优秀数学建模论文
-
2010
高教社杯全国大学生数学建模竞赛<
/p>
编
号
专
用
页
评
阅
人
评
分
备
注
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
试卷综合评价分析的数学模型
摘要
本文
解决的是试卷综合评价问题，基于对试题质量标准的理解，结合综合评优、图
形分析等方
法，建立分层模型、灰色系统模型，对
2006
年至
2009
年数学一考研试题进
行评价，对
2003
年至
2009
年数学一考研试题的命题规律进行分析。
对于问题一
：首先结合大纲和试题确定考研数学一的深度值、广度值和技术性指标，然
后根据专家评定、数据统计、小组预测给出标准试卷的各项标准值，确立历年试卷与标
准试卷的数据对比关系，后建立分层模型，分别计算出试卷的深度、广度、技术性以及
综
合质量。结果如下表：
评价指标
相对于标准试卷的权向量
综合评分
年份
深度
广度
技术性
2006
1.03
1.01
0.95
98
2007
1.07
1.00
0.93
98
2008
1.04
1.00
0.91
96
2009
1.05
1.00
0.95
98
对各项指标分析：深度均偏高但幅
度很小；广度基本吻合标准；技术性均偏低但波动不
大；综合评分均高，保持在一恒定范
围。
对于问题二
：
< br>基于问题一方法、
结果的进一步应用，
求得
2003
年到
2009
年的
各项指标，
后用灰色系统模型计算出
2010
< br>的度深度值、广值和技术性指标以及综合质量，从而运
用
MATLAB
软件分别绘制
03
年到<
/p>
10
年的质量变化图和深度权向量、广度权向量、技术
性权向量的变化图。其变化如图：
100
90
03
04
05<
/p>
06
07
08
0
9
10
质量
1.5
1.3
1.1
0.9
0.7
深度
广度
技术性<
/p>
03
04
05
0
6
07
08
09
10
0.5
权向量图
关键字：
考研数学一
分层模型
灰色系统模型
图形分析
1
1
、问题重述
各种考试对于试卷质量的要求非常严格。如何保证试卷的质量
，确保考试的公正、
高效、合理，是命题人和考生都特别关注的事情。不同的考试有不同
的要求
,
考试的方
式和内容也有所不
同
,
而考试的目的如水平考试、
选拨考试、竞赛考试等对试题的要求
也不尽相同
,
因此
,
评价试卷质量的标准
也各不相同。考研是一项选拔性考试，科目数
学一又有别于其他科目。结合考试大纲和试
题，运用定性和定量相结合的方法，确立试
卷的质量标准，对历年考研数学一试卷进行评
价，并分析命题的规律性，是总结以往试
卷质量，改善今后试卷质量的重要措施。基于以
上分析和探讨，给出历年考研数学一的
试题，在参考考试大纲的基础上，提出两个具体问
题：
1.
结合大纲要求，对
2006<
/p>
年到
2009
年的考研数学一试题进行定
量分析评价；
2.
总结以往的考试规律，对
< br>2003
年到
2009
年考研数
学命题的规律性进行分析。
2
、问题分析
试卷质量的综合评价和命题的规律性分析分别属于评价问题和
预测问题。
鉴于试卷
评价的层次性和复杂性，我们选取层次模型
加以分析，而对于试卷命题的规律性分析，
我们运用灰色系统模型和数学软件加以解决。
就考研数学一试卷本身来看，知识面有高
等数学、线性代数、概率统计三个部分组成，难
易程度有难、中、易三个层次，题型有
选择题、填空题、综合题三种，而综合性和知识覆
盖面也是重要的隐含信息。从而，我
们对所要解决的两个问题具体分析如下：
针对问题一：试卷质量的评价标准受到多方面因素的影响，具体总结为深
度、广度
和技术性三个层面，而在试卷的命题过程中，三者的权重同等重要。其中深度与
每套试
卷中难、中、易三类题的分值大小相关；广度与高等数学、线性代数、概率统计所
占分
值相关，技术性则包括覆盖面、综合性、题型比例，其中题型比例由选择题、填空题
、
综合题所占分值决定。在此基础上，通过试卷与大纲的综合分析，对各影响因素给出决
定比值，从而依据各因素的相互影响因素建立分层模型，综合得出
2006
年到
2009
年试
卷的综合评定值。通过所得值与标准值的比较，确定试卷质量。
针对问题二：首先进行定量分析：在问题一中，计算出
2006
年到
2009
年考研数学
一试卷的深度值、
广度值、
技术性指标以及综合质量值，
通过进一步计算，
我们得到
2003
年到
2009
年的深度值、广度值、技术性指标以及综合质量值。运用灰色模型对
2010
年
深度值、广度值、技术性指标分别加以计算、预测，对质量结合问题
一进行计算。然后
进行定性分析：根据
2003
年到
2010
年各项值，运用数理统计方法找出其变化
规律并用
MATLAB
软件作图，分析规律。
< br>
3
、
模型假设
1)
假定自
2003
年起考试大纲没有大的变动；
2)
标准试卷的各项指标为最优；
3)
学生能力大致符合正态分布；
4)
专家对问题的难度估计无误；
5)
各个指标的定权无误；
6)
深度、广度和技术性指标能被文中要素全面反映。
< br>
2
4
、符号说明
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
符
号
X
(
0
)
符
号
说
明
原始序列
为相应的模拟误差序列
将原始数据累加生成德序列
将原始数
据作累加生成，第
K
个累加生成为元素
表示深度权向量中第
K
套试卷与标准试
卷的比值
表示相应的模拟序列
为相应的模拟值
对
< br>X
(
1
)
作紧邻均值生成的序列
ˆ
的灰色关联度
X
与
X
ˆ
(
0
)
X
X
(
1
)
X
< br>(
1
)
(
K
)
X
(
0
)
(
K
)
ˆ
(
1
)
X
ˆ
(
1
)
< br>(
k
)
x
Z
(
1
)
z
1
、
z
2
、
z
3
分别表示试卷的深度、广度和技术性
y
11
、
y
1
2
、
y
13
分别表示试卷中的基本题、中等题、难题
W
Z
i
(
y
i
)
y<
/p>
i
对
z
i
的权向量
y
2
i
依次表示高数、线性代数、概率
（
i=1,2,3
）
x
0
,
x
1
x
7
14
分别表示标准试卷，
03
年试卷
...09
年试卷
15
16
17
18
19
W
y
(
X
)
1
i
X
对<
/p>
y
1
i
（
i=1,2,3
）的权向量
X
对
y
2
i
（
i=1,2
,3
）的权向量
X
< br>对
y
3
i
（
i=1,2,3
）的权向量
X
对
Z
i
的权向量
试卷质量的权向量
W
y
(
X
)
2
i
W
y
(
X
)<
/p>
3
i
i
W
z
(
X
)
W
(
X
)
3
5
、模型的建立与求解
5.1
模型准备
参照大纲、结合试题，对
2003
年到
2009
年考研数学一试卷的深度值、广度值和技
术性指标
分别统计如下：
表
5.1
：
零三年到零九年考研数学的深度值
深度
年份
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
难
（分值）
32
36
31
35
34
33
34
中
（分值）
69
73
70
72
75
74
76
易
（分值）
49
41
49
43
41
43
40
总分
150
150
150
150
150
150
150
分析：
1.
难、中、易三类题在历年试卷中所占分值基本稳定
< br>
2.
难、中、易三类题的比例基本
符合
34
：
72
：
44
表
5.2:
零三年到零九年考研数学的广度值
广度
年份
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
高等数学
（分值）
90
90
90
90
82
82
82
线性代数
（分值）
30
30
30
30
34
34
34
概率统计
（分值）
30
30
30
30
34
34
34
总分
150
150
150
150
150
150
150
分析：
1.
高等数学、线性代数、概率统计在历年中占分值基本稳定
2.
高等数学所占比重最大
3.
三者所占分值比例基本为
68
：
32
：
32
4
表
5.3:
零三年到零九年考研数学的技术性指标
题型比例
技术性
覆盖面
综合性
年份
填空题
综合题
（评分）
（评分）
选择题
（分值）
（分值）
（分值）
8
9
24
24
102
2003
2004
9
5
32
24
94
8
10
32
24
94
2005
2006
9
9
32
24
94
9
9
40
24
86
2007
2008
9
8
32
24
94
9
9
32
24
94
2009
说明：
1.
覆盖面的满分值为
10
2.
综合性的满分值为
10
3.
题型比例的综合评分满分为
10
分析：
技术性指标中覆盖面、综合性、题型比例各项值均稳定<
/p>
5.2
模型建立的建立、求解
5.2.1
问题一模型：
5.2.1.1
建立分层模型结构简图如下：
各项技术评分
评分
8
10
10
10
9
10
10
5
u
Z
1
Z
2
Z
3
y
11
y
12
y
13
y
21
y
22
y
23
y
31
y
32
y
33
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
图
1
模型简图
5.2.1.2
建立模型
5.2.1.2.1
确立标准深度
z
z
z
设试卷的深度、广度、技术性分别为
< br>
1
、
2
、
3
，它们对评价试卷的质量是同等重要的。因
T
w
(
z
< br>)
(0.33,0.33,0.33)
此对试卷评定的权
向量为
=
.
试卷中的基本题、中等题
、难题分别表示为
y
11
、
y
12
、
y
13
，则令
y
1
={
y
11
，
y
12
，
y
13
}
，对于
一套标准试卷
来说，
比较适宜的难度比例应该是
30
：
50
：
20.
y
1
对
z
1
的成对比较矩阵为
A
，
y
1
对
z
< br>1
的权向量为
W
z
(
y
1
)
< br>，则：
1
1.0
0
0.6
1.5
1
2.5
A=
1.67
0.67
0.4
1
T
将
A
按行求和取算术平均
值
,
再归一化得
W
< br>z
(
y
1
)
=
(0.2,0.5,0.3)
1
5.2.1.2.2
确立标准广度
在对试题的广度进行分
析时，
我们分别从高数、
线性代数和概率三个方面的出题情况进
行考虑。
y
2
i
（
i=1,2,3
）
1
、
2
、
3
依次表示高数、线性代数、概率
根据
最近大纲的规定，此三部分的比例应为
56
：
< br>22
：
22
比较恰当。
W
z
(
y
2
)
=
< br>(0.56,0.22,0.22)
T
2
5.2.1.2.3
确立标准技术性指标
在技术性方面的
三个指标中，
依据它们对试卷质量的的重要性对它们进行定权为覆盖面：
题类：
综合试题指标
=5
：<
/p>
3
：
4.
6
W<
/p>
z
(
y
3
)
=
(0.41
,0
.26,0.33)
T
3
5.2.1.2.4
确立历年试卷与标准试卷的数据对比关系
从
x
1
到
x
7
表示从
2003<
/p>
年到
2009
年，
x
0
表示标准试卷。
它们在各项评定
标准中的得分或者数据
应该如下表所示：
表
5.4
2003
年到
2009
年考研数学一在
各项评定标准中的数据或得分
评定标准
试卷
（年）
标准
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
深度
易
y
11
30
32
36
31
35
34
33
34
中
y
12
75
69
73
70
72
75
74
76
难
y
13
45
49
41
49
43
41
43
40
高等数学
y
21
84
90
90
90
90
82
82
82
广度
线性代数
y
22
33
30
30
30
30
34
34
34
概率统计
y
23
33
30
30
30
30
34
34
34
覆盖面
y
31
10
8
9
8
9
9
9
9
技术性
综合性
y
32
10
8
10
10
10
9
10
10
题型比例
y
33
10
9
8
10
9
9
8
9
说明：
1.
标准深度（易、中、难比例）为
30
：
75
：
45
2.
标准广度（高数、现代、概率的比例）为
84
：
33
：
33
3.
标准技术性中覆盖面、综合性、题型比例均为
10
5.2.1.3
模型求解
令
X={
x
0
,
x
1
,<
/p>
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
,
x
6
,
x
7
}
先求出
X
对
y
1
i
< br>（
i=1,2,3
）的权向量
0.11
0.12
0.14
0.12
W
y
(
X
)
=
1<
/p>
i
0.13
0.13
0.12
0.13
再求出
X
对
y
2
i
（
i=1,2,3
）的权向量
<
/p>
0.13
0.12
0.13
0.12
0.12
0.13
0.13
0.13
0.13
0.14
0.12
0.14
0.12
0.12
0.12
0.11
7