初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
-
经典练习题
相似三角形（附答案）
一．解答题（
共
30
小题）
1
．如图，在△ABC
中，DE∥BC，EF∥AB，求证：
△ADE∽△EFC．
2
．如图，梯形
ABCD
中，AB∥CD，点
F
在
BC
上，连
DF
与
AB
的延长线交于点
G
．
（
1
）求证：△CDF∽△BGF；
（
< br>2
）当点
F
是
< br>BC
的中点时，过
F
作
EF∥CD
交
AD
于点
E
，若
AB=6cm
< br>，
EF=4cm
，求
CD
的长．
3
．如图
，点
D
，
E
在
BC
上，且
FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE．
4
．如图，已知
E
是矩形
ABCD
的边
CD
上一点，BF⊥
AE
于
F
，试说明：△ABF∽△EA
D．
5
．已知：如图①所示，在△ABC
和
△ADE
中，
AB=AC
，
AD=AE
，∠BAC=∠DAE，且点
B
，
A
，
D
在一条直
线上，连接
BE
，
CD
，
M
，
N
分别为
BE
，
CD
的中点．
（
1
）求证：①BE=CD；②△AMN
< br>是等腰三角形；
（
2
）在图①的基础上，将△ADE
绕点
A
按顺时针方向旋转
180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请<
/p>
直接写出（
1
）中的两个结论是否仍然成
立；
（
3
）
在（
2
）的条件下，请你在图②中延长
ED
交线段
BC
于点
< br>P
．求证：△PBD∽△AMN．
6
．如图，
E
是<
/p>
▱
ABCD
的边
BA
延长线上一点，连接
EC
，交
AD
于点
F
．在不
添加辅助线的情况下，请你写
出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明
．
2
7
．如图，在
4×3
的正方形方格中，△ABC
和△DEF
的顶点都在边长为
1
的小正方形的顶点上．
（
1
）填空：∠A
BC=
_________
°，
BC=
_________
；
（
2
）判断△ABC
与△DEC
是否相似，并证
明你的结论．
8
．
如图，
已知矩形
ABCD
< br>的边长
AB=3cm
，
BC=6
cm
．
某一时刻，
动点
M
从
A
点出发沿
AB
方向以
1cm/s
的速
度向
B
点匀速运动；同时，动点
N
从
D
点出发沿
DA
方向以
2cm/s
的速度向
A
点匀速运动，问：
（
1
）经过多少时间，△AMN
的面积等
于矩形
ABCD
面积的
？
（
2
）是否存在时刻
t
，使以
A
，
M
，
N
为顶点的三
角形与△ACD
相似？若存在，求
t
的
值；若不存在，请说
明理由．
3
9<
/p>
．如图，在梯形
ABCD
中，若
AB∥DC，
AD=BC
，对角线
BD
、
AC
把梯形分成了四
个小三角形．
（
1
< br>）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形
的概率是多少；
（注意：全等看成相似的特例）
（
2
）请你任选一组相似三角形
，并给出证明．
10<
/p>
．如图△ABC
中，
D
< br>为
AC
上一点，
CD=2DA<
/p>
，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD
于
E
，连接
AE
．
（
1
）写出图中所
有相等的线段，并加以证明；
（
2<
/p>
）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；
（
3
）求△BEC
与△BEA
的面积之比．
4
<
/p>
11
．如图，在△ABC
中，
AB=AC=a
，
M
为底
边
BC
上的任意一点，过点
M
分别作
AB
、
AC
的平行线交
AC
于
P
，交
AB
于
Q
．
（
1<
/p>
）求四边形
AQMP
的周长；
（
2
）写出图中的两对
相似三角形（不需证明）
；
（
3
）
M
位于
BC
的什么位置时，四边形
AQMP
为菱形并证明你的结论．
12
．已知：
P
是
正方形
ABCD
的边
BC
上的点，且
BP=3PC
，
M
是
CD
的中点，试说明：△ADM∽
△MCP．
5
<
/p>
13
．如图，已知梯形
ABCD
中，AD∥BC，
AD=2
，
< br>AB=BC=8
，
CD=10
．
（
1
）求梯
形
ABCD
的面积
S
< br>；
（
2
）动点
P
从点
B
出发，以
1cm/s
的速度，沿
B
⇒
A
⇒
D
⇒
C
方向，向点
C
运动；动点
Q
从点
C
出发，以
1cm/s
的速度，沿
C
⇒
D
⇒
A
方向，向点
A
运
动，过点
Q
作
QE⊥BC
于点
E
．若
P
、
Q
两点同时出发，当其
中
一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为
t
秒．问：
①当点
P
在
B
⇒
A
上运动
时，是否存在这样的
t
，使得直线
PQ
将梯形
ABCD
的周长平分？若存在，
请求出
t
的值；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的
t
，使得以
P
、
A
、
D
为顶点的三角形与△CQE
相
似？若存在，请求出所有
符合条件的
t
的值；若不存在，请说明理由；
③在运动过程中，是否存在这
样的
t
，使得以
P
、
D
、
Q
为顶点的三角形恰好是以
DQ
为一腰的等腰三角形？
若存在，请求出所有符合条件的
t
的值；若不存在
，请说明理由．
6
14
．已知矩形
ABCD
，长
BC=12cm
，宽
AB=8cm
，
P
、
Q
分别是
AB
< br>、
BC
上运动的两点．若
P
自点
A
出
发，以<
/p>
1cm/s
的速度沿
AB
方向运动，同时，
Q
自点
B<
/p>
出发以
2cm/s
的速度沿
BC
方向运动，问经过几秒，
以
P
、
B
、
Q
为顶点的三角形与△BDC
相似？
15
．如图，在△ABC
中，
AB=10cm
，
BC=20cm
< br>，点
P
从点
A
< br>开始沿
AB
边向
B
点以
2cm/s
的速度移动，
点
Q
从点
B
开始沿
BC
边向点
C
< br>以
4cm/s
的速度移动，如果
P
、
Q
分别从
A
、
B
同时出发，问经过几秒钟，
△PBQ
与△ABC
相似．
16
．如
图，∠ACB=∠ADC=90°，
AC=
，
< br>AD=2
．问当
AB
的长为多少
时，这两个直角三角形相似．
7
17
．
已知，
如图，
在边长为
a
的正方形
ABCD
中，
M
是
AD
的中点，
能否在边
AB
上找一点
N
（不含
A
、
B
）
，
使得△CDM
与△MAN
相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．
18
．如图在△ABC
中，∠C=90°，
BC=8cm
，
AC=6cm
，点
< br>Q
从
B
出发，沿
BC
方向以
2cm/s
的速度
移动，
点
P
从
C
出发，沿
CA
方向以
1cm/s
的速度移动．若
Q
、
P
分别同时从
B
、
C
出发，试探究经过多少秒后，
以点
C
、
P
、
Q
为顶点的三角形与△CBA
相似？<
/p>
19
．如图所示，梯形
ABCD
中，AD∥BC
，∠A=90°，
AB=7
，
AD=2
，
BC=3
，试在腰
< br>AB
上确定点
P
的位
置，使得以
P
，
A
，
D
为顶点的三角形与以
P
，
B
，
C
为顶点的三角形相似．
20
．△ABC
和△DEF
是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF
的顶点
E
位于边
BC
的中点上．
（
1
）如图
1
，设
DE
与
AB
交于点
M
，
EF
与
A
C
交于点
N
，求证：△BEM∽△CN
E；
8
（
2
）如图
2
，将△DEF
绕点
E
旋转，使得
DE
与
BA
的延长线
交于点
M
，
EF
与
AC
交于点
N
，于是，除（
1
）
中的一对相似三
角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
21
．
如图
，
在矩形
ABCD
中，
AB=15cm
，
BC=10cm
，
点
P
沿
AB
边从点
A
开始向
< br>B
以
2cm/s
的速度移动；<
/p>
点
Q
沿
DA
边从点
D
开始向点
A
以
1cm/s
的速度移动．如果
P
、
Q
同时出发，
用
t
（秒）表示移动的时间，
那么当<
/p>
t
为何值时，以点
Q
、
A
、
P
为顶点的三角形与△ABC
相似．
22
．如图，路灯（
P
点）距地面
8
米，身高
1.6
米的小明从距路灯的底部（
O
点）
20
米的
A
点，沿
OA
所
在的
直线行走
14
米到
B
< br>点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
23
．阳
光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达）
，
他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们
提供的测量工具中选出所需工具，
设计一种测量方案．
9
（
1<
/p>
）所需的测量工具是：
_________
；
（
2
）请在下图中画出测量示意图；
（
3
）设树高
AB
的长度为
x
，请用所
测数据（用小写字母表示）求出
x
．
24
．<
/p>
问题背景在某次活动课中，
甲、
乙、
丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．
下
面是他们通过测量得到的一些信息：
甲组：如图
1
，测得一根直立于平地，长为
80cm
的竹竿的影长为
60cm
．
乙组：
如图
2
，测得学校旗杆的影长为
900
cm
．
丙组：如图
< br>3
，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为<
/p>
200cm
，影长为
156cm
．任务要求：
（
1<
/p>
）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（
2
）如图
3
，设太阳光线
NH
与⊙O
相切于点
M
．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的
半径．
（友
情提示：如图
3
，景灯的影长等于线段
NG
的影长；需要时可采用
等式
156
2
+208
2
=260
2
）
10
25
．阳
光通过窗口照射到室内，在地面上留下
2.7m
宽的亮区（如图
所示）
，已知亮区到窗口下的墙脚距离
EC=8.7m
，窗口高
AB=1.8m
，求窗口底边离地面的
高
BC
．
26
．
如图
，
李华晚上在路灯下散步．
已知李华的身高
AB=h
，
灯柱的高
OP=O′P
′=l，
两灯柱之间的距离
OO′=m．
（
1
）若李华距灯柱
OP
的水平距离
OA=a
，
求他影子
AC
的长；
（
2
）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子
的长度之和（
DA+AC
）是否是定值请说明理由；
（
3
）若李华在点
A
朝着影子（如图箭头）的方向以
v
1
匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度
< br>v
2
．
27<
/p>
．如图①，分别以直角三角形
ABC
三边
为直径向外作三个半圆，其面积分别用
S
1
，
S
2
，
S
3
表示，则不难
证明
S
1
=S
2
< br>+S
3
．
（
1
）如图②，分别以直角三角形
ABC
三边为边向外作三个正方形，其面积分别用
S
1
，
S
2
，
S
3
表示，那么
S
1
，
S
2
，
S
3
之间有什么关系；
（不必证明）
11
（
2
）如图③，分别以直角三角形
ABC
三
边为边向外作三个正三角形，其面积分别用
S
1
、
S
2
、
S
3
表示，请
你确定
S
1
，
S
< br>2
，
S
3
之间的关系并加以证明；
（
3
）若分别以直角三角形
ABC
三边为边向外
作三个一般三角形，其面积分别用
S
1
，
S
2
，
S<
/p>
3
表示，为使
S
1
，
S
2
，<
/p>
S
3
之间仍具有与（
2
）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；
（
4
）类比（
1
）
，
（
2
）
，
（
3<
/p>
）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．
28
．已
知：如图，△ABC∽△ADE，
AB=15
，
AC=9
，
BD=5
．求
AE
．
29
．已知：如图
< br>Rt△ABC∽Rt△BDC，若
AB=3
，
AC=4
．
（
1
）求
BD
、
CD
的长；
（
2
）过
B
作
BE⊥DC
于
E
，求<
/p>
BE
的长．
12
30
．
（
1<
/p>
）已知
，且
3x+4z
< br>﹣
2y=40
，求
x
，
y
，
z
的值；
（
2
）已知：两相似三角形对应高的比为
3
：
10
，且这两个三角形的周长差为
560cm
，求它们的周长．
13
参考答案与试题解析
一．解答题（共
30
小题）
1
．如图，在△ABC
中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△
ADE∽△EFC．
考点：
相似三角形的判定；平行线的性质。
专题：
证明题。
分析：
根据平行线的性质可知∠AE
D=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．
解答：
证明：∵DE∥BC，
∴DE∥FC，
∴∠AED=∠C．
又∵EF∥AB，
∴EF∥AD，
∴∠A=∠FEC．
∴△ADE∽△EFC．
点评：
本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．
2
．如图，梯形
ABCD
中，AB∥CD，点
F
在
BC
上，连
DF
与
AB
的延长线交于点
G
．
（
1
）求证：△CDF∽△BGF；
< br>（
2
）当点
F
< br>是
BC
的中点时，过
F
作
EF∥CD
交
AD<
/p>
于点
E
，若
AB
=6cm
，
EF=4cm
，求
CD
的长．
考点：
相似三角形的判定；三角形中位线定理；梯形。
专题：
几何综合题。
分析：
（
1
）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．
（
2
）根据点
F
是
BC
的中点这一已知条件，可得△CDF≌△
BGF，则
CD=BG
，只要求出
BG
的长即可
解题．
解答：
（
1
）证明：∵梯形
ABCD
，AB∥CD
，
∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，
（
2
分）
∴△CDF∽△BGF．
（
3
分）
（
2
）解：由（
1
）△CDF∽△BGF
，
又
F
是<
/p>
BC
的中点，
BF=FC
，
∴△CDF≌△BGF，
∴DF=GF，
CD=BG
，
（
6
分）
∵AB∥DC∥EF，
F
为
BC
中点，
∴E
< br>为
AD
中点，
∴EF
是△DAG
的中位线，
∴2EF=AG=AB+BG．
15
∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣
6
=2
，
∴CD=BG=2cm．
（
8
分）
点评：
本题主要考查了相似三角形的
判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂．
3
．如图，点
D
，
E
在
B
C
上，且
FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE．
考点：
相似三角形的判定。
专题：
证明题。
分析：
由
F
D∥AB，FE∥AC，可知∠B=∠FDE，
∠C=∠FED，
根据三角形相似的判定定理可知：△ABC∽△FDE．
解答：
证明：∵FD∥AB，FE∥AC，
∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，
∴△ABC∽△FDE．
点评：
本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理：
（
1
）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似；
（
2
）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三
角形相似；
（
3
）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．<
/p>
4
．如图，
已知
E
是矩形
ABCD
的边
CD
上一点，BF⊥AE
于
F
，试说明：△ABF∽△EAD．
16
考点：
相似三角形的判定；矩形的性质。
专题：
证明题。
分析：
根据两角对应相等的两个三角形相似可解．
解答：
证明：∵矩形
ABCD
中，AB∥CD，∠D=90°，
（
2
分）
∴∠BAF=
∠AED．
（
4
分）
< br>
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=90°．
∴∠AFB=
∠D．
（
5
分）
∴△ABF∽△EAD．
（
6
分）
点评：
考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．
5
．已知：如图①所示，在△ABC
和△ADE
中，
AB=AC
，
AD=AE
，∠BAC=∠DAE，且点
B
，
A
，
D
在一条直
线上，连接
B
E
，
CD
，
M
，
N
分别为
B
E
，
CD
的中点．
（
1
）求证：①BE=CD；②
△AMN
是等腰三角形；
（
2
）在图①的基础上，将△ADE
绕点
A
按顺时针方向旋转
180°，其他条件不变，
得到图②所示的图形．请
直接写出（
1
）中的两个结论是否仍然成立；
（
3
）在（
2
）的条件下，请你在图②中延
长
ED
交线段
BC
于点
P
．求证：△PBD∽△AMN．
17
考点：
相
似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋转的性质。
专题：
几何综合题。
分析：
（
1
）因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAE=∠CAD，又因为
AB=AC
，
AD=AE
，利用
SAS
可证出
△BAE≌△CAD，
可知
BE
、
CD
是对应边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证△AMN
是等腰
三
角形．
（
2
）利用（
1
）中的证明方法仍然可以
得出（
1
）中的结论，思路不变．
<
/p>
（
3
）先证出△ABM≌△ACN（
SAS
）
，可得出∠CAN=∠BAM，所
以∠BAC=∠MAN（等角加等角和相
等）
，
又∵∠BAC=∠DAE，
所以∠MAN=∠DAE=∠BAC，所以△AMN
，
△ADE
和△ABC
都是顶角相等的
等腰三角形，所以∠PBD=∠AMN，所以△PBD∽△AMN（两个角对应相等，两
三角形相似）
．
解答：
（
1
）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，
AD=AE
，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
②由△ABE≌△ACD，得
∠AB
E=∠ACD，
BE=CD
，
∵M、
N
分别是
BE
，
CD
的中点，
∴BM=CN．
又∵AB=AC，
18
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，即△AMN
为等腰三角形．
（
2
）解：
（
1
）中的两个结论仍然成立．
（
3
）证明：在图②中正确画出线段
PD
，
由（
1
）同理可证△A
BM≌△ACN，
∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．
∴△AMN，△ADE
和△ABC
都是顶角相等的等腰三角形．
∴△PBD
和△AMN
都为顶角相等的等腰三角形，
∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，
∴△PBD∽△AMN．
点评：
本题利用了全等三角形的判定
和性质，以及等腰三角形一个顶角相等，则底角相等的性质，还有相似
三角形的判定（两
个角对应相等的两个三角形相似）
．
6
．如图，
E
是
▱
ABCD
的边
BA
延长线上一点，连接
EC
，交
AD
于点
F
．
在不添加辅助线的情况下，请你写
出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予
证明．
19
考点：
相似三角形的判定；平行四边形的性质。
专题：
开放型。
分析：
根据平行线的性质和两角对应
相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：
△AEF∽△BEC；△
AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．
解答：
解：相似三角形有△AEF∽
△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．
（
3<
/p>
分）
如：△AEF∽△BEC．
在
▱
ABCD
中，AD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3．
（
6
分）
∴△AEF∽△BEC．
（
7
分）
点评：
考查了平行线的性质及相似三角形的判定定理．
7
．如图，在
4×3
的正方形方格中，△ABC
和△DEF
的顶点都在边长为
1
的小正方形的顶点上．
（
1
）填空：∠ABC
=
135°
°，
BC=
；
（
2
）判断△ABC
与△DEC
是否相似，并证
明你的结论．
考点：
相似三角形的判定；正方形的性质。
专题：
证明题；网格型。
20
分析：
（
1
）观察可得：
BF=FC=2
，故∠FBC=45°；则∠ABC=135°，
BC=
（
2
）观察可得：
BC
、
EC
的长为
2<
/p>
解答：
解：
（
1
）∠ABC=135°，
BC=
（
2
）相似；
∵BC=
∴
∴
；
，
，
EC
=
；
=
；
；
、
，可得
=2
；
，再根据其夹角相等；故△ABC∽△DEC．
又∠ABC=∠CED=135°，
∴△ABC∽△DEC．
点评：
解答本题要充分利用正方形的
特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、
正方形中的三角形
的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．
8
．
如图，
已知矩形
ABCD
的边长
AB=3cm
，
BC=6cm
．
某一时刻
，
动点
M
从
A
点出发沿
AB
方向以
< br>1cm/s
的速度向
B
点匀速运
动；同时，动点
N
从
D
点出发沿
DA
方向以
2cm/
s
的速度向
A
点匀速运动，问：
（
1
）经过多少时
间，△AMN
的面积等于矩形
ABCD
面积的
？
（
2
）是否存在时刻
t
，使以
A
，
M
，
N
为顶点的三角形与△ACD
相似？若存在，求
t
的值；若不存在，请说
明理由．
考点：
相似三角形的判定；一元二次
方程的应用；分式方程的应用；正方形的性质。
21
专题：
动点型。
分析：
（
1
）关于动点问题，可设时间为
x
，根据
速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方
程求解即可，如本题中利用，△
AMN
的面积等于矩形
ABCD
面积的
作为相等关系；
（
< br>2
）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的
t
值即可说明存在，反之
则不存在．
（
1
）设经过
x
秒后，△AMN
的面积等于矩形
ABCD
面积的
，
解答：
解：
则有：
（
6
﹣
2x
）
x=
×3×6，即
x
2
﹣
3x+2=0
，
（
2
分）
解方程，得
x
1
=1
，
x
2
=2
，
（
3
分）
经检验，可知
x
1
=1
，
x<
/p>
2
=2
符合题意，
所以经过
1
秒或
< br>2
秒后，△AMN
的面积等于矩形
ABCD
面积的
．
（
4
分）
< br>（
2
）假设经过
t
秒时，以
A
，
M
，
N
为顶点的三角形与△ACD
< br>相似，
由矩形
ABCD
，可得∠CDA=∠MAN=90°，
因此
有
即
或
①，或
（
5
分）
②（
6
分）
（
7
分）
<
/p>
解①，得
t=
；解②，得
t=
经检验，
t=
或
t=
都符合题意，
秒
时，以
A
，
M
，
N
为顶点的三角形与△ACD
相似．
（
8
所以动点
M
，
N
同时出发后，经过
秒或
分）
点评：
主要考查了相似三角形的判定
，
正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程．
要掌握
正方形
和相似三角形的性质，才会灵活的运用．注意：一般关于动点问题，可设时间为<
/p>
x
，根据速度表示出
所涉及到的线段的长
度，找到相等关系，列方程求解即可．
22
9
．
如图，在梯形
ABCD
中，若
AB∥D
C，
AD=BC
，对角线
BD
、
AC
把梯形分成了四个小三角形．
（
1
）列出从这四个小
三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形
的概
率是多少；
（注意：全等看成相似的特例）
< br>（
2
）请你任选一组相似三角形，并给出证明．
考点：
相似三角形的判定；概率公式。
专题：
开放型。
分析：
（
1
）采用列举法，列举出所有可能出现的情况，再找出相似三角形即可求得；①与③，②与
④相似；
（
2
）利用相似三角形的判定定理即可证得．
解答：
解：
（
1
）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：
①②，①③，①④，②③，②④，③④（
2<
/p>
分）
其中有两组（①③，②④）是相似的．
∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是
P=
（
4
分）
证明：
（
2
）选择①、③证明．
在△AOB
与△COD
中，
∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，
∴△AOB∽△COD（
8
分）
选择②、④证明．
∵四边形<
/p>
ABCD
是等腰梯形，
23
∴∠DAB=∠CBA，
∴在△DA
B
与△CBA
中有
< br>AD=BC
，∠DAB=∠CAB，
AB=AB
，
∴△DAB≌△CBA，
< br>（
6
分）
∴∠ADO=∠BCO．
又∠DOA=∠COB，
∴△DOA
∽△COB（
8
分）
．
点评：
此题考查概率的求
法：如果一个事件有
n
种可能，而且这些事件的可能性相同，其
中事件
A
出现
m
种结果，那么事件
A
的概率
P
（
A
）
=
，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．
10
．附加题：如图△ABC
中，
D
为
AC
上一点，
CD=2DA
，∠BAC=45°，
∠BDC=60°，CE⊥BD
于
E
，
连接
AE
．
（
1
）写出图中所有相等的线段，并加以证明；
（
2
）图中有无相似三角形
？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；
（
3
）求△BEC
与△BEA
的面积之比．
考点：
相似三角形的判定；三角形的
面积；含
30
度角的直角三角形。
专题：
综合题。
分析：
（
1
）根据直角三角形中
30
度角所对的直
角边是斜边的一半，可知
CD=2ED
，则可写出相等的线段；
（
2
）两角
对应相等的两个三角形相似则可判断△ADE∽△AEC；
24
（
3
）要求△BEC
与△BEA
的面积之比
，从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边，若求得高之比
可知面积之比，由此需作
△BEA
的边
BE
边上的高即可求解．
解答：
解
：
（
1
）
AD
=DE
，
AE=CE
．
∵CE⊥BD，∠BDC=60°，
∴在
Rt△CED
中，∠ECD=30°．
∴CD=2ED．
∵CD=2DA，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．
∴AE=CE．
< br>（
2
）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；
∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，
∴△ADE∽△AEC；
（
3
）作
AF⊥BD<
/p>
的延长线于
F
，
设
AD=DE=x
，在
Rt△CED
中，
可得
CE=
∠ECD=30°．
在
Rt△AEF
中，
AE=
∴sin∠AEF=
，
．
，∠AED=∠DAE=30°，
，故
AE=
．
∴AF=AE•sin∠AEF=
25
∴
．
点评：
本
题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广．
11
．如图，在△ABC
中，
AB=AC=a
，
M
为底边
BC
上的任意一点，过点
M
分别作
AB
、
AC
的平行线交
AC
于
P
，交
AB
于
Q
．
（
1
）求四边形
AQMP
的周长；
（
2
）写出图中的两对相似三角形（不需证明）
；
（
3
）
M
位于
BC
的什么位置时，四边形
AQMP
为菱形并证明你的结论．
考点：
相似三角形的判定；菱形的判定。
专题：
综合题。
分析：
（
1
）根据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等，从而不难求得其周长；
（
2
）因为∠B=∠
C=∠PMC=∠QMB，所以△PMC∽△QMB∽△ABC；
（
3
）根据中位线的性质及菱形的判定不难求得四边形
AQMP
为菱形．
解答：
解：
（
1
）∵AB∥MP，QM∥AC，
∴四边形
APMQ
是平行四边形，∠B
=∠PMC，∠C=∠QMB．
26
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠PMC=∠QMB．
∴BQ=Q
M，
PM=PC
．
< br>∴四边形
AQMP
的周长
=AQ
+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a
．
< br>
（
2
）∵PM∥AB，
∴△PCM∽△ACB，
∵QM∥AC，
∴△BMQ∽△BCA；
（
3
）当点
M
中
BC
的中点时，四边形
APMQ
是菱形，
∵点
M
是
BC
的中点，AB∥
MP，QM∥AC，
∴QM，
PM<
/p>
是三角形
ABC
的中位线．
∵AB=AC，
∴QM
=PM=
AB=
AC
．
又由（
1
）知四边形
APMQ
是平行四边形，
< br>∴平行四边形
APMQ
是菱形．
点评：
此题主要考查了平行四边形的
判定和性质，中位线的性质，菱形的判定等知识点的综合运用．
12
．已知：
P
是正方形
ABCD
的边
BC
上的点，且
BP=3PC
，
M
是
CD
的中点，试说明：△ADM∽△MCP．
27