浅谈悬链线
-
【摘要】神奇的數
e
出現了，就寫在蜘蛛絲上面
。在薄霧的清晨，讓我們觀察
昨夜織成的蜘蛛網，
具黏性的絲，
負載著小水珠的重量，
彎曲成一條條的懸鏈線，
水珠沿著曲線排成美麗的項鍊。
當晨曦穿透霧氣，
照射
在蜘蛛網上，
閃耀著彩虹
色的亮光，就像一盤奪目的珍珠，榮耀
歸功於
e
。──法布爾
法布爾（
Fabre,1823~1915
）是法
國著名的昆蟲學家，他說：「在昆蟲的世界
裡，可以激發我所有的思想與靈感。」這份「
熱情」
（
passions
）推動著他
研究
昆蟲的生活與行為，並且寫出《昆蟲記》之不朽名著，因而被後人尊稱為「昆蟲
詩人」或「昆蟲學界的荷馬（
Homer
）
」。
他觀察到的蜘蛛網項鍊（圖一），就是上述那段話的由來。
問題的提出
固定項鍊的兩端，在重
力場中讓它自然垂下（圖二），問項鍊的曲線方程式是
什麼？
這就是著名的「懸鏈線問題」
(the
hanging
chain
pro
blem)
。在
1690
年由賈
可比
‧
貝努利（
Ja
kob Bernoulli,
1654
～
< br>1705
）公開提出來，向數學界挑戰，
徵求答案。
在微積分初創時期，
它正好可用來考驗微積分的威力。
這是一段有趣
而又極具啟發性的歷史，值得我們重溫一遍，細細品味。
在大自然中，
除了懸垂的項鍊與蜘蛛網的
水珠項鍊外，
我們還可以觀察到吊橋
上方的懸垂鋼索（圖三），
以及兩根電線桿之間所架設的電線（圖四），這些都
是懸鏈線（
catenary
）。
由大自然引
導出來的數學，
讓我們覺得
「有土、
有
根」
，
並且沾染、
散發著
「就
在身邊的親切感」。
亞里斯多德與伽利略的錯誤
大家都
看過海豚躍水的表演（圖五），以及石頭（或砲彈）飛過天際的現象，
並且知道它們的軌
跡都是拋物線
（
parabola
）<
/p>
，
這是超乎歐氏幾何的曲線。
基本
上，歐氏幾何只研究由直線與圓所交織出來的圖形世界。
亞里斯多德的錯誤
然而古希臘偉大
哲學家（百科全書般的人物）亞里斯多德（
Aristotle,384
～
322
B.C.
），他卻
認為石頭飛過天空的軌道應如圖六所示，因為根據他的「有機
目的觀」的物理學與哲學，
地面上的「自然運動」（
natural motion
）是直
線，
所以石頭飛出去是直線，掉下來也是直線並且垂直地面。
這個錯誤兩千年後才由伽利略（
Galileo, 1564<
/p>
～
1643
）加以修正，並且得到
軌跡的正確方程式為二次函數
y=ax
2<
/p>
+bx+c
，這不必用到微積分就可以求出來。
< br>事實上，伽利略不懂微積分，那時微積分還未真正誕生。
伽利略的錯誤
伽利略比貝努利更早
注意到懸鏈線，但是「螳螂捕蟬，黃雀在後」，他也犯了
錯誤：
他猜測懸鏈線為拋物線。
從外表看起來
（圖二）
，
懸鏈線的確很像拋物線，
然而實際上並不是！惠更斯
（
Huygens,
1629
～
1695
）在
1646
年（當時
17
歲），
經由物理的論
證，
得知伽利略的猜測不對，
但正確的答案這個時候他也求不出
來。
這是大自然的一個深刻秘密，只有微積分可以揭開它。
兩點啟示
首先是，檢驗錯誤易，建
立真理難，即「理未易明，善未易察」。其次是，偉
大的人物可能犯偉大的錯誤。
因此，
我們要時時警覺到費因曼
（
Feynman,
1918
～
< br>1988
）
所說的
「科學就是懷
疑專家會有錯誤」
，
更進一步要如笛卡兒
（
Descartes,
159
6
～
1650
）之持「系統地、方法地
懷疑」的態度。
科學哲學
這些啟示正好就是，在現代科學哲學中，波柏（
K.
Popper, 1902
～
1995
）所
提倡的「否證論」（
Falsification
theory
）之出發點。否證論的要旨是：無論
我們觀察了多少隻的白色天鵝，
都沒有證明
「凡是天鵝都是
白色的」
這個
「理論」
，
但只要出現一隻黑天鵝，
就否證了該理論。
換言之，
我們雖然無法證明一個科學
理論是對的，但是我們可以透過批判
討論（
critical
discussions
）找出理論的
錯誤所在，
逼使胡說八道現原形，<
/p>
甚至否證、
推翻它，
將科學理論不斷地推
陳出
新。科學的進展是，成功踏著錯誤前進。
在這個觀點之下，科學方法就是「嘗試改誤」（
trial
and error
），從錯誤
中學習。特別地，前人的錯誤經
驗，對後人更具有啟發性與教育價值。可惜，這
幾乎都被我們的教育忽略了，而只講授成
功的典範。
微積分馴服懸鏈線
伽利略的錯誤與惠更斯的無能為力，
真正的理由是缺乏微積分工
具，
要馴服懸
鏈線就必須用到微積分！
我們知道，
微積分經過兩千年的醞釀，
到了十七世紀後半葉，
才由牛頓
（
Ne
wton,
1642
～
1727
）
與萊布尼慈
（
L
eibniz,
1646
～
1716
）
兩人獨立地發明。
牛頓在
1660
年代發明，但直到
1711
年才發表；萊布尼慈在
1670
年代發明，在
1684
年就發
表，比牛頓還早公諸於世。<
/p>
微積分基本上是要探求曲線的切線與曲線所圍成的面積這兩個
問題。
它們的解
決都必須經過「無窮步驟」，才能得到答案，落
實於取極限或無窮小的演算。換
句話說，微積分是道道地地的「無窮之學」（
the science of infinity
），這
是微積分之所以深刻、困難與迷人的理由。
牛頓與萊布尼慈的微積分，最主要的內涵是：建立微分法的系統演算規則並
< br>且看出微分與積分的互逆性。
微分法的正向演算
（即由
f(x)
求出
f'(x)
）
，
解決了求切線、
求極值、
求速度、
加速度以及一切變化率的
問題。
微分法的反向演算
（即由<
/p>
f'(x)
求出
f(x)
）
，
解決了兩千年的求積分之難題以
< br>及運動現象的里程問題等等。
更要緊的是，面對大自
然變化萬千的現象，利用「物之理」與微分法，我們可
以將一條未知曲線（或一個未知函
數），網在一個微分方程式之中，再利用「積
分法」
（即反微分
法），解開網子，求得未知曲線（或未知函數）。這和我們在
中學時代，利用代數方程式
網住未知數
x
，再求解方程式的手法完全一樣。
微分法是人類苦練兩千餘年才得到的寶劍，削金斬鐵，銳利無比。當賈可比
‧
貝努利在
1690
< br>年提出
「懸鏈線問題」
後，
隔年
（
1691
年）
萊布尼慈、
惠更斯
（當
時他已
62
歲）與約翰
‧
貝
努利（
Johann Bernoulli, 1667
～
1748
，賈可比
‧
貝努
利之弟）都利用這一把利器，求得正確的答案：
【
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件
原
】
（
1
）
其中
e
為神奇的數
【
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件
原
】
這就是法布
爾所說的「榮耀歸功於
e
」之由來。
此地我們用了較後來才出現的現代數學術語與記號來表達，
下面
我們也要按此
要領，先建立懸鏈線所滿足的微分方程，然後再求解之。
< br>
數學模型
考慮如圖七呈
平衡靜止的懸鏈線。
假設它的密度與粗細都是均勻的，
令
y
軸通
過它的最低點
P
0
，並且
s
表示從
P
0
到變動點
< br>P
（
x,y
）的弧長，
ｗ
0
表線密度（即單
位
長度的重量）
。
再令
P
0
點與
P
點的張力分別為
T
0
與
T
，它們都切於懸鏈線。
作
用於弧段
s
之力，除了
T
0
與
T
之外，還有向下的
ｗ
s
，這是弧段的重量。
0
因為弧段
s
是靜止的
，故作用力是平衡的，即
x
軸與
y
軸方向的合力都是
0
。
因此
Tcos
θ
=
T
0
，
< br>Tsin
θ
=
ｗ
s
（
3
）後式除以前式得到
0
tan
θ
=
ｗ
s
／<
/p>
T
0
（
4
）因為
dy
／
dx
=tan
θ
，
並且令
< br>α
ｗ
=
/T
，所以
0
0
< br>dy
／
dx=as
（
5
）為了消去
s
，上式對
x
作微分，並利用曲線弧長公式，我們得
到
【
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件
原
】
（
6
）
這是一個二階微分方程，我們還有兩個天然的初期條件
y(0)=y
0
, y'(0)=0<
/p>
（
7
）
上述（
6
）與（
7
）兩式就是懸鏈線
y
＝
f(x)
這個未知函數所滿足的方程式。
求解微分方程
我們求解（
6
）與（
7
）兩式。令
P=dy
／
dx
，則（
6
）式變成
【
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件
< br>原
】
（
8
）分離變數後再積分，得到
【
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件
原
】
為
了
求算左項之
積分，作三角代換
p
＝
tan
ψ
，則
dp=sec
ψ
d
ψ
且
【
瀏
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原
件
】
。
於
是
【
瀏
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件
原
】
從
而
【
瀏
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件
原
】<
/p>
由
y
'(0)
＝
0
知，當
x
＝
0
時，
p
＝<
/p>
0
，故
c
1
=0
。因此
【
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件
原
】
將
p
移至右邊，平方，化簡，得到
dy
／
dx=p=1/2(e
－
e
)
作積分，得到
y=1/(2a)(
e
ax
+e
-ax
)+c
2
為了簡潔起見，我們
調整坐標系，使得
y(0)
＝
y
0
＝
1/
α
，
於是
c
2
＝
0
，從而
y=1/(2a)(e
ax
+e
-ax
)
（
9
）
<
/p>
這就是懸鏈線的方程式，它是一個超越函數（
transcend
ental function
），
而拋物線
< br>y
＝
ax
2
+bx+c
只是一個代數函數（
algebraic
function
），兩者的難易
度、深淺
度相差非常大（參見圖八）。
今日我們定義函數
coshx=1
/2(e
x
+e
-x
< br>)
sinhx=1/2(e
－
e
)
分別稱為雙曲餘弦函數與雙曲正弦函數。因此，（
9
）式可
以改寫成
y=1/a cosh(ax)
（
10
）
x
-x
ax
-
ax
2
數學發現的狂喜
微積分發明後，在歐陸瑞士的貝努利家族，因為勤於跟德國的萊布尼慈通信，
所以是第一批學會微積分的人。
利用微積分工具，
約翰解決了
懸鏈線問題，
反倒
是提問題的哥哥賈可比沒有解出來。為此，約
翰嘗到發現的狂喜，即使是經過
27
年後，勝利的甜蜜滋味仍舊
躍然紙上。
事情是這樣的：
因為約
翰一直對外宣稱是他而不是賈可比求得答案，
有一位同
事提出質
疑，所以約翰寫信說明這件事。他在
1718
年（此時賈可比已
過世十三
年）寫道：
你說我的哥哥
賈可比提出（懸鏈線）問題，這是對的，但這並不意謂著他也求
得答案，
不是嗎？事實上，
他根本沒有算出答案。
當他在我的建
議下，
提出這個
問題時
（我是第一個想
到此問題的人）
，
我們兩人都不會求解。
對於求解不出這
件事，
我們同感苦惱、
絕望。
直到萊布尼慈先生在
1690
年經由
《萊比錫》
（
Leipzig<
/p>
）
雜誌
p.360
，透露消息說，他已求得答案，但暫時不公布，預留時間給其他分析
學家，也有發現的
機會。這鼓舞了我們兄弟兩人，重新思考這個難題。
我哥哥
的努力並沒有成功，
而我比較幸運，
因為我找到了求解此問題的
技巧
（這
樣說並不是「老王賣瓜」，我何必隱藏或歪曲真相呢？
）…第二天早晨，我的內
心充滿著狂喜，
急忙去找哥哥，
發現他仍然在跟他的
「戈登結」
（
Gordian
knot)
苦鬥，
沒有勝利的跡象，
因為他總是和伽利略犯同樣的錯誤，
把懸鏈線想成是拋
物線。
我對他說：
停！
停！
不要再折磨自己，
不要嘗試去
證明懸鏈線就是拋物線，
因為這根本是錯誤的。
懸鏈線問題的解決，
有苦有樂，
並且標誌著新發明
的微積分之偉大勝利，
它比
美於五年後在
1696
年約翰所提出著名的「最速下降線問題」（
the
brachistochrone
problem
），這是另一個美麗的數學發現故事（以後有機會再