格点与割补
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学科：奥数
教学内容：
格点与面积
生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如
为了能捕到鱼，
人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，<
/p>
为了更好的解决问题聪明的人类也
创造了一些“工具”
。这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。先来介
绍什么是“格点
”
。见下图：
这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，
我们把水平线和垂直线的交点称
为“格点”
，水平线和
垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”
。图中带阴影
的小
方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或
计算图形的面积大小。利用格点求图形
的面积通常有两种思路，
一是直接将图形分成若干个面积单位，
然后通过计算有
多少个面
积单位来求图形面积；
二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然
还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例
1
计算下图中各图形的面积：
分析：
先仔细观察图中的每个图形
，选择方法。显然第一、三、六图可以直
接数出包含多少个面积单位即可。
而二、
四、
五图显然不适合用数单位面积的方
法来求面积，
可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，
通过求长方形面积
来求这些图形面积。
解答：
（
1
）图中长方形包括
3
×
2=6
（个）面积单位，所以它的面积为
6
。
（
2
）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为
3
×
2=6
，而平
行四边形的面积等
于长方形面积，所以平行四边形的面积为
3
×
< br>2=6
。
（
< br>3
）将图中三角形用虚线分成
3
块，它包含有
1
个面积单位和
2
个面积单
位的一半，合起来有
2
个面积单位，所以它的面积为
2
。
< br>
（
4
）图中将三角形扩展成一
个长方形，长方形的面积为
3
×
2=6
，而三角形
面积为长方形面积的一半，则三角形面积为
3
。
（
5
）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠
倒，
但面积一样的梯形，
形成一个大的长方形。
长方形的面积为
（
2
＋
4
）
< br>×
3=18
，
而梯形的面积为长
方形的面积的一半。所以梯形的面积为：
（
2
< br>＋
4
）×
3
÷
2=9
。
（
6
）将图中梯形用虚线分成
3<
/p>
块，它包含有
5
个面积单位和
2
个面积单位
的一半，合起来有
< br>6
个面积单位，所以它的面积为
6
。
例
2
计算下面这个格点多边形的面积。
分析：
这是一个不规则的多边形，不
能直接求出它的面积。可用长方形的面
积减去
4
个直角三角形的面积，如图
1
所示；另外还可将该四边
形分割成几块，
如图
2
。
解答：
方法一：
3
×
4
－（
2
×
1
÷
2
＋
2
×
1
÷
2
＋
2
×
2
÷
2
＋
< br>3
×
1
÷
2
）
=6.5
（面积单位）
方法二：
1
×
2
÷
2
＋
1
×
3
÷
2
＋
1
×
1
÷
2
＋
3
×
1
÷<
/p>
2
＋
1
×
2=6.5
（面积单位）
例
3
相邻四点连成的小正方形面积为
1<
/p>
平方厘米。
分别连接各点，组成下面<
/p>
12
个图形，你发现有什么排列的规律？
算出各图形的面积。找出图形外面一周的点子数、中间的点子数与面积三者
之间的关系。
分析：
仔细观察图形：
横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不变；
竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐渐增多。
图形一周的格点数、
中间的格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可
以将图
形按中间没有个点、中间有一个格点和中间有两个格点进行分组列表分析。
第（
1
）组
图形编号
①
②
③
④
1
一周格点数
4
6
8
4
中间格点数
0
0
0
0
面积
（平方厘
1
2
3
6
米）
中间没有格点时，面积
=
一周格点数÷
2
－<
/p>
1
第（
2
）组
图形编号
⑤
⑥
⑦
⑧
1
一周格点数
4
6
8
4
中间格点数
1
1
1
1
面积
（平方厘
2
3
4
7
米）
中间有一个格点时，面积
=
一周格点数÷
2
＋
（
1
－
1
）<
/p>
第（
3
）组
11
12
图形编号
⑨
⑩
1
一周格点数
4
6
8
4
中间格点数
2
2
2
2
面积
（平方厘
3
4
5
8
米）
中间有两个格点时，面积
=
一周格点数÷
2
＋
（
2
－
1
）<
/p>
解答：
（<
/p>
1
）中间格点数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加
；
当一周的格点数相同时，图形的面积同样随着中间的格点数增加而增加。
（
2
）各图形的面积见表
格。
各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有关
系，格点图形的面
积计算公式是：
图
形面积
=
图形一周的格点数÷
2
＋（中间格点数－
1
）
说明：
格点图形的面积求法很灵活，不要死记公式，要具体
题目具体研究。
例
4
下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积：
分析：
这是一个组合图形，面积可
分成几个部分来求。本图可分为两个三角
形和一个长方形三部分。
每一部分面积的求法，
因图而异。
如两个三角形需要扩
展成长方形再求面积，而长方形只要直接数单位面积即可。
解答：
左边三角形面积
=4
×
4
－
1
×
2
÷
2
－<
/p>
4
×
3
÷
2
－
4
×
2
÷
2=5
；
右边三角形面积
=4
×
4
－
1
×
3
÷
2
×
2
－
4
×
4
÷
2
－
< br>1
×
1=4
；
< br>
长方形的面积为
6
×
2=12
；
所以礼盒
面积为：
5
＋
4
＋
12=21
说明：
此题还可以直
接用公式，请你自己试一试。
例
5
在下图中有
21
个点，
每相邻三点构成一个单位面积的等边三角形，
计
算三角
形
ABC
的面积。
分析：
此题是一个三角形格点图。每三个相邻的格点构成一个正三角形，为
一个面积单位。三角
形格点图形面积的计算类似于正方形格点图形面积的计算，
可以直接数图形所包含的面积
单位，
也可将之转化为几个易求的三角形，
在通过
加减运算得到。
此题中三角形
ABC
的面积不能通过直接数格点面积来求，
可以把
它扩展成
三一个大三角形，再减；也可以把它分成几个小的三角形，然后再加。
解答：
方法一：给三角形
ABC
添加Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ部分小的三角形，则得到由
25
个单
位三角形构成的大三角形，
现
在只要分别求出Ⅰ、
Ⅱ及Ⅲ三个小三角形的面积即
可。
三角形Ⅰ是一个平行四边形的面积的一半，如图
4
中的虚线平行四边形。这
个平行四边形包含
6
个面积单位，所以他的面积为
6
，三角形Ⅰ的面积为：
6
÷
2=3
同理，三角形Ⅱ及Ⅲ的面积分别为
4
和
8
，所以三角形
< br>ABC
的面积为：
25
－
3
－
4
－
8=10
（面积单位）
方法二：
将三角形分成几个易求面积的三角形
< br>（如图
3
）
。
< br>Ⅰ的面积为
1
×
3=3
，
Ⅱ的面积可直接数为
1
，Ⅲ的面积为
1
×
2=2
，Ⅳ的面积为
2
×
2=4
，于是三角形
ABC
的面积为：
3
＋
1
＋
2
＋
4=10
。
想一想：
以三角形Ⅰ为例，为什么这里三角形
的面积可以用
1
×
3
< br>计算？可
联系方法一中三角形Ⅰ面积的求法。
说明：
关于三角形格点多边形的面积也有类似于正方形格点多边形的面积
计
算公式。
可以按照例
3
的方法归纳总结，
就可以得到三角形格点多边形面积的计
算公式：
三角形格点多边形的面积
=
多边形内包含的格点数×
2
＋多边
形周界上的格
点数－
2
。
例
6
在下图中有
45
个正方形格点，
过图中三点连一个三角
形，
并且至少有
一条边水平或垂直。问共有多少个这样的格点三
角形？
分析：
如果要在图中找一个面积为
8
的格点三角形很容易，但是要求出有多
少个这样的格点三角形就有些困难，
不过功夫不负有心人，
一
定能找到方法。
注
意到待计数的格点三角形的底与高的乘积为<
/p>
16
，所以可以分类计数。
解答：
因为
16=4
×<
/p>
4=2
×
8=8
×
2
，所以可以分为以下几类来计数：
（
1
）
每个<
/p>
4
×
4
的正方形
中有
4
个直角三角形符合要求，
总数为
4
×
5=20
（
个）
；
（
2
）每个
2
×
8
的长方形中也有
4
< br>个直角三角形符合要求，总数为
4
×
3=12
（个）
；
（
3
）符合要求的不是直角三角形的三角形有：
4
×
4
，
状的有：
5
×
7=35
（个）
；
状的有：
35
个；
状的有：
5
×
< br>3=15
（个）
；
状的有：
15
个；
8
×
2<
/p>
，
2
×
8
，
状的有：
3
×
7=21
（个）
；
状的有：
21
个；
状的有：
3
×
< br>3=9
（个）
；
状的有：
9
个；