(
x
)
x
sin
x
在区间
[0,
]
上是单
调增加的
,
所以
a
< br>
0
,
即
lim
x
n
0
.
n
( II
)
见
例
9
.
注
1:
在判别一个函数
f
(
x
)
< br>的单调性时
,
我们经常用到下面两个孰知
的结论。
(1)
设函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上连续
,
在<
/p>
(
a
,
b
)
内可导
,
若
(
a
,
b
)
中除至多
有限个点有
f
'
(
x
)<
/p>
0
之外都有
f
'
(
x
)
0
,
则
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上单调
增加。
(2)
设函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上连续
,
在
(
a
,
< br>b
)
内可导
,
若
(
a
,
b
)
中除至多
有限个点有
f
'
(
x
)
0
之外都有
f
'
(
x
)
0
,
< br>则
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上单调
减
少。
注
2:
记住一些基本的不等式可以帮助考研学子在考试时节省大量的
时间
,
例如
sin
x
x
(
x
R
),ln(1
x
)
< br>x
(
x
0)
等。
练习题
:
设
数列
x
n
满足
x
1
<
/p>
0,
x
n
1
ln(1
<
/p>
x
n
)(
n
N
)
.
( I )
证明
l
im
x
n
存在
,
并求该极限
;
n
x
(
II )
计算
lim
(
n
1
)
x
n
.
x
n
n
1
例
14 (2011,
10
分
)
证明
:
(1)
对任意正整数
n
,
都有
1
2
1
n
1
1
1
< br>
ln(1
)
;
n
< br>1
n
n
(2)
< br>设
x
n
1
......
ln
n
< br>(
n
N
)
,
证明数列
< br>
x
n
收敛。
证明
:
(1
)
由于函数
f
(
x
)
x
ln(1
x
)
在
[0,
)
上单调增加
,
从而当
x
0
时
f
(
x
)
f
(0)
0
,
所以对任意正整数
n
,
都有
ln(1
)
.
x
在
[0,
)
上
单
调
增
加
,
从
而
当
x
0
时
x
1
1
1
g
(
x
)<
/p>
g
(0)
<
/p>
0
,
所以对任意正整数
n
,
都有
ln(1
)
.
n
1
n
1
1
1
ln(1
)
.
故对任意正整数
n
,
都有
n
1
< br>n
n
1
n
1
n
由
于
函
数
g
(
x
)
ln(1
<
/p>
x
)
(2)<
/p>
先证明数列
x
n
是单调减少的。
我们考虑
x
n
1
x<
/p>
n
[1
......
1
2
1
1<
/p>
1
ln(
n<
/p>
1)]
(1
......
ln
n
)
n
1
2
n
1
1
ln(1
)<
/p>
0(
n
N
)
,
这表明数列
x<
/p>
n
是单调减少的。
n
1
n
注意到
1
1
3
1
x
n<
/p>
1
......
l
n
n
ln
2
ln
..
....
ln(1
)
ln
n
< br>
ln(
n
< br>1)
ln
n
< br>
0(
n
N
)
2
n
2
n
从而
数列
x
n
有界
,
故数列
x
n
收
敛。
练习题
:
设
x
n
1
1
2
2
......
1<
/p>
n
2
(
n
N
)
,
证明数列
x
n
收敛。
方法六
利用定积分的定义
b
设函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上连续
,
则
lim
1
< br>
n
f
[
a
i
(
b
a
)]
<
/p>
f
(
x
)
dx
.
n
n
i
1
n
a
例
15
计算极限
lim
(
1
n
n
1
1
n
2
......
1
2
n
)
.
解
:
1
lim
(
1
n
n
1
1
n
2
......
1
2
n
)
lim
1
n
n
(
1
1
1
1
2
......
1
1
1
)
< br>
1
1
dx
ln
2
.
n
1
n
0
x
sin
sin
2
例
16 (1998, 6
分
)
求
lim(
n
n<
/p>
n
n
1
.....
.
sin
)
.
n
1
2
n
1
n
解
:
注意到
1
n
n
n
1
sin
i
sin
i
1
n
sin
i
i
1
n
< br>
i
1
n
1
n
i
1
n
i
1
而
lim
1
n
i
2
n
n
sin
i
1
n
sin
xdx
0
1
n
i
n
1
lim
n
< br>n
1
sin
lim(
•
1
i
1
n
n
n
1
n
n
sin
i
)
i
1
n
sin
xdx
2
0
,