广东省广州市天河外国语学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷含答案
-
绝密★启用前
广州市天河外国语学校
2020
学年高二上学期期中考试
数学试卷
考试范围：高二必修
5
常用逻辑用语；考试时间：
120
分钟
注意事项：
<
/p>
1
．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2
．请将答案正确填写在答题卡上
<
/p>
第
I
卷（选择题）
一、单选题
(
共
< br>40
分
)
1
．已知命题
p
:
方程
x
2
< br>2
ax
1
0
有两个实数根：命题
q
:
函数
f
(
x
)
x
4
的最小值为
4
，给出
x
下列命题：
①
p
q
；
①
p
q
；
①
p
q
；
①
p
q
.
则其中真命题的个数是（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
2
．在
①ABC
中
，若
，
，
B=30º
< br>，则
=
（
）
A
．
2
B
．
1
C
．
1
或
2
D
．
2
或
3
．等差数列
a
n
中，
a
3
和
a
9
是关于方程的两根，则该数列的前
11
项和
S
11
（
）
A
．
58
B
．
88
C
．
143
D
．
176
x
1
4
．设实数
x
，
y
满足约束条件
2
< br>x
y
1
0
，则
z
3
x
<
/p>
y
的最小值为
( )
x
y
1
0
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
6
5
．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥
称之为鳖臑
,
已知鳖臑
P
ABC
的三视图如图所示
,
则该几
何体的外接球的表面积为
(
)
A
．
41
B
．
16
C
．
25
D
．
64
π
< br>6
．在
ABC
中，如果
sin
A
3
sin
C
，
B
30
，
b
2
，则
ABC
的面积为（
）
A
．
1
B
．
3
C
．
2
D
．
4
7
．已知等比数列
< br>{
a
n
}
中
①
a
1
1
①
a
3
a
5
6
①
则
a
5
a
7
< br>
①
①
A
．
12
B
．
10
<
/p>
C
．
12
2
D
．
6
2
8
．已知不等式的解集为．则（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
二、多
选题
(
共
20
分
)
9
．一
元二次方程
ax
2
< br>2
x
1
0(
a
0)
有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（
）
A
．
a
0
B
．
a
0
C
．
< br>a
1
D
．
a
1
E.
a<
/p>
2
10
．
在
ABC
中，
内角
A
,
B
,
C
所对的边分
别为
a
,
b
,
c
.
根据下列条件解三角形，
其中有两解的是
（
A
．
b
10,
A
45
,<
/p>
C
70
B
．
b
45,
c
48,
B
60
C
．
a
14,
b
16,
A
45
D
．
a
7,
b
5,
A
< br>
80
11
．等差数列
a
n
的前
n
项和记为
S
n
，若
a
1
0
，
S
10
< br>S
20
，则（
）
A
．
d
0
B
．
a
16
0
）
C
．
S
n
S
15
D
．当且仅当<
/p>
S
n
0
时
n
32
12
．
b
满足
a
b
4
，
ab
的最大值为
t
，
已知正数
a
，
不等式
x
2
3
x
t
0
的解集为
M
，
则
（
）
A
．
t
2
C
．
M
x
< br>|
4
x
1
B
．
t
4
D
．
M
x
|
1
< br>x
4
第
II
卷（非选择题）
三、填空题
(
共
20
分
)
13
．已知
x
1
，函数
y
4
x
的最小值是<
/p>
______
．
x
1
14
．在
ABC
中
,
a
,
b
,
c
是角
A<
/p>
,
B
,
C
所对的边长
,
若
si
n
A
:sin
B
:sin
C
4:5:6
,
则
2
a
cos
A
________
__
．
c
1
5
．
如图，
在正三棱柱
ABC
﹣
A
1
B
1
C
1
中，
所有棱长均为
1
，
则点
B
1
到平面
ABC
1
的距离为
．
n
16<
/p>
．若数列
a
n
满足
a
1<
/p>
1
,
a
n
1
2
a
n
则数列
a
n
的通项公式
a
n
__________
___
四、解答题
(
共
70
分
)
17
．已知
S
n
为等差数列
a
n
的前
n
项和，给出以下三个条件：①
a
1
a
7
14,
S
9
81<
/p>
；②
a
1
1,
a
n
1
a
n
4
n
；③
a
1
1,
a
n
1
a
n
4
n
2
1
.<
/p>
从上面①②③三个条件中任选一个解答下面的问
题（如果选择多个
条件分别解答，按第一个解答计分）
（
1
）求
a
n
及
S
n
；
<
/p>
（
2
）设
b
n
1
1
1
T
n
.
，数列
b
n
的前
n
项和为
T
n
，证明：
a
n
a
n
1
3
< br>2
18
．已知函数
f
x
x
2
ax
a
R
.
（
1
）解不等式
f
x<
/p>
1
a
；
（
2
）若
x
1
,
时，
f
< br>x
x
2
2
恒
成立，求
a
的取值范围
.
19
．在四边形
ABCD
中，
BC
CD
，
AC
3
BC
，
ABC
2
3
.
（
1
）求
BAC
的值；
（
2
）若
BC
3
，
< br>AD
13
，求
BD
的长
.
20
．
如图，
四棱
锥
P
ABCD
的底面为平行四边形，
点
E
、
F
分别在
CD
、
BC
上，
G
为
PA
中点，
且
PE
平面
ABCD
.
（
1
）
若
PF
BC
，求证：平面
PBC
平面
PEF
；
（
2
）求证：
PC
/
/
平面
BDG
.
21
．
已知
ABC
为锐角三角形，
角
A
< br>，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
若
c
3
，
3
a
2
c<
/p>
sin
A
.
<
/p>
（
1
）求角
C<
/p>
的值；
（
2<
/p>
）求
2
a
b
的取值
.
22
．已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
2
S
n
3
3<
/p>
a
n
.
（
1
）求数列
{
a<
/p>
n
}
的通项公式；
（
2
）若
b
n
a
n<
/p>
log
3
a<
/p>
n
2
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
参考答案
1
．
C
【解析】
方程
x
2
2
a
x
1
0<
/p>
有两个实数根是真命题；命题
试题分析：因为
时函数
f
(
x
)
x
4
的最小值为
4
是真命题
,
故
真
假
< br>,
故依据复合命题真假判
x
定的
结论可知
①①①
是正确的
,
应选
C
．
2
．
C
【解析】
试题分析：
由余弦定理可得，
b
2
a
2
c
2
2
ac
cos
B
，
将
b
1
,
c
3,
B
30
代
入可得
a
1
或
a
2
，选
C
考点：余弦定理
3
．
B
【解析】
试题分析：由题根据韦达定
理和等差中项性质不难得到
a
6
，然后
求得数列的前
11
项和
.
由题根据韦达定理得到
a
6
考点：等差数列性质
4
．
A
【分析】
a
3
a
9
16
8,
<
/p>
S
11
11<
/p>
a
6
88
，故选
B.
2
2
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求
z
的最小值
.
【详解】
x
1
解：作出实数
x
，
y
满足约束条件
< br>2
x
y
1
0
表
示的平面区域（如图示：阴影部分）
：
x
y
1
0
由
2
x
y
1
0
< br>得
A
(0,1)
，
x
< br>y
1
0
由
z
3
x
y
得
y
3
x
z
，平移
y
3
x
，
易知过点
A
时直线在
y
上截距最小
，
所以
z
1
.
故选：
A
.
5
．
A
【解析】
【分析】
几何体复原为底面是直角三
角形，
一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，
扩展为长方体，<
/p>
长
方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．<
/p>
【详解】
解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为三棱锥，底面是直角三
角形，
PA
底面
ABC
.
则
BC
< br>
PC
.
扩展为长方体，
它的对角线的
P
B
即为球的直径：
16
25
41
该三棱锥的外接球的表面积为：
4
(
41
2
< br>)
41
π
2
故选：
A
6
．
B
【分析】
由正弦定理可得
a
3
c
，再由余弦定理，求得
c
2
，得到
a
2
3
，结合三角形的面积
公式，即可求解
.
【详解】
因为
sin
A
3
sin
C
，由正弦定理可得
a
3
c
，
又由余弦定理，得<
/p>
b
2
a
2
c
2
2
ac
cos
B
，即
4
3
c
2
c
2
2
3
c
2
3
，
2<
/p>
解得
c
2
，所以
a
2
3
，
所以
ABC
的面积为
S
故选：
< br>B
.
7
．
A
【解析】
1
1
1
ac
sin
B
2
3
2
3
.
2
2
2
2
4
2
2
由已知
a
3
a
5
< br>
q
q
6
，
∴
q
2
，
∴
a
5
a
7
q
(
a
3
a
< br>5
)
2
6
12
，故选
A.
8
．
B
【解析】试题分析：由已知可得方程的两个根为，且
考点：
9
．
CE
【解析】
【分析】
可以先求出方程有一正根和
一负根的充要条件，然后根据集合的包含关系选择．
【详解】
4
4<
/p>
a
0,
2
∵一元二次方程
ax
2
x
1
0(
a
0)
有一正根和一负根，∴
1
∴
a
0
.
本
< br>0,
a
题要求的是充分不必要条件，
由于
a
|
a
1
{
a
|
a
0}
，
{
a
|
a
选项
CE
符合题意
.
故选：
CE.
10
．
BC
【分析】
2}
{
a
|
a
0}
，<
/p>
即
根据题设条件和三角形解的个数的判
定方法，逐项判定，即可求解，得到答案
.
【详解】
对于选项
< br>A
中：由
A
< br>45
,
C
70
，所以
< br>B
180
< br>A
C
65
，即三角形的三个角是确
定的
值，故只有一解；
对于选项
B
中：因为
sin
C
csin
B
8
3
1
，且
c
b
，所以
角
C
有两解；
b
15
b
sin
A
4
2
1
，且
b
a
，所以角
B
有两解；
a
7
b
sin
A
1
，且
b
a
，所以角
B
仅有一解
.
a
对于选项
C
中：因为
sin
B
对于选项
D
中：因
为
sin
B
故选：
BC
.
11
．
ABC
【分析】
根据等差数列的性质及
S
10
S
20
可分析出结果
.
【详解】
因为等差数列中
S
10
S
20
，
所以
a
11
a
12
a
< br>19
a
20
< br>
5(
a
15
< br>
a
16
)
0
，
又
a
1
0<
/p>
，
所以
a
15
0,
a
16
0
，
所以
d
0
，
S
n
S
15
，故
ABC
正确；
因为
S
31
31(
a
1
a
31
)
31
a
16
0
，故
D
错误
,
2