数学建模论文符号

余年寄山水
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2021年02月19日 16:14
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2021年2月19日发(作者：埃及法老电影)


一．摘要








第二问 中，本文将贮料的分布情况分别在整体流动和管状流动（漏斗状流


动）

< br>下进行考虑。


对于仓内贮料的分布情况，


可通过贮料容量 随时间的变化关系


进行描述，


并根据贮料容量与出入料速度之间 的等量关系建立颗粒流微分方程模


型。


但由于出料速度在两个状 态时存在很大差异故需分开求解，


在整流状态下可


结合能量守恒 定律，


得出筒仓内物料上表面的高度与出料速度的关系；


在管状 流


动（漏斗状流动）状态下，由于贮料上表面曲面不规则且较为复杂，通过简化流


速


Janssen


公式求解出料速度。最后将 出料速度代入微分方程可求得贮料容量随


时间的表达式，即可表征物料分布情况。




二．问题分析




在探讨筒仓仓内产品的分布与堆积问题时，为了描述分布与堆 积状况，考


虑到不同状态时仓筒贮料容量会存在差异可以反映堆积特征，


故可用容量


V


来进


行描述。< /p>


首先先对煤炭筒仓内物料流动形态进行分析，


查阅文献可知贮料流 动形


态大致分为两阶段，


一种为整体流动，

即卸料时贮料整体向下运动；


一种为管状


流动（漏斗状流动 ），即卸料时贮料从其内部的流动腔中流动。卸料时，筒仓上


部颗粒先进行整体流动，< /p>


当贮料到达一定高度后转变为管状流动状态。


接着进一

< p>
步描述筒仓贮料的分布情况，


考虑到贮料容量由入放料速度之差决定，


可分别建


立基于能量守恒的颗粒流微分方程模型与基于


J


an


ssen


公式的颗粒 流微分方程模


型，对贮料流动平衡前后两种状态进行深入描述。




三．符号说明



符号表示



V



符号意义



筒仓中贮料实际容量



入料速度



出料口速度



同时入放料开始后时间



物体动能



物体势能



筒仓各部分实际质量



筒仓各部分贮料实际高度



筒仓各部分横截面积



流动系数



u


入



u


出



t



E



U



M



L



S



k



g



重力加速度



水力半径



R





四．模型假设



1.

< br>物料与仓壁、物料与物料之间的摩擦系数为


0


。



2.


煤质可视为流态的颗粒流。



3.


不考虑卸料口成拱堵塞等特殊情况。



4.


假设产品入料的速度为可人为控制的定值。




五．模型建立与求解



5.1.


模型分析








卸料开始时，靠近仓壁的贮料与中心线的贮料运动位移大致相 同，使得贮


料水平截面保持水平，


此时为整体流动状态；


当颗粒到达一定高度时，


靠近仓壁


贮料位移比 中心线附近贮料运动的慢，这时流动状态为管道流动，如图一所示。




图一：贮料流动形式





接着进一 步描述流动过程中贮料的分布情况，由容量与入放料速率的关系


dV


u


入



u


出


,


可引入颗粒流微分方程模型。考 虑两种状态下放料速率的影响因


dt


素不同，故应分开求解。对 于整体流动，其运动形式较为规则，可采用能量守恒


定律求解放料口速度。


反之，


管状流动运动形式不规则，


运用能量守恒分析 非常


复杂且与实际情况相差较大，故这里采用


J


an


ssen


公式简化计算放料口速度。



5.2.


颗粒流微分方程建立与求解







根据筒仓容量变化的物理规律可知，


贮料容量变化速率等于入料速率 与出料


速率之差，


查阅文


献

< p>


1



可知贮料投放速率 为一人为可控定值，


因此只需考虑筒仓


出料速率，


而出料速度既与贮料容量和流动方式有关，


因此需分开考虑。


在此建


立以下颗粒流微分方程来总体考虑容量变化情况：




设


t

为时间，


V


为仓内贮料总量，


u< /p>


入


为筒仓入料速率，


u

< br>出


为筒仓出料速率，


可建立如下关系式：





V


V


(


t


）



dV



u


入



u


出





dt



对于整体流动与管状流动，出料速率


u


出


的求解方式不同，故建立两种模型分别


求解。



5.2.1


能量守恒定律求解整流状态下出料速率< /p>



计算的基本依据是能量守恒定


律



2



，筒仓贮料流 动前后的机械能总量相等，


即



E


a



U


a



E


b



U


b



式中：


E


a


—贮料流动前动能；




U


a

—贮料流动前势能；




E


b


—贮料流动后动能；




U


b

—贮料流动后势能



如图


2


所示，


贮料流动前动能


E

a



0


，


只有势能


U


a


；


如图


3


贮料流动后情况，


贮料向下流 动了一段距离


L


3


，此时贮料既有动能


E


b


，又有势能


U


b


。故该能量守


恒方程可化为：< /p>



U


a



E


b


U


b




即


< p>
E


b



U


a



U


b


①





图


2


：仓斗 贮料流动情况



图< /p>


3


：仓斗贮料流动后情况



对于贮料流动前势能


U


a


，


包括仓斗上部圆柱体贮料势能


U


a


1


与仓斗下部椎体


贮料势能


U


a


2


，取仓斗中流出物料的 下表面为零势能面，如图


3


所示


o



o


线；



对于贮料流动后势能


U


b

，


包括仓斗上部圆柱体贮料势能


U


b


1


、


仓斗下部椎体

< br>贮料势能


U


b


2


与仓斗流出贮料势能


U


b


3< /p>


，则有：




U


a



M


1


g


(


L


2



L


3



L


1


)

< br>


U


a


2



②



2



U


b



(


M


1



M


3


)


g


(


L


2



L


3


< br>L


1



S


2


L


3


)



U



1


M


gL


b


2


3


3



③



2


2


S


1


2


式中：


M


1


—仓斗上部圆柱体贮料质量；



< /p>


M


3


—仓斗中流出贮料的质量；




L


1< /p>


—仓斗上部圆柱体贮料长度；




L


2


—仓斗下部椎体贮料长度；




L


3


—仓斗中流出物料的长度；




S


1


—上部圆柱体横截面积；




S


2< /p>


—下部椎体出口处面积



而由图


2


图


3


可知下部椎体贮 料势能在流动前后无变化，


即


U


a


2



U


b


2


，


故把

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