数学建模论文设计范文
-
数模论文的撰写方法
1.
题目
2.
摘要
3.
问题重述
4.
问题分析
5.
模型假设与约定
6.
符号说明及名词定义
7.
模型建立与求解
①补充假设条件，明
确概念，引
进参数
;
②模型形式
(
可有多个形式的模型
);
8.
进一步讨论
(
< br>参数的变化、
假设改变对模型的影响
)
9.
模型检验
(
使用数据计算结果，进行分析与检验
)
10.
模型优缺点
(
改进方向，推广新思想
)
11.
参考文献及参考书籍和
12.
附录
(
计算程序，
框图
;
< br>各种求解演算过程，
计算
中间结果
;
各种图形、表格。
)
下面是例：
1
问题的提出
位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足
20mm
，是典型的
缺水地区。
过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建造
的小蓄
水池，
用来屯积每逢下雨时获得的雨水，
另一方面是利用村里现
有的四口
水井。
由于近年来环境破坏，
经常是一连数月滴雨不下，
这些小蓄水池的功能完
全丧失。而现
有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表
1
中给出它们在近
9
年来的产水量粗略统计数字。
2009
年以来，由于水井的水远
远不能满足需要，<
/p>
不仅各种农业生产全部停止，
而且大量的村民每天要被迫翻山
越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。
为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。
从两方面考虑，
一是地质专家经过勘察，
在该村附近又找到了<
/p>
8
个可供打井的位置，
它们的地质
构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表
2
，而且
预计每口水井的年产水量还会以平均每年
10%
左右的速率减少。二是从长远考
虑，可以通过
铺设管道的办法从相隔
20
公里外的地方把河水引入该村。铺设
管
0.51
P
0
.
66Q
L
（万元），其中
Q
表示每年的可供水量（万吨
/
年），
道的费用为
L
表示管道长度（公里）。铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺
< br>设管道的费用为万元的整数倍。要求完成之后，每年能够通过管道至少提供
100
万吨水。
< br>政府从
2010
年开始，
连续三
年，
每年最多可提供
60
万元用于该村
打井
和铺设管道，
为了保证该村从
20
10
至
2014
年这五年间每年分别能
至少获得
150
、
160
、
170
、
180
、
190
万吨水，请作出一个从
2010
年起三年的打井和铺设管道计
划，
以使整个计划的总开支尽量节省
（不考虑小蓄水池的作用和利息的因素在）
。
表
1
现有各水井在近几年的产水量（万吨）
年份
产
水量
编号
1
号井
2
号井
3
号井
4
号井
2001
32.2
21.5
27.9
2002
31.3
15.9
25.8
46.2
2003
29.7
11.8
23.8
32.6
2004
28.6
8.7
21.6
26.7
2005
2006
2007
2008
2009
27.5
26.1
25.3
23.7
22.7
6.5
4.8
3.5
2.6
2.0
19.5
17.4
15.5
13.3
11.2
23.0
20.0
18.9
17.5
16.3
编号
打井费用
当年产水
表
2
<
/p>
8
个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）
1
2
3
4
5
6
5
25
7
36
5
32
4
15
6
31
5
28
7
5
22
8
3
12
2
问题的分析
题中要求制定一个总费用（决策目标）最小的抗旱（打井，铺设管道）方
案，
属于优化问题，
并且使得该村从
2010
至
2014
年这五年间每年分别能至少获
得
150
、
160
、
170
、
1
80
、
190
万吨水，每年费用不超过
60
万元。（此两点为主
要约束条件）
其他的约束条件有：
a.
每口井只能在
2010
年开始，连续三年中的其中
一年施工
b.
铺设管道费用为万元整数倍
c.
由于河位于与该村相隔
20
公里外的地方
,
所以管道总长度不小于
20
公里
d.
铺设管道需要
3
年时间
,
故前
3
年管道供水量为
0,
而第
4,5
年供水量不
小
于
100
万吨。
故此模型即为基于以上约束条件的整数规划（最优决策目标）问题。
3
模型的假设
a
．忽略小蓄水池的作用和利息因素
b
．不考虑意外情况导致所需经费增加
c
．假设井在年初修建且时间很短，
修
完之后即可利用，
管道铺好后即可用于供
水
d
．假设这五年之村民需水量基本稳定
e
．假设井供水量呈稳定规律变化，不考虑其他因素对产水量的
影响
f
．从长远利益考虑，打井和铺
设管道两个方案应同时协调进行
4
符号说明
X
ij
0
—
1
变量，表示
第
i
号井在第
j
年的施工情况，
X
ij=
1
第
i
号井在第
j
年
施工，
X
ij=<
/p>
0
表示不施工
Z
j
第
j
年的总费用
P
j
第
j
年的铺管道费用
L
j
第
j
年铺管道公里数
W
j
第
j
年的水量
Q
管道供水量
N
j
所有新建的水井在第
j
年的产水量
5
模型建立
决策变量为三年间铺设管道
和打井的总费用。
0
—
1
变量
X
ij
表示
i
号井
j
年是否
施工，为
1
则施工
,
产生费用，
P
j
表示第
j
年的铺路费用。所以第
j<
/p>
年的总费用
Z
j
=5*X
1j
+7*X
2j
+5*X
3j
+4*X
4
j
+6*X
5j
+5*X
6j
+5*X
7j
+3*X
8j
+P
j
三年费用
min Z=Z
1
+Z
2
+Z
3
=5*
X
11
+7*X
21
< br>+5*X
31
+4*X
41
+6*X
51
+5*X
61
+5*X
71
+3*X
81
+P
1
+
5*X
12
+7*X
22
+5*X
32
+4*X
42
+6*X
52
+5
*X
62
+5*X
72
+3*X
82
+P
2
+
5*X
13
+7*
X
23
+5*X
33
< br>+4*X
43
+6*X
53
+5*X
63
+5*X
73
+3*X
83
+P
3
约束条件
：
1
）由于第
i
号井只
能在三年中的某一年打造或者不打造，故应有
Xij
<=1;
j
1
3
2)
每年的费用不能超过计划即
Z
1
=5*
X
11
+7*X
21
< br>+5*X
31
+4*X
41
+6*X
51
+5*X
61
+5*X
71
+3*X
81
+P
1
;
Z
2
=5*X
12
+7*X
22
+5*X
32
+4*X
42
+6*X
52
+
5*X
62
+5*X
72
+3*X
82
+P
2
;
Z
3
=5*X
13
+7*
X
23
+5*X
33
< br>+4*X
43
+6*X
53
+5*X
63
+5*X
73
+3*X
83
+P
3
;
Z
1
〈
=60
，
Z
2
〈
< br>=60
，
Z
3
〈
=60
3)
每年的水量应满足要求，水量有
三部分构成：现有水井的产水量，新建水井
的产水量，
管
道铺好后的管道水量。
现有水井产水量可根据
2001
——
2009
数据拟合出
2010
——
2014
年的，程序编
码及拟合
图
见附录
1
，拟合结果如下图所示：
编号
产水量
年份
1
号井
2
号井
3
号井
4
号井
总水量
2010
2011
2012
2013
2014
21.4472
1.069
9.1306
11.8286
43.4754
20.2456
0
7.0456
4.5071
31.7983
19.0439
0
4.9606
0
24.0045
17.8422
0
2.8756
0
20.7178
16.6406
0
0.7906
0
17.4312
新建水井产水量：
第一年：
N
1
=25*X
11
+36*X
21
+32*X
31
+
15*X
41
+31*
X51
+28*X
61
+22*X
71
+12*X
81
;
第二年：
N
2
=25*X
12
+36*X
22
+32*X
32
+
15*X
42
+31*X
52
+28*X
62
+22*X
72
+12*X
82
+25*X<
/p>
11
*0.9+36*X
21
*0.9
+32*X
31
*0.9+15*X
41
*0.9+31*X
< br>51
*0.9+28*X
61
*
0.9+22*X
71
*0.9+12*X
81
*0.9
第三年：
N
3
=25*X
13
+36*X
23
+32*X
33
+15*X
43
+3
1*X
53
+28*X
63
+22*X
73
+12*X
83
+25*X
12
*0.9+36
*X
22
*0.9
+32*X
32
*0.9+15*X
42
< br>*0.9+31*X
52
*0.9+28*X
62
*0.9+22*X
72
*0.9+12*X
82
*0.9+25*X
11
*0.81+
<
/p>
36*X
21
*0.81+32*X
31
*0.81+15*X
41
*0.81+31*X
51
*0.81+28*X
61
*0.81+22*X
71
*0.81+12*X
81
*0.81
;
第四年：
N
4<
/p>
=N
3
*0.9
第五年：
N
5
=N
< br>3
*0.81
管道水量：前三年为
0
，后两年为
Q
故每年的总水量
W
< br>1
=43.4754+N
1
W
2
=31.7983+N
2
W
3
=24.0045
+N
3
W
4
=20.7178+N
4
+Q
W
5
=17.4312+N
< br>5
+Q
满足，
W
1
>=150,
W
2
>=160,
W
3
>=170,
W
4
>=180,
W
5
>=190
4)
每年的铺管道费取整且总管道不小
20
公里即
P
j
=0.66Q^
0.51*L
i
P
j
取整
<
/p>
L
1
+L
2
+L
3
>= 20
6
模型求解
将上述模型输入
LINGO
可得到【
2
】
Local optimal solution
found.
Objective value:
172.0000
Extended solver steps:
308
Total solver iterations:
10226
Variable Value Reduced Cost
Z1
55.00000 0.000000
Z2 60.00000 0.000000
Z3 57.00000 0.000000
X11 1.000000 5.000000
X21
0.000000 7.000000
X31 1.000000 5.000000
X41
0.000000 4.000000
X51 0.000000 6.000000
X61
1.000000 5.000000
X71 1.000000 5.000000
X81
0.000000 3.000000
P1 35.00000 1.000000
X12 0.000000 5.000000
X22
1.000000 7.000000
X32 0.000000 5.000000
X42
0.000000 4.000000
X52 0.000000 6.000000
X62
0.000000 5.000000
X72 0.000000 5.000000
X82
0.000000 3.000000
P2 53.00000 1.000000
X13 0.000000 5.000000
X23
0.000000 7.000000
X33 0.000000 5.000000
X43
0.000000 4.000000
X53 1.000000 6.000000