八年级初二数学平行四边形练习题含答案
-
一、选择题
1
．
如图，
ABCD
为正方形，
O
为
AC
、
BD
的
交点，在
RT
DCE
中
，
DEC
90
，
DCE
30
，若
OE
6
2
，则正方形的面积为（
）
2
A
．
5
B
．
4
C
．
3
D
．
2
2
．
正方形
ABC
D
，正方形
CEFG
如图放置，点
B
、
C
、
E
在同一条直线上，点
P
在
BC
边上，
PA
< br>＝
PF
，且∠
APF
＝
90
°，连接
AF
交
CD
于点
M
．有下列结论：①
EC
＝
< br>BP
；②
AP
＝
AM
：
③∠
BAP
＝∠
GFP
；④
AB
2
+
CE
2
＝
（
）
1
2
AF
；⑤
S
正方形
ABCD
+
S
正方形
CGFE
＝
2S
△
APF
，其中正确的是
2<
/p>
A
．①②③
B
．①③④
C
．①②④⑤
D
．①③④⑤
3
．
如图，已知正方形
ABCD
的边长为
2
，点
E
,
F
在正方形
ABCD
内，
EAB
,
FDC
都是等边三角形，则
EF
的长为（
）
A
．
2
3
B
．
2
3
2
C
．
3
1
D
．
3
4
．
如图，将矩形
ABCD
沿
EF
折叠后点
D
与
B
重合
.
若原矩形的长宽之比为
3:1
,
则
的值为（
）
AE
BF
3
4
D
．
5
4
5
．
如图，在<
/p>
ABC
中，
AB
6
，
AC
8
，
BC
<
/p>
10
，
P
为边<
/p>
BC
上一动点，
A
．
1
2
B
．
1
3
C
．
PE
AB
于
E
，
PF
AC
于
F
，
M
为
EF
中点，则
AM
的最小值
为（
）
A
．
24
5
B
．
4
C
．
5
D
．
12
<
/p>
5
6
．
如图，在
平面直角坐标系中，
A
点坐标为
(8,
0)
，点
P
从点
O
出发以
1
个单位长度
/
秒
的速度沿
y
轴正半轴方向运动，同时，点
Q
从点
A
出发以
1
个单位长度
/
秒的速度沿
x
轴
负半轴方向运动，设点
P
、
Q
运动的时间为
t
(0<
/p>
t
8)
秒
.
以
PQ
为斜边，向第一象限内作
等腰
Rt
PBQ
，连接
OB
.
下列四个说法：
①
OP
OQ
8
；②
B
点坐标为
(4,
4)
；③四边形
PBQO
的面积为
16
；④
PQ
OB
.
其中
正确的说法个数有（
）
A
．
4
B
．
3
C
．
2
D
．
1
7
．
如图，点
P<
/p>
，
Q
分别是菱形
ABCD
的边
AD
，
< br>BC
上的两个动点，若线段
PQ
长的最大值为
8
5
< br>，最小值为
8
，则菱形
ABCD
的边长为
( )
A
．
4
6
B
．
10
C
．
12
D
．
16
<
/p>
8
．
如图，在正方形
ABCD
中，
AB
＝
4
，
E
是
< br>CD
的中点，将
BCE
沿
BE
翻折至
BFE
，
连接
DF
，则
DF
的长度是（
）
A
．
5
5
B
．
2
5
5
C
．
3
5
< br>5
D
．
4
5
5
9
．
如图，将边长为
8
cm
的正方形
ABCD
折叠，使点
D
落在
BC
边的中点
< br>E
处，点
A
落在点
F
处，折痕为
MN
，则折痕
MN
的长是（
）
A
．
5
3
cm
B
．
5
5
cm
C
．
4
6
< br>cm
D
．
4
5
cm
10
．
如图，矩形
ABCD
中，
O
为
AC
的中点，过点
O
的直线分别与
< br>AB
、
CD
交于点
E
、
F
，连接
BF
交
AC
于点
M
，连接
DE
、
BO
．若
COB
60
，
FO
FC
2
，
则下列结论：①
FB
OC
；②
△
EOB
≌△
CMB
；③四边形
EBFD
是菱形；
④
MB
2
3
．其中正确结论的个数是
(
)
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
< br>3
个
D
．
4
个
二、填空题
11
．
如图，∠
MAN=90°
，点<
/p>
C
在边
AM
上，
AC=4
，点
B
为边
AN
上一动点，连接
BC
，
△
A′BC
与
△
ABC
关于
BC
所在直线对称，点
D
，
E
分别为
AC
，
BC
的中点，连接
DE
并延
长交
A′B
所在直线于点
F
，连接
A′E
．当
△
A′EF
为直角三角形时，
AB
的长为
_____
．
12
．
如图，在平面直角坐标系中，矩形
ABCO
的
边
CO
、
OA
分别在
x
轴、
y
轴上，点
E
在边
BC
上，将该矩形沿
AE
折叠，点
B
恰好落在边
OC
上的
F
处．若
OA
＝
8
，
CF
＝
4
，则点
E
的
坐标是
_____
．
13
．
如图
，四边形
ABCD
，四边形
EBFG<
/p>
，四边形
HMPN
均是正方形，点
E
、
F
、
P
、
N
分别在边
AB
、
BC
、
CD
、
AD
上，点
H
、
G
、
M
在
AC
上，阴影部分
的面积
依次记为
S
1
< br>，
S
2
，则
S
1
:
S
2
等于
__________
．
14
．
已知：点
B
是线段
AC
上一点，分别以
AB
，
BC
为边在
AC
的同侧作等边
△
ABD
和等
边
BCE
，点
M
，
N
分别是
AD
，
CE
的中点，连接
MN
．若
AC=6
，设
BC
=2
，则线段
MN
的
< br>长是
__________
．
15
．
如图
，在平行四边形
ABCD
中，对角线
A
C
，
BD
相交于点
O
，
AB
＝
OB
，点
E
，
F
分别是
OA
，
OD
的中点，连接
EF
，
EM
⊥
BC
于点
M
，
EM
交
BD
于点
N
，若∠
CEF
＝
45
°，
FN
＝
5
，<
/p>
则线段
BC
的长为
_____
．
< br>16
．
如图，在矩形
ABCD<
/p>
中，
AB
＝
2<
/p>
，
AD
＝
3
，
E
为
BC
边上一动点，作
EF
⊥
AE
，且
EF
＝
AE
．连接
DF
，
AF
．当
DF
⊥
EF
时，△
ADF
的面积为
_____
．
17
．
如图
，正方形
ABCD
的边长为
4
，点
E
为
AD
的延长线上一点，且
DE
＝
DC
，点
P
为边
< br>AD
上一动点，且
PC
⊥
PG
，
PG
＝
PC
，点
F
为
EG
的中点．当点
P
从
D
点运动到
A
点时，则
CF
的最小值为
_____
______
18
．
如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝<
/p>
90
°，
AC
＝
8
，
BC
＝<
/p>
6
，点
D
为平面
内动点，且满足
AD
＝
4
，连接
BD
，取
BD
的中点
E
，连接
CE
，则
CE
的最大值为
< br>_____
．
19
．
如图所示，在四边形
ABCD
中，顺次连接四边中点
E
、<
/p>
F
、
G
、
H
，构成一个新的四边
形，请你对四边形
ABCD
添加一个条件，使四边形
EFGH
成一个菱形，这个条件是
__________
．
20
< br>．
李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动
.<
/p>
李刚拿起一张准备好的长方形纸片
对常明说
:“
我现在折叠纸片（图①），使点
D
落在
AB
边的点
F
< br>处，得折痕
AE
，再折叠，
使点
C
落在
AE
边
的点
G
处，此时折痕恰好经过点
B
，如果
AD=
a
，
那么
AB
长是多少？
”
常
明说；
“
简单，我会
. AB
应该是
_____
< br>”.
常明回答完，又对李刚说：
“
你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，
折痕不经过点
B
，而是经过了
AB<
/p>
边上的
M
点，如果
AD=
a
，测得
EC=3BM
，那么
AB
长是
多少
？
”
李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？
AB=_____.
三、解答题
21
．
如图
1
所示，把一个含
45°
角的直角三角板
ECF
< br>和一个正方形
ABCD
摆放在一起，使三
角板的直角顶点和正方形的顶点
C
重合，点
E
，
F
分别在正方形的边
CB
，
CD
上
，连接
AE
、
AF
．
(1)
求证：
AE
＝
AF
；
(2)
取
AF
的中点
M
，
EF
的中点
N
，连接
MD
，
MN
．则
MD<
/p>
，
MN
的数量关系是
，
MD
、
MN
的位置关系是
(3)
将图
2
中的直角
三角板
ECF
，绕点
C
旋转
180°
，如图
3
所示，其他条件不变，则
(2)
中的
两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
22
．
如图
1
，
AC
是平
行四边形
ABCD
的对角线，
E
、
H
分别为边
BA<
/p>
和边
BC
延长线上
的点，连接
EH
交
AD
、
CD
于点
F
、
G
，且
EH
/
/
AC
.
（
1
）求证：
AEF
CGH
（
2
）若
ACD
是等腰直角三
角形，
ACD
90
，
F
是
AD
的中点，
AD
8
，求
BE
的
长：
（
3
< br>）在（
2
）的条件下，连接
BD
，如图
2
，求证：
AC
2
BD
2
2(
AB
2
BC
2
)
23
．
如图，在矩形
ABCD
中，
E
是
AD
的中点，将<
/p>
ABE
沿
BE
折叠，点
A
的对应点为
点
G
．
图
1
图
2
（
1
）填空：如图
1
，当点
G
恰好在
BC
< br>边上时，四边形
ABGE
的形状是
________
；
（
2
）如图
2
，当点
G
在矩形
ABCD
内
部时，延长
BG
交
DC
边于点
F
．
①求证：
BF
AB
DF
．
②若
AD
AB
3
．
3
AB
，试探索线段
DF<
/p>
与
FC
的数量关系．
24
．
已知在
< br>ABC
和
ADE
中，
ACB
AED
180
，
CA
CB
，
EA
ED
，
（
1
）如图
1
，若
ACB
90
，
B
、
A
、
D
三点共线，连接
CE
：
①若
CE
5
2
，求<
/p>
BD
长度；
2
2
EF
；
<
/p>
②如图
2
，若点
F
是
BD
中点，连接
< br>CF
，
EF
，求证：
CE
小值．
（
2
）如图
3
，若点
D
在线段
BC<
/p>
上，且
CAB
2
EAD
，试直接写出
AED
面积的最
25
．
如图①，已知正方形
< br>ABCD
中，
E
，
F
分别是边
AD
，
CD
上的点
(
点
E
，
F
不与端点重<
/p>
合
)
，且
AE=
DF
，
BE
，
AF
交于点
P
，过点
< br>C
作
CH
⊥
BE
交
BE
于点
< br>H
．
（
1
）求证：
AF
∥
C
H
；
（<
/p>
2
）若
AB=2
3
，
AE=2
，试求线段
PH
的长；
（
3
）如图
②，连结
CP
并延长交
AD
于点
Q
，若点
H
是
BP
的中点，试求
CP
的值．
PQ
26
．
如
图
1
，点
E
为
正方形
ABCD
的边
AB
上一点，
EF
EC
，且
EF
EC
，连接
AF
，过点
F
作
FN
垂直于
BA
的延长线于点
N
．
（
1
）求
EAF
的度数；
（
2
）如图
2
，连接
FC
交
BD
于
M
，交
AD
于
P
，试证明：
B
D
BG
D
G
AF
2
DM
．
<
/p>
27
．
已知：如下图，
< br>ABC
和
BCD
中，
BAC
BDC
90
，
E
为
BC
的中点，连<
/p>
接
DE
、
AE<
/p>
.
若
DC
AE<
/p>
，在
DC
上取一点
F
，使得
DF
DE
，连接
EF
交
AD
于
O
.
< br>
（
1
）求证：
EF
DA
.
（
2
）若
< br>BC
4,
AD
2
3
，求
< br>EF
的长
.
28
．
探究
：如图①，△
ABC
是等边三角形，在边
AB
、
BC
的延长线上截取
BM
=
CN
，连结
MC
、
AN
，延长
MC
交
AN
于
点
P
．
（<
/p>
1
）求证：△
ACN
≌△
CBM
；
< br>（
2
）∠
CPN
=
°
；（给出求解过程）
（
3
）应用：将图①的△
ABC
分别改为正方形
ABCD
和正五边形
ABCDE
，如图②、③，在边
AB
、
BC
的延长线上截取
BM
=
CN
，连结
MC
、
DN
，延长
MC<
/p>
交
DN
于点
P<
/p>
，则图②中
∠
CPN
= °
；（直接写出答案）
（
4
）图③中∠
CPN
=
°
；（直接写出答案）
（
5
）拓展：若将图①的△
ABC
< br>改为正
n
边形，其它条件不变，则∠
CPN
= °
（用含
n
的代数式表示，直接写出答案）．
29
．<
/p>
如图，在矩形
ABCD
中，
AB
16
，
BC
18
，点
E
在边
AB
上，点
F
是边
BC
上不与点
B
、
C
重合
的一个动点，把
△
EBF
沿
EF
折叠，点
B
落在
点
B'
处
.
(I)
若
AE
0
时，且点
B'
恰好落在
AD
边上，请直接写出
DB'
的长；
(II)
若
AE
3
时，
且
△
CDB'
是以
DB'
为腰的等腰三角形，试求
DB'
的长；
(III)
< br>若
AE
8
时，且点
B'
落在矩形内部（不含边长），试直接写出
DB'
的取值范围
.
30
．
已知：正方形
ABCD
和等腰直
角三角形
AEF
，
AE=AF
（
AE
＜
AD
），连接
DE
、
BF<
/p>
，
P
是
DE
的中点，连接
AP
．将
△
AEF
绕点
A
< br>逆时针旋转．
（
1
）如图①，当
△
AEF
的
顶点
E
、
F
恰
好分别落在边
AB
、
AD
时，则线段
AP
与线段
BF
的位
置关系为
，数量关系为
．
（
2
）当
△
AEF
绕点
A
逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（
1
）问中的结论仍然成
立．
（
3
）若
AB
=3,AE=1
，则线段
AP
的取值范
围为
．
【参考答案】
***
试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1
．
B
解析：
B
【解析】
【分析】
过点
O
作
OM
⊥
CE
于
M
，作
ON
⊥
DE
交
ED
的延长线于
N
，判断出四边形
OMEN
是矩形，
根据矩形的性质可得∠<
/p>
MON=90°
，再求出∠
COM=
∠
DON
，根据正方形的性质可得
OC=OD
，然后利用
“
角角边
”
证明△
COM
和△
DON
全等，根据全等三角形对应边相等可得<
/p>
OM=ON
，然后判断出四边形
OMEN
是正方形，设正方形
ABCD
的边长为
2
a
，根据直角三
角形
30°
角所对的直角边等于斜边的一半可得
DE=
1
CD
，再利用勾
股定理列式求出
CE
，根
2
据正方形的性质求出
OC=OD=
2
a
，然后利用四边形
OCED
的面积列出方程求出
a
2
，再根
据正方形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，过点
O
作
OM
⊥
CE
于
M
，作
ON
⊥
DE
交
ED
的延长线于
N
，
∵∠
CED=9
0°
，
∴四边形
OMEN
是矩形，
∴∠
MON=90°
，
∵
∠
COM+
∠
DOM=
∠
DON+
∠
DOM
，
∴∠
COM=
∠
DON
，
∵四边形
ABCD
是正方形，
∴
OC=OD
，
在
△
COM
和
△
DON
中，
COM
=
DON
N
=
CMO=90
，
OC
OD
∴△
COM
≌△
DON
（
AAS
），
∴
OM=ON
，
∴四边形
OMEN
是正方形，
设正方形
ABCD
的边长为
2
a
，则
OC=OD=
∵∠
CE
D=90°
，∠
DCE=30°
，
∴
DE=
2
2
a
2
a
2
1
CD=
a
，
2
由勾股定理得，
CE=
CD
2
DE
2
(2
a<
/p>
)
2
a
2
3
a
，
∴四边形
OCED
的面积
=
解得
a
2
1
，
所以，正方形
ABCD
的面积
=
(2
a
)
4
a
4
1
4
．
故选
B
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和
判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形
30°
角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是
本题的难点．
2
2
< br>1
a
2
3
a
1
1
6
2
2
(
2
a
)
(
2
a
)
(
)
，
< br>
2
2
2
2
．
D
解析：
D
【分析】
①由同角的余角相等可证出
△
EPF
≌△
BAP
，由此即可得出
EF=BP
，再
根据正方形的性质即
可得出①成立；②没有满足证明
AP=AM
的条件；③根据平行线的性质可得出
∠
GFP=
∠
EPF
，再由∠
EPF=
∠
BAP
即可得
出③成立；④在
Rt
△
ABP
中，利用勾股定理即可得
出④成立；⑤结合④即可得出⑤成立．综上即可
得出结论．
【详解】
①∵∠
EPF+
∠
APB=
90°
，
∠
APB+
< br>∠
BAP=90°
，
∴∠
EPF=
∠
BAP
．
EPF
＝
BAP
在
△
EPF
和
△
BAP
中
，有
FEP
＝
PBA
，
PA
＝
PF
∴△
EPF
≌△
BAP
（
AAS
），
∴
EF=BP
，
∵四边形
CEF
G
为正方形，
∴
EC=EF=BP
，即①成立；
②无法证出
AP=AM
；
③∵
FG
∥
EC
，
∴∠
GFP=
∠
EPF
，
又∵∠
EPF=
∠
BAP
，
∴∠
BAP=
∠
GFP
，即③成立；
④由①可知
EC=BP
< br>，
在
Rt
△
ABP
中，
AB
2
+BP
2
=AP
2
，
∵
PA=PF
，且∠
APF=90°
，
∴△
APF
< br>为等腰直角三角形，
∴
AF<
/p>
2
=AP
2
+E
P
2
=2AP
2
，
∴
AB
2
+BP
2
=AB
2
+CE
2
=AP
2
=
1
2
AF
，即④成立；
2
⑤由④可知：
AB
2
+C
E
2
=AP
2
，
∴
S
正方
形
ABCD
+S
正方形
CGFE
=2S
△
APF
，即⑤成立．
故成立的结论有①③④⑤
．
故选
D
．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、
全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题
的关键是逐条分析五条结论
是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，
通过证明三角形全等以及利
用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．
3
．
B
解析：
B
【分析】
连接
FA
,
FB
,
ED
,
ED
，延长
< br>FE
交
CD
于点
G
，延长
EF
交
AB
于点
H
，说明
EF
是
∠
DFC
，
AEB
的平分线
，得出
EG
,
FH
的长度，进而求出
EF
的长度．
【详解】
解：连接
< br>FA
,
FB
,
< br>ED
,
ED
，延长
FE
交
CD
于点
G
，延长
EF
交
AB
于点
H
，
∵
ABE
是等边三角形，
∴
EAB
E
BA
60
，
∴
DA
E
CBE
30
，
在
DAE
和
CBE
中，
AD
BC
∵
DAE
CBE
，
AE<
/p>
BE
∴
DAE
CBE
，
∴
ED
EC
，
在
EDF
和
ECF
中，<
/p>
FD
FC
∵
EF
EF
，
ED
EC
∴
EDF
ECF
，
∴
DFE
CFE
∴
EF
是
∠
DFC
的平分线，
∴
FG
是等边
DFC
的
∠
DFC
的平分线，
∴
FG
DC
，
∴
GE
< br>GF
EF
，
< br>
同理可证：
EH
AB
，
FH
EH
EF
,
∵
EAB
,
FDC
都是等边三角
形，且边长都等于正方形的边长，
∴
GF
EH
，
∴
GE
FH
,
∵
FG<
/p>
DC
,
EH<
/p>
AB
,
∴
G
,
E
,
F
,
H
四点共线，且
GH
AD<
/p>
，
∵正方形
A
BCD
的边长为
2
，
< br>
DFC
是等边三角形，
∴
DF
2
，
∵
FG
是等边
DFC
的
∠
DFC
的平分线，
∴
FG
也是
DC
边上的中线，即：
DG
GC
1
，
∴在
Rt
DFG
中，由勾股定理得：
< br>DF
2
DG
< br>2
GF
2
，即：
2
2
=1
< br>2
GF
2
，
∴
GF
3
，
∴
FH
2
<
/p>
3
，
同理可得
：
GE
2
3
，
∴
EF
2
GE
FH
2
2
3
2
3
2
3
2
，
故选：
B
．
【点睛】
本题
目主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定，利用
G
,
E
,
F
,
H
四点共线是解决本题的关键．
4
．
D
解析：
D
【分析】
根据折叠的性质得到
ED
′＝
BE
，∠<
/p>
D
′
EF
＝∠<
/p>
BEF
，根据平行线的性质得到∠
D
′
EF
＝
∠
EFB
，求得
BE
＝
BF
，设
AD
′＝
BC
′＝
3x
，
AB
＝
x
，根据勾股定理得到
BE
＝
到结论．
【详解】
如图，将矩形
ABCD
沿
EF
折叠后点
D
与
B
重合，
∴
ED
′＝
BE
，∠
D<
/p>
′
EF
＝∠
BE
F
，
∵
AD
′∥
BC
′，
∴∠
D
′
EF
＝∠
EFB
，
∴∠
BEF
＝∠
EFB
，
∴
BE
＝
BF
，
∵原矩形的长宽之比为
3
：
1
，
∴设
AD
′＝
BC
′＝
3x
，
AB
＝
x
，
∴
AE
＝
3x−ED
′＝
3x−BE
，
∵
AE
2
＋
AB
2
＝
BE
2
，
∴（
3
x−BE
）
2
＋
x
2
＝
BE
2
，
解得：
BE
＝
∴
BF
＝
BE
＝
5
x
，于是得
3
5
x
，
3
5<
/p>
4
x
，
AE
＝
3x−BE=
x
3
3
4
x
AE
3
4
=
，
∴
＝
BF
5
x
5
3
故选：
D
．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，< p>
熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5
．
D
解析：
D
【分析】
先求证四边形
AFPE
是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利
用面积法可求得
AP
最短时的长，然后
即可求出
AM
最短时的长．
【详解】
解：连接
< br>AP
，在△
ABC
中，
AB=6
，
AC=8
，
BC=10
，
∴∠
BAC=90
< br>°，
∵
PE
< br>⊥
AB
，
PF
< br>⊥
AC
，
∴四边形
AFPE
是矩形，
∴
EF=AP
．
∵
M
是
EF<
/p>
的中点，
∴
A
M=
1
AP
，
2
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即
AP
⊥
BC
时，
AP
最短，同
样
AM
也最短，
∴
S
△
ABC
=
∴
1
1
BC•AP
＝
AB•AC
，
2
2
1
1
×10AP
＝
×6×8
，
2
2
∴
AP
最短时，
AP=
24
，
5<
/p>
1
12
AP=
．
5
2
∴当<
/p>
AM
最短时，
AM=
故选：
D
．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定
理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角
形斜边上的中线的理解和掌
握，此题涉及到动点问题，有一定难度．
6
．
B
解析：
B
【分析】
根据题意，有
OP=AQ
，即可得到
OP
OQ
OA
8
，①正确；当
t
< br>
4
时，
OP=OQ=4
，
此时四边形
PBQO
是正方形，则
PB=QB=OP=OQ=4
，即点
B
坐标为（
4
，
4
），②正确；
四边形
PBQO
的面积为：
4
4
16
，在
P
、
Q
运动过程面积没有发
生变化，故③正确；由
正方形
PBQO
的性质，则此时对角线
PQ=OB
，故④错误；即可得到答案<
/p>
.
【详解】
解：根据题意，点
P
与点
Q
同时以
1
个单位长度
/
秒的速度运动，
∴
OP=AQ
，
< br>∵
OQ+AQ=OA=8
，
<
/p>
∴
OQ+OP=8
，①正确；
由题意，点
P
与点
Q
运动时，点
B
的
位置没有变化，四边形
PBQO
的面积没有变化，
当
t
< br>4
时，如图：
则
AQ=OP=4
，
∴
OQ=
8
4
4
，
∴点
B
的坐标为：（
4
，
4
），②
正确；
此时四边形
PBQO
是正方形，则
PB=QB=OP=OQ=4
，<
/p>
∴四边形
PBQO
的面积为：
4
4
16
，③正确；
∵四边形
PBQO
是正方形，
< br>
∴
PQ=OB
，
即当
t
4
时，
PQ=OB
，故④错误
；
∴正确的有：①②③，共三个；
故选择：
B.
【点睛】
本题考查了正方形的判定和
性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键
是根据点
< br>P
、
Q
的运动情况，进行讨论分
析来解题
.
7
．
B
解析：
B
【分析】
当点
P
和点
A
重合时，当点
C
和点
Q
重合时，
PQ
的值最大，当
PQ
⊥
BC
时，
PQ
的值最
小，利用这两组数据，在
Rt△ABQ
中，可求得答案．
【详解】
当点
P
和点
A
重合时，当点
C
和点
< br>Q
重合时，
PQ
的值最大，
PQ
8
5
当
PQ
⊥
BC
时，
PQ
的值最小，
<
/p>
∴
PQ=8
，∠
Q=90°
，
在
Rt
△
ACQ
< br>中，
CQ
< br>
8
5
2
8
2
16.
在
Rt
△
ABQ
中，设
AB=BC=x
，则
BQ=16
-x
，
∴
AQ
2
+BQ
2
=AB
2
即
8
2
+
（
16
-x
）
2
=x
2
解之：
x=10.
故答案为：
B
．
【点睛】
本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出
PQ<
/p>
最大和最
小的情况．
8
．
D
解析：
D
【分析】
由勾股定理可求
BE
的长，由折叠的性质可得
CE
＝
EF
＝
2
< br>，
BE
⊥
CF
< br>，
FH
＝
CH
< br>，由面积法可求
CH
＝
4
5
4
5
，由勾股定理
可求
EH
的长，由三角形中位线定理可求
DF
＝
2EH
＝
．
5
5
【详解】
解：如图，连接
CF
，交
BE
于
H
，
∵在正方形
ABCD
中，
AB
＝
4
，
E
是
CD
的中点，
∴
BC<
/p>
＝
CD
＝
4
，
CE
＝
DE
＝
2
，∠
BCD<
/p>
＝
90°
，
<
/p>
∴
BE
＝
BC<
/p>
2
CE
2
16
4
2
5
，
∵将
△
BCE
沿
BE
翻折至
△
BFE
，
∴
CE
＝
EF
＝
2
，
BE
⊥
CF
，
FH
＝
CH
，
∵
S
△
BCE
＝
∴
CH
＝
1
1
×BE×CH
＝
×BC×
CE
，
2
2
4
5
，
5
∴
EH=
CE<
/p>
2
CH
2
∵
CE
＝
DE
，
FH
＝
CH
，
∴
DF
＝
2EH
＝
故选：
D
．
【点睛】
4
16
2
5
，
5
5
4
5
，
5
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握
折叠的性质是本题
的关键．
9
．
D
解析：
D
【分析】
连接
DE
，因为点
D
是中点，所以
CE
等于
4
，根据勾
股定理可以求出
DE
的长，过点
M
作
MG
⊥
CD
于点
G
，则由题意可知
MG
＝
BC
＝
CD
，证明△
MNG
≌△
DEC
，可以得到
DE
=
MN
，
即可解决本题．
【详解】
解：如图，连
接
DE
．
由题意，在
Rt
△
DCE
中，
CE
＝
4
cm
，
CD
＝
8
cm
，
< br>
由勾股定理得：
DE
＝
CE
2
CD
2
＝
4
2
8
2
＝
4
5
cm
．
< br>
过点
M
作
MG
⊥
CD
于点
< br>G
，则由题意可知
MG
＝
BC
＝
CD
．
连接
DE
，交
MG
于点
I
．
由折叠可知，
DE
⊥
MN
，∴∠
NMG
+
MIE
＝
90°
，
∵∠
DIG
+
∠
EDC
＝
90°
，∠
MIE
＝∠
DIG
（对顶角相等），
∴∠
NMG
＝∠
EDC<
/p>
．
在△
MNG
与△
DEC
中，
NMG
EDC
MG
CD
MGN
DCE
90
∴△
MNG
≌△
DEC
（
ASA
）．
∴
MN
＝
DE
＝
4
5
cm
．
故选
D
．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性
质、折叠以及全等三角形，能够合理的作出辅助线并找出全等
的条件是解决本题的关键．
10
．
B
解析：
B
【分析】
连接
BD
，先证明△
BOC
是等边三角形
，得出
BO=BC
，又
FO=FC
，从而可得出
FB
⊥
OC
，故
①正确；因为△
EOB
≌△
FOB
≌△
F
CB
，故△
EOB
不会全等于△
CBM
，故②错误；再证明四
边形
EBFD
是平行四边形，由
OB
< br>⊥
EF
推出四边形
EBFD
是菱形，故③正确；先在
Rt
△
BCF
中，可求出
BC
的
长，再在
Rt
△
BCM
中求出
BM
的长，从而可知④错误，最后可得到答
案．
【详解】
解：连接
BD
，
∵四边形
ABCD
是矩形，
∴
AC=BD
，<
/p>
AC
、
BD
互相
平分，
∵
O
为
AC
中点，∴
BD
< br>也过
O
点，
< br>∴
OB=OC
，
∵∠
COB=60
°，
<
/p>
∴△
OBC
是等边三角形，∴
OB=BC
，
又
FO=FC
，
BF=BF
，
∴△
OBF
< br>≌△
CBF
（
SSS
），
∴△
OBF
与△
CBF
关于直线
BF
对称，
∴
FB
⊥
OC
，∴①正确；
∵
∠
OBC=60°
，
∴
∠
ABO=30°
，
∵
△
OBF
≌
△
CBF
，
∴
∠
OBM=
∠
CBM=30°
，
∴
∠
ABO=
∠
OBF
，
∵
AB
∥
CD
，
∴
∠
OCF=
∠
OAE
，
∵
OA=OC
，易证
△
AOE
≌
△
COF
，
∴
OE=OF
，
∵
OB=OD
，
∴
四边形
EBFD
是平行四边形．
又
∠
EBO=
∠
< br>OBF
，
OE=OF
，
∴
OB
⊥
EF
，
∴
四边形
EBFD
是菱形，
∴
③正确；
∵
由
①②
知
△
EOB
≌
△
F
OB
≌
△
FCB
，
∴
△
E
OB
≌
△
CMB
错误，
∴
②错误；
∵
FC=2
，∠
OBC=60
°，∠
OBF=
∠
CB
F
，
∴∠
C
BF=30
°，∴
BF=2CF=4
，
∴
BC=2
3
，
∴
CM=
1
BC=
3
，∴
BM=3
，故④错误．
2
综上可知
其中正确结论的个数是
2
个．
故选：
B
．
【点睛】
本题考查矩形的性质、菱形
的判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性
质、含
30
°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解<
/p>
决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11
．
4
3
或
4
【解析】
分析：当
< br>△
A′EF
为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠
A'EF=90°
时，如图
1
，根据对称的性质和平行线可得：
A'C=A'E=4
，根据直角三角形斜
边中线的性质
得：
BC=2A'B=8
，最后利用勾股定理可得
AB
的长；
②当∠
A'FE=90°
时，如图
2
，证明
△
ABC
是等腰直角三
角形，可得
AB=AC=4
．
详解：当
△
A′
EF
为直角三角形时，存在两种情况：
①
当∠
A'EF=90°
时，如图
1
，
.
∵△
A′BC
与
△
ABC
关于
BC
所
在直线对称，
∴
A'C=AC=4<
/p>
，
∠
ACB=
∠
A'CB
，
∵点
D
，
E
分
别为
AC
，
BC
的中点，
∴
D
、
E
是
△
ABC
的中位线，
∴
DE
∥
AB
，
∴∠
CDE=
∠
MAN=90°
，
∴∠
CDE=
∠
A'EF
< br>，
∴
AC
∥
A'E
，
∴∠
ACB=
∠
A'EC
，
∴∠
A'CB=<
/p>
∠
A'EC
，
∴
A'C=A'E=4
，
Rt
△
A'CB
中，∵
E
是斜边
BC<
/p>
的中点，
∴
B
C=2A'E=8
，
由勾股定理得：
AB
2
=BC
2
-AC
2
，
∴
AB=
8
2
4
2
=4<
/p>
3
；
②当∠<
/p>
A'FE=90°
时，如图
2
，
.
∵∠
ADF=
∠
A=
∠
DFB=90°
，
∴∠
ABF=90°
，
∵△
A′BC
与
△
ABC
关于
BC
所在直线对称，
∴∠
ABC=
∠
CBA'=45°
，
∴△
ABC
是等
腰直角三角形，
∴
AB=AC=4<
/p>
；
.
综上所述
，
AB
的长为
4
3
或
4
；
故答案为
4
3
或
4.
点睛：本题考查了三角形的中
位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判
定、直角三角形斜边中线的性
质，并利用分类讨论的思想解决问题．
12
< br>．
(-10
，
3)
【解析】
试题分析：根
据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得
OF=
2CE
，设
CE=x
，则
BE=
8-x
，
然后根据折
叠的性质
，
可得
EF=8-x
，
根据勾股定理可得
x
2
4
2
<
/p>
(8
x
)
2
，
解得
x
=3
，
则
OF=6<
/p>
，
所以
OC=10
，
由此可得点
E
的坐标为（
-
10
，
3
）
.
故答案为
：（
-10
，
3
）
13
．
4:9
【分析】
设
DP
＝
DN
＝
m
，则
PN
＝
2
m
，
PC
＝
2m
，
AD
＝
CD
＝
3m
，
再求出
FG=CF=
别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】
根据图形的特点设
DP
＝
DN
＝
m
，则
PN
＝
m
2
m
2
=
2
< br>m
，
∴
PM=
2
m=MC
，
PC=
PM
2
MC
2
=2m
，
∴
BC
＝
CD
＝
PC+DP=3m
，
∵四边形
HMPN
< br>是正方形，
∴
GF
⊥
BC
∵∠
ACB
＝
45
，
∴
△
FGC
是等腰直角三角形，
∴
FG=CF=
∴
S
1
＝
3
1
BC=
m
，分
2
< br>2
3
1
BC=
< br>m
，
2
2
9
1
1
1
DN×DP=
m
2
，
S
2
＝
FG×CF=
m
2
，
< br>
2
2
2
8
1
2
9
2
m
:
m
=<
/p>
4:9
，
2<
/p>
8
∴
S
1
:
S
2
=
故答案为
4
：
9
．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中
考常考题型．
14
．
21
【分析】
如图（见解析），先根据等
边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得
ME
//
AB
,
ME
AB
4
，再根据平
行线的性质可得
FEM
C
60
，然后利用直角