高斯小学奥数四年级下册含答案第09讲_排列组合公式
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第九讲
排列组合公式
开篇漫
画中，小高要想说对口诀还真不容易！我们学过乘法原理，口诀第一个字有
6
种说法，
第二个字有
5
种
说法，
依此类推，
口诀这六个字有
6<
/p>
5
4
3
2
1
720
种排法．
我
们也可以这样理解：
< br>只有把口诀这六个字按照正确的顺序排列好，
才能练成高思神掌．
把六
个字排成一列，就是我们这一讲要学习的排列．
排列公式：
从
m
个
不同
的元素中取出
n
个（
n
m
）
，并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做
从
m
个不同元素中取出
n
个的排列数，记作
A
m
，它的计算方法如下：
从
m
开始
递减
地连乘
n
个数
< br>n
A
m
m
(
m
1)
……
(
m
n
1)
n
比如，
从
1
、
2
、<
/p>
3
、
4
中挑两个
数字组成一个两位数，十位上有
1
、
2
、
3
、
4
这
4
种选
择，十位
选定后，个位可以从剩下的三个数字中选，有
3
种选择．根据乘
法原理可以知道，
这样的两位数有
4
3
12
个．
我们也可以这样理解，要组成两位数相当于从
1
、
2
、
3
、
< br>4
中
2
4
3
1
2
种排法，所以这样的两位数有
12
个
．
挑两个数字排成一行，有
A
4
关于排列数的计算，再给大家举几个例子：
< br>A
5
4
5
4
3
2
120
（从
5
开始递减地连乘
4
个数）
；
3
A
8
8
7
6
336
（从
8
开始递减地连乘
3
个数）
；
1
A
100
100
（从
100
开始递减地连乘
1
个数）
．
例题
1
2
计
算：
（
1
）
A
4
；
（
2
）
A
10
；
4
2
（
3
）
A
6
．
3
A
6
4
「分析」
直接用公式计算，主要要从几开始乘，连乘几个数．
练习
1
3
计算：
（
1
）
A
7
；
3
2
（
2
）
A
5
．
A
5
生活中的许多问题其实就是排列问题．例如，你回家后，发现
桌上有牛奶糖、巧克力
和水果糖各一颗，
你会按照什么顺序来吃
这三种糖？先吃哪个再吃哪个，
有多少种方式呢？
这其实就是一
个排列问题．
例题
2
小高、
墨莫、
卡莉娅和宣萱四个人到野外郊游，
其中三个人站成一排
，
另外一个人拍照，
请问：一共会有多少张不同的照片？
「分析」
本题要站成一排，顺序有没有影响
？“小墨卡”和“墨卡小”表示的是
同一张还是两张不同的照片？
练习
2
有
5
面不同颜色的小旗，
任取
3
面排成一行表示一种信号，
一共可以表示出
多少种不同
的信号？
拍聚会照
赵项和童学是好朋友．一天，童学的父母带着童学和赵项出去游玩．赵项酷爱摄影，提<
/p>
出要给童学拍全家福，童学一家以为只拍一张照片，就同意了．结果赵项要求童学一家在<
/p>
6
个不同景点，按照“爸爸、童学、妈妈”
、
“妈妈、童学、爸爸”等
6
种排列
方式全拍一遍，
且每次拍照时每个人的动作都不一样．
童学一家
非常厌烦，
但既然同意拍照了就只能硬着头
皮拍完这
6
张照片．
一个月之后
，班里有十人左右的同学聚会．童学说：
“咱们让赵项来拍聚会照吧！
< br>”
同学
们应声附和，赵项一听，撒腿就跑，心想：
“还不得累死我啊！
”
与排列问题相对，生活中也存在着
许多不需要排序的问题．例如，开运动会了，老师
要选出一部分同学组成拉拉队，
那么从全班同学中选出的这部分人有多少种可能呢？从全班
同学中选出
的这部分人，并不需要进行排序，这其实就是一个组合问题．
比如，要从
1
、
2
、
3
、
4
中挑两个不同的数，这时挑出
1
、
2<
/p>
与挑出
2
、
1<
/p>
都是一样的，
挑出
1
、
3
与挑出
3
、
1
也是一样的．换句话说，能组成的两位数有
A
4
2
个，但每两个数字
可
2
2
个两
位数，在这里只算作同一种挑法．
以对应
A
2
2
2
A
2
12
2
6
种方法．
因此，
只是从
1
、
2
、
3
、
4
中挑两个数而不考虑顺序，
有
A
4
这
就是组合公式的来由．
组合公式：
从
m
个不同元素中取出
n
个（
n
m
）作为一组（不
计顺序）
，可选择的方法数叫做从
n
m
个不同元素中取出
n
个不同的组合数，
记作
C
m
，它的计算方法如下：
n
n
n
n
C
m
A
m
A
n
[
m
m
1<
/p>
……
m
n
1
]
A
n
．
< br>
给大家举几个例子：
2
2
2
从
5
个不同的元素中取出
2
个作为一组，
有
C
5
A
5
A
2
5
4
<
/p>
2
1
10
种不同的
方法
；
3
3
3<
/p>
A
5
A
3
5
4
3
3
2
1
10
种
从
5
个不同的元素中取出
3
个作为一组，有
C
5
不同的方法．
例题
3
3
2
1
7
3
计算：
（
1
）
C
5
3
；
（
2
）
C
10
；
（
3
）
C
5
4
，
C
5
；
（
4
）
C
10
，
C
10
2<
/p>
C
10
．
「分析」
直接用公式计算，注意公式里每
个数字的含义．
练习
3
3
8
3
2
计算：
（
1
）
C
8
；
（
2
）
2
C
7
；
（
3
）
< br>C
10
．
C
5
例题
4
墨爷爷把
10
张不同的游戏卡分给墨莫
和小高，并且决定给墨莫
7
张，给小高
3
张，一
共有多少种不同的分法？
<
/p>
「分析」
从
10
张中取出
7
张给墨莫，这
7
张的顺序是否有影响呢？应该是排列数还是
组合数呢？
练习
4
阿呆和阿瓜一起去图书馆借童
话小说，
发现书架上只剩下
6
本不同的
书，
于是每人借了
3
本，那么他们一共
有多少种不同的借法？
例题
5
从
1~5
这
5
个
数字中选出
4
个数字
（不能重复）
组成四位数，
共能组成多少个不同的四
位数
？千位是
1
的四位数有多少个？其中比
3000
小的有多少个？
「分析」<
/p>
组
4
位数，
其实
是要从
5
个数字中选
4
个排成一排，
如果用排列进行计算？千
位是多少的数肯
定比
3000
小？