数学 平行四边形的专项 培优练习题及详细答案
-
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1
．
如图
1
，正方形
ABCD
的一边
AB
在直尺一边所在直线
MN
上，点
O
是对角线
AC
、
BD
的交点，过点
O
作
OE
⊥
MN
于点
E
．
（
1
）如图
1
，线段
AB
与
OE
之间的数量关系为
．（请直接填结论）
（
2
）保证点
A
始终在直线<
/p>
MN
上，正方形
ABCD
绕点
A
旋转
θ
（
0
＜
θ
＜
90°
），过点
B
作
BF
⊥
MN
于点
F
．
①
如图
2
，当点
O
、
B
两点均在直线
MN
右侧时，试猜想线段
AF
、
BF
与
OE
之间存在怎样
的数量关系？请说明理由．
②
如图
3
，当点
O
、
B
两点
分别在直线
MN
两侧时，此时
< br>①
中结论是否依然成立呢？若成
立，请直接写出结论；若
不成立，请写出变化后的结论并证明．
③
当正方形
ABCD
绕点
A
旋转到如图
4
的位置时，线段
< br>AF
、
BF
与
< br>OE
之间的数量关系
为
．（请直接填结论）
【答案】（
1
）
AB=2OE
；（
2
）
①AF+BF=2OE,
证明见解析
;②AF
﹣
BF=2OE
证明见解析
;③BF
﹣
AF=2OE
，
【解析】
试题分析：（
1
）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（
2
）
< br>①
过点
B
作
BH
⊥
OE
于
H
，可得四边形
BHEF
是矩形，
根据矩形的对边相等可得
EF=BH
，
BF=HE
，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得
OA
=OB
，
∠
AOB=90°
，再根
据同角的余角相等求出
∠
< br>AOE=
∠
OBH
，然后利用<
/p>
“
角角边
”
证明
△
AOE
和
△
OBH
全等，根据
全等三角形对应边相
等可得
OH=AE
，
OE=BH
，再根据
AF-
EF=AE
，整理即可得证；
②
过点
B
作
BH
⊥
OE
交
OE
的延长线于
H
，可得四边形
BHEF
是矩形，根据矩形的对边相等
可得
EF=BH
，
BF=HE
，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得
OA=OB
，<
/p>
∠
AOB=90°
，
再根据同角的余角相等求出
∠
AOE=
∠
OBH
，然后利用
“
角角边
”
证明
△
AOE
和
△
OBH
全等，
根据全等三角形对应边相等可得
OH
=AE
，
OE=BH
，再根据
AF-EF=AE
，整理即可得证；
③
同
②
的方法可证．<
/p>
试题解析：（
1
）
∵
AC
，
BD
是正方形的对角线，
∴
OA=OC=OB
，
∠
BAD=
∠
ABC=90°
，
∵
OE
⊥
AB
，
1
AB
，
<
/p>
2
∴
AB=2OE
，
∴
OE=
（
2
）
①AF+BF=2OE
证明：如图
2
，过
点
B
作
BH
⊥
OE
于点
H
∴
∠
BHE
=
∠
BHO=90°
∵
OE
⊥
MN
，
BF
⊥
MN
∴
∠
BFE=
∠
OEF=90°
∴
四边形
EFBH
为矩形
∴
BF=EH
，
EF=BH
∵
四边形
ABCD
为正方形
∴
OA=OB
，
∠
AOB=90°
∴
∠
AOE+
∠
HOB=
∠<
/p>
OBH+
∠
HOB=90°
∴
∠
AOE=
∠
OBH
∴
△
AEO
≌
△
OHB
（
AAS
）
∴
AE=OH
，<
/p>
OE=BH
∴
AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE
．
②AF
﹣
BF=2OE
证明：如图
3
，延长
OE
，过点
B
作
BH
⊥
OE
于点
H
< br>∴
∠
EHB=90°
∵
OE
⊥
MN
，
BF
⊥
MN
∴
∠
AEO=
∠
HEF=
∠
BFE
=90°
∴
四边形
< br>HBFE
为矩形
∴
BF=HE
，
EF=BH
∵
四边形
ABCD
是正方形
∴
OA=OB
，
∠
AOB=90°
∴
∠
AOE+
∠
BOH=
∠
OBH+
∠
BOH
∴
∠
AOE=
∠
OBH
∴
△
AOE
≌
△
OBH
（
AAS
）
∴
AE=OH
，
OE=BH
，
∴
AF
﹣
BF
=AE+EF
﹣
HE=OH
﹣
HE+OE=
OE+OE=2OE
③BF
﹣
AF=2OE
，
如
图
4
，作
OG
⊥
BF
于
G
，
则四边形
EFGO
是矩形，
∴
EF=GO
，
GF=EO
，
∠
< br>GOE=90°
，
∴
∠
AOE+
∠
AOG=
90°
．
在正方形
< br>ABCD
中，
OA=OB
，
∠
AOB=90°
，
∴
∠
AOG+
∠
BOG=90°
，
∴
∠
AOE=
∠
BOG
．
∵
OG
⊥
BF
，
OE
⊥
AE
，
∴
∠
AEO=
∠
BGO=90°
．
∴
△
AOE
≌
△
BOG
（
A
AS
），
∴
OE=OG
，
AE=BG
，
∵
AE
﹣
EF=AF
，
EF=OG=OE
，
AE=BG=AF+EF=OE+AF
，
∴
BF
﹣
< br>AF=BG+GF
﹣（
AE
﹣<
/p>
EF
）
=AE+OE
﹣
AE+EF=OE+OE=2OE
，
∴
BF
﹣
AF=2OE
．
2
．
如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那
么这两个三角形叫做互补三角形，如
图
2
，分别以
△
ABC
的边
AB
、
AC
为边向外作正方
形
ABDE
和
ACGF
，则图中的两个三角形
就是互补三角形．
（
1
）用尺规将图
1
中的
△
ABC
分割
成两个互补三角形；
（
2
）证明图
2
中的
△
ABC
分割成两个互补三角形；
（
3
）如图
3
，在图
2
的基础上再以
B
C
为边向外作正方形
BCHI
．
①
已知三个正方形面积分别是
17
、
13
、
10
，在如图
4
的网格中（
网格中每个小正方形的
边长为
1
）画出
边长为
、
、
的三角形，并计算图
3
中六边形
DEFGHI
的面积．
②
若
< br>△
ABC
的面积为
2
，求以
EF
、
DI
、
HG
的长为边的三角形面积．
【答案】（
1
）作图见解析（
2
）证明见解析（
3
）
①62
；
②6
【解析】
试题分析：（
1
）作
B
C
边上的中线
AD
即可．
（
2
）根据互补三角形的
定义证明即可．
（
3
）
①
画出图形后，利用割补法求面积即可．
②
平移
△
CHG
到
AMF
，连接
EM
，
IM
，则<
/p>
AM=CH=BI
，只要证明
S
△
EFM
=3S
△
ABC
即可．
试
题解析：（
1
）如图
1
中，作
BC
边上的中线
AD<
/p>
，
△
ABD
和<
/p>
△
ADC
是互补三角形．
（
2
）如图
2
中，延长
FA
到点
H
，使得
AH=AF
，连接
EH
．
∵
四边形
A
BDE
，四边形
ACGF
是正方形，<
/p>
∴
AB=AE
，
AF=AC
，
∠
BAE=
∠
CAF=90°
，
∴
∠
EAF+<
/p>
∠
BAC=180°
，
< br>
∴
△
AEF
< br>和
△
ABC
是两个互补三角形．
∵
∠
EAH
+
∠
HAB=
∠
BAC+
∠
HAB=90°
，
∴
∠
EAH=
∠
BAC
，
∵
AF=AC
，
∴
AH=AB
，
在
△
AEH
和
△
ABC
中，
∴
△
AEH
≌
△
ABC
，
∴
S
△
AEF
=S
△
AEH
< br>=S
△
ABC
．
（
3
）
①
边长为
、
、
的三角形如图
4
所示．
∵
S
△
ABC
=3×4
﹣
2
﹣
1.5
﹣
3=5.5
，
∴
S
六边形
=17+13+10+
4×5.5=62
．
②
如图
3
中，平移
△
CHG
到
AMF
，连接
EM
，
IM
，
则
AM=CH=BI
，设
∠
ABC=x
，
∵
AM
∥
CH
，
CH
⊥
BC
，
∴
AM
⊥
BC
，
∴
∠
EAM=90°
+9
0°
﹣
x=180°
﹣
x
，
∵
∠
DBI=360°
﹣
90°
﹣
90°
﹣
x=1
80°
﹣
x
，
∴
∠
EAM=
∠
DBI
，
∵
AE=BD
，
∴
△
AEM
≌
△
DBI
，
∵
在
△
DBI
和
△
ABC
中，
DB=AB
，
BI=BC
，
∠
DBI+
∠
ABC=180°
，
∴
△
< br>DBI
和
△
ABC
是互补三角形，
∴
S
△
AEM
=S
△<
/p>
AEF
=S
△
A
FM
=2
，
∴
S
△
EFM
=3S
△
ABC
=6
< br>．
考点：
1
< br>、作图﹣应用与设计，
2
、三角形面积
< br>
3
．
在平面直角坐标系中，四边形
AOBC
是矩形，点
O
（
0
，
0
），点
A
（
5
，
0
），点
B
（
0
，
3
）．以点
A
为中心，顺时针旋转
矩形
AOBC
，得到矩形
ADEF
，点
O
，
B
，
C
的对应点分别
为
D
，
E
，
F
．
（
1
）如图
①
，当点
D
落在
BC
边上时
，求点
D
的坐标；
< br>（
2
）如图
②
< br>，当点
D
落在线段
BE
上时，
AD
与
BC
交于点
H
．
①
求证
△
ADB<
/p>
≌
△
AOB
；<
/p>
②
求点
H
的坐标．
（
3<
/p>
）记
K
为矩形
A
OBC
对角线的交点，
S
为
△
KDE
的面积，求
S<
/p>
的取值范围（直接写出结
果即可）．
【答案】（
1
）
D
（
1
，
3
）；（
2
）
①
详见解析；
②
H
（
17
，
3
）；（
3
）
5
30
3
3
4
30
3
3
4
≤
S
≤
．<
/p>
4
4
【解析】
【分析】
（
1
）如图
①
，在
Rt
△
ACD
中求出
CD
即可解决问题；
（
2
）
①
根据
HL
证明即可；
②
，设
AH=BH=m
，则
HC=BC-BH=5-m
，在
Rt
△
AHC
中，根据
AH
2
=HC
2
+AC<
/p>
2
，构建方程求出
m
即可解决问题；
（
3
）如图
③
中，当点
D
在线段
BK
上时，
△
DEK
的面积最小，当点
D
在
BA
的延长线上
时，
△
D′E′K
的面积最大，求出面积的
最小值以及最大值即可解决问题；
【详解】
（
1
）如图
①
中，
∵
A
（
5
，
0
），<
/p>
B
（
0
，
3
），
∴
OA
=5
，
OB
=3
，
∵
四边形
AOBC
是矩形，
∴
AC
=
OB
=3
，
OA
=
BC
=5
，
∠
OBC
=
∠
C
=90°
，
∵
矩形
ADEF
是由矩形
AOBC
旋转得到，
∴
AD
=
AO
=5
，
在
R
t
△
ADC
中，
CD
=
∴
BD
=
BC
-
CD
=1
，
∴
D
（
1
，
3<
/p>
）．
（
2
）
①
如图
②
中，
AD
2
AC
2
=4
，
由四边形
ADEF
是矩形，得到
∠
< br>ADE
=90°
，
∵
点
D
在线段
BE
上，
∴
∠
ADB
=90°
，
由（
1
）可知，
AD
=
AO
，
又
AB
=
AB
，
∠
AOB
=90°
< br>，
∴
Rt
△
ADB
≌
Rt
< br>△
AOB
（
HL
）．
②
如图
②
中，由
△
ADB
≌
△
AOB
，得到
∠
BAD
=
∠
BAO
，
又在矩形
AOBC
中，
OA
∥
BC
，
∴
∠
CBA
=
∠
OAB
，
∴
∠
BAD
=
∠
CBA
，
∴
BH
=
AH
，设
AH
=
BH
=
m
，则
HC
=
BC
-
BH
=5-
m
，
在
Rt
△
AHC
< br>中，
∵
AH
2
< br>=
HC
2
+
AC
2
，
∴
m
2
=3
2
+
（
5-
m
）
2
，
∴
m
=
17
，
5
17
，
<
/p>
5
17
，
3
）．
5
1
1
•
DE
•
DK
=
×3×
2
2
∴
BH
=
∴
H
（
（
3
）如图
③
中，当点
D
在线段
BK
上时，
△
DEK
的面积最小，最小值
=
（
5-
34
30
3
34
）
=
，
2
4
当点<
/p>
D
在
BA
的延长
线上时，
△
D
′
E
′
K
的面积最大，最大面积
=
（
5+
1
1
×
D
′
E
′×
KD
′=
×3×
2
2
34
30
3
34
）
=
．
2
4
综上所述，
【点睛】<
/p>
30
3
34
30
3
34
≤
S
≤
．
4
4
本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等< p>
知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决< p>
问题．
4
．
如图
1
，在
△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
AD
⊥
BC
于
D
，分别延长
AC
至
E<
/p>
，
BC
至
F
，且
CE
＝
EF<
/p>
，
延长
FE
交<
/p>
AD
的延长线于
G
．
（
1
）
求证：
AE
＝
EG
；
（
2
）如图
2
，分别连接
BG
，
BE
，若
BG
＝
BF
，求证：
BE
＝
EG
；
（
3
）如图
3
，取
GF
的中点
M<
/p>
，若
AB
＝
5<
/p>
，求
EM
的长．
【答案】（
1
）证明见解析（
2
）证明见解析（
3
）
【解析】
【分析】
5
2
（
1
）根据
平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得：
∠
CAD
＝
∠
G
，可得
AE
＝
EG
；
（
2
）作辅助线
，证明
△
BEF
≌
△
GEC
（
SAS
），可得结论；