排列组合与二项式定理知识点
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高中数学第十章
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排列组合二项定理
考试内容：
分类计数原理与分步计数原理．
排列．排列数公式．
组合．组合数公式．组合数的两个性质．
二项式定理．二项展开式的性质．
考试要求：
（
1
）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．
（
2
）理解
排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．
（
3
）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合
数的性质，并能用它们解决一些简单的
应用问题．
（
4
）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能
用它们计算和证明一些简单的问题．
§
10.
排
列
组
合
二
项<
/p>
定
理
知
识
要
点
一、两个原理
.
1.
乘法原理、加法原理
.
2.
可
以有
重复
元素
的排列
.
．
．．
．．
．．
从
m
个不同元素中，每次取出
n
个元素，元
素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，
那么第一、第二
…
…
第
n
位上选取元素的方法都是
m
个，所以从
m
个不
同元素中，每次取
出
n
个元素可重复排
列数
m·m·… m = m
n
..
例如：
n
件物品放入
< br>m
个抽屉中，不限放法，共
有多少种不同放法？
（解：
m
种）
二、排列
.
1.
⑪
对排列定义的理解
.
定义：从
n
个不同的元素中任取
m(m
≤
n
)
个元素，按照一定顺序
排成一列，叫做从
n
个不同
．．．．．．
元素中取出
m
个元素的一个排列
.
⑫
相同排列
.
如果；
两个排列相同，
不仅这两个排列的元素必须完全相同，
而且排列的顺序也必须完全相
同
.
⑬
排列数
.
从
n
个不同元素中取出
m
(
m≤n
)
个元素排成一列
，称为从
n
个不同元素中取出
m
个元素的
m
一个排列
.
从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列数，用符号
A
n
表示
.
n
⑭
排列数公式：
A
m
n
(
n
1
)
(
n
m
< br>
1
)
n
!
(
m
n
,
n
,
m
N
)
(
n
m
)!
注意：
n
n
!
(
n
1
)!
n
!
规定
0! = 1
m
m
m
m
1
m
m
1
m
m
1
< br>0
A
n
规定
C<
/p>
n
C
n
A
n
nA
n
n
1
1
< br>A
n
A
m
C
n
A
n
mA<
/p>
n
1
2.
含有可重元素
的排列问题
.
．．．．．．
对含有相同元素求排列个数的方法是：
设重集
S
有
k
个不同元素
a
1
，
a
2
,…...a
n
其中限重复数
为
n
1<
/p>
、
n
2
……n<
/p>
k
，且
n = n
1
+n
2
+……n
< br>k
,
则
S
< br>的排列个数等于
n
n
!
.
n
1
!
n
2
!...
n
k
!
例如：已知数字
3
、
2
、
2
，求其排列个数
n
(
1
2
)!
3
又例如：数字
5
、
5
、
5
、求其排列个
1
!
2
!
数？其排列个数
n
3
!
1
.
3
!
三、组合
.
1.
⑪
组合：
从
n
个不同的元素中任取
m
(
m≤n
)
个元素并成一组，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素
的一个组合
.
A
m
< br>n
(
n
1
)
(
n
m
1
)
n
!
m
⑫
组合数公式：
C
<
/p>
n
C
n
m
m
!
m
!
(
n
m
)!
< br>A
m
m
n
⑬
两个公式：①
C
n
C
m
n
m
n
;
②
C
m
1
m
m
n
C
n
C
n
< br>1
①
从
n
个不同元素中取出
m
个元素后就剩
下
n-m
个元素，因此从
n
个不同元素中取出
n-m
个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从
n
个不
同元素中取出
n-m
个元素的
唯一的一
个组合
.
（或者从
n+1
个编号不同的小球中，
n
个白球一个红球，任取<
/p>
m
个不同小球其不同选法，
1
m
1
m
分二类，一类是含红球选法有
C
m
n
C
1
1
C
n<
/p>
一类是不含红球的选法有
C
n
）
②
根据组合定义与加
法原理得；在确定
n+1
个不同元素中取
m
个元素方法时，对于某一元
素，只存在取与不取两种可能，
如果取这一元素，则需从剩下的
n
个元素中再取
m-1
个元
1
素，所以有
C
m
n
，如果不取这一元素，则需从剩余
n
个元素中取
出
m
个元素，所以共有
C
n
种，依分类原理有
C
m<
/p>
m
1
m
m
C
C
n
n
n
1
.
⑭
排列与组合的联系与区别
.
联系：都是从
n
个不同元素中取出
m
个元素
.
区别：前者
是
“
排成一排
”
，后者是
“
并成一组
”
，前者有顺序关系，后者无顺序关系
.
⑮①几个常用组合数公式
0
1
2
n
C
n
C
n
< br>
C
n
n
2
n
0
2
4
1
3
5
C
n
C
n
C
n
< br>
C
n
C
n
C
n
2
n
1
m
m
m
m
1
C
m
< br>
C
C
C
C
n
m
1
m
2
m
n
m
n
1
k
< br>1
kC
k
n
nC
n
1
1
1
1
C
k
C
k
n
n
1
k
1
n
1
< br>②常用的证明组合等式方法例
.
i.
裂项求和法
.
如：
< br>1
2
3
n
1
n
1
1
1
1
）
（利用
2
!
3
!
4
!
(
< br>n
1
)!
(
n
1
)!
n
!
(
n
1
)!
n<
/p>
!
ii.
导数法
.
iii.
数学归纳法
.
iv.
倒序求和法
.
m
1
m
C
3
C
4
<
/p>
C
5
C
n
C
n
1
.
v.
递推法（即用
C
m
n
C
n
C
n
1
递推）如：
3
3
3
3
4
vi.
构造二项式
.
如：
(
C
n
)
(
C
n
< br>)
(
C
n
)
C
2
n
证明：这里构造二项式
(
x
1
)
n
(
1
x
)
n
(
1
x
)<
/p>
2
n
其中
x
n
的系数，左边为
0
1
n
1
2
n
2
n
0
0
2
1
2
n
2
C
2
n
< br>
C
n
C
n
n
C
n
C
n
C
n
C
n
C
n
< br>C
n
(
C
n
)
(
C
n
)
(
C
n
)
，而右边
0
2
1
2
n
2
n
n
四、
排列、组合综合
.
1. I.
排列、组合问题几大解题方法及题型：
①
直接法
.
②
排除法
.
③
捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素
来考虑，待整体排好之后再
考虑它们
“
局部
”
的排列
.
它主要用于解决
“
元素相邻问题
”<
/p>
，例如，一般地，
n
个不同元素排成
m
1
m
n
m
1
一列，要求其中某
m<
/p>
(
m
n
)
个元素必相邻的排列有
A
< br>n
n
m
1
A
m
个
.
其中
A<
/p>
n
m
1
是一个
“
整体排<
/p>
列
”
，而
A
m
m
则是
“
局部排列
”.
2<
/p>
2
又例如①有
n
个不同座位，
A
、
B
< br>两个不能相邻，则有排列法种数为
A
n
< br>.
A
n
1
1
A
2<
/p>
1
2
.
②有
n
件不同商品，若其中
A
、
B
排在一起有
A
n
n
1
A
2
2
1
.
③有
n
件不同商品，若其中有二件要排在一起有
A
n
A
< br>n
n
1
注：①③区别在于①是确定的座位，有
A
2
< br>种；而③的商品地位相同，是从
n
件不同商品任
2
取的
2
个，有不确定
性
.
④
插空法：先把一般元素排列好
，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主
要解决
“
元素不相邻问题
”.
m
m
例如：
n
个元素全排列，
其中
m
个元素互不相邻，
不同的排法种数为多少？
A
n
（插
n
m
A
n
m
1
空法）
，当
n
–
m+1≥m,
< br>即
m≤
n
1
时有意义
.
2
⑤
占位法：
从元素的特殊性上讲，
对问题中的特殊元素应优先排列，
然后再排其他一般元素；
从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置
.
即采用
“
先
特殊后一
般
”
的解题原则
.
< br>⑥
调序法：
当某些元素次序一定时，
可用此法
.
解题方法是：
先将
n
个元素进行全排列有
A
< br>n
n
种，
m
(
m
n
)
个元素的全排列有
A
m
由于要求
m
个元素次序一定，
因此只能取其中的某一种
m
种，
排法
，可以利用除法起到去调序的作用，即若
n
个元素排成一列，其
中
m
个元素次序一定，
共有
A
n
n
A
m
m
种排列方法
.
例如：
n
个元素全排列，其中
< br>m
个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？
解法一：
（逐步插空法）
（
m+1
）
（
m+2
）
…n = n
！
/ m
！
；解法二：
（比例分配法）
A
n
/
A
< br>m
.
n
m