初中数学概念整理
-
1
、整数
整数（
Integer
）
：像
-2
，
-1
，
0
，
1
，
2
这样的数称为整数。
（整数是表示物体个数的数，
0
表示
有
0
个物体）
整数是人类能够掌握的最基本的数学工具。
整数的全体构成整数集，
整数集合
是一个数环。
在整数系中，
自然数为
0
和正
整数的统称，
称
0
为零，
称
-1
、
-2
、
-3
、
…
、
-n
、
…
(n
为整数
)
为负整数。正整
数、零与负整数构成整数系。
一个给定的整数
n
可以是负数（
n
∈
Z-
）
，非负数（
n<
/p>
∈
Z*
）
，零（
n=0
）或正数（
n
< br>∈
Z+
）
．
如何分类
我们以
0
为界限，将整数分为三大类
a
、正整数，即大于
0
的整数如，
1
，
2
，
3
，
…
，
n
，
…
b
、
0
既不是正整数，也不是负整数，他是介于正整数和负整数的数
c
、负整
数，即小于
0
的整数如，
-1
，
-2
，
-3
，
…
，
-n
，
…
2
、分数
把
整体
“1”
平均分成若干份
,
表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均
分成几份
,
分子是表示这样几份的数。把
1
平均分成分母份，表示这样的分子份。
a
分子在
上分母在下，
（如这样表示
b
）也可以
把它当做除法来看，用分子除以分母，相
反除法也可以改为用分数表示。
百分数与分数的区别
（
1
）意义不同，百分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称；
分数既可以表示
具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可带单位名称。
（
2
）百分数的分子可以是整数，也可以是小数
；而分数的分子不能是小数只是除
0
以
外的自然数；百分数不可以约分，而分数一般通过约分化成最简分数。
（
3
）任何一个百分数都可以写成分母是
10
0
的分数，而分母是
100
的分数并不
都具有
百分数的意义。
（
4
）应用范围的不同，百分数在生产和生活中，
常用于调查、统计、分析和比较，而分数
常常在计算、测量中的不到整数结果时使用。<
/p>
3
、正数与负数
正数：大于
0
的数叫正数。如
1<
/p>
、
15
、
300
0
、
负数：比零小（
<0 )
的数。用负号
（即相当于减号）
“
－
”
标记。如
-2
、
-5.33
、
-45
、
-
0.6
等。
任何正数前加上负号都等于负数
.
负数比零，正数小
在数轴线上，负数都在
0
的左侧，没有最大与最小的负
数，所有的负数都比自然数小。
七年级上
1.1
4
、有理数
整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数
m
n
（
m
、
n
都是整数，且
n≠0
）
的形式。
无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数
值得一提的是有理数的名称。
“
有理数
”
这一名称不免叫人费解，有理数并
不比别的数更
“
有
道理
”
。
事实上，
这似乎是一个翻
译上的失误。
有理数一词是从西方传来，
在英语中是
rational
number
，而
rational
通常的意义是
“
理性的
”
。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中
的
翻译方法，
以讹传讹，
把它译成了<
/p>
“
有理数
”
。<
/p>
但是，
这个词来源于古希腊，
其英文词根
为
ratio
，
就是比率的意思（这里
的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）
。所以这个词的意义也很
显豁，就是整数的
“
比
”
。与之相对，
“
无理数
”
就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并
非没有道理。<
/p>
任何一个有理数都可以在数轴上表示。
其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数
或无限循环小数。
数学上，有理数是一个整数
a
和一个非零整数
b
的比
(ratio)
，通常写作
a/b
，故又称
作分数。希腊文称
为
λογο
，原意为
“
成比例的数
”(rational
number)
，但中文翻译不恰当，逐
渐变成
“
有道理的数
”
。<
/p>
无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率
π
）
有理数和无理数统称为实数。
所有有理数的集合表示为
Q
。
正整数
正数
正分数
0
负整数
负数
< br>负分数
有理数
有理数包括：
(1)
自然数：数
< br>0
，
1
，
2
，
3
，
…
…
叫做自然数
.
(2)
正
整数：＋
1
，＋
2
，＋
3
，
……
叫做正整数。
(3)
负整数：－
< br>1
，－
2
，－
< br>3
，
……
叫做负整数。
(4)
整数：正整数、
0
、
负整数统称为整数。
(5)
分数：正分数、负分数统称为
分数。
(6)
奇数：不能被
2
整除的整数叫做奇数。如
-3
，
-1
，
1
，
5
等。所有的奇数都可用
2n-1
或<
/p>
2n+1
表示，
n
为整数。
(7)
偶数：能被
< br>2
整除的整数叫做偶数。如
-2
，
0
，
4
，<
/p>
8
等。所有的偶数都可用
2n
表示，
n
为整数。
(8)
质数：如果一个大于
1
的整数，除了<
/p>
1
和它本身外，没有其他因数，这个数就称为
质数，又称素数，如
2
，
3
，
11
，
13
等。
2
是最小的质数。
(
9)
合数：如果一个大于
1
的整数，除
了
1
和它本身外，还有其他因数，这个数就称为
合数，如
4
，
6
，
9
，
15
等。
4
是最小的合数。一个合数至少有
3
个因数。
(10)
互质数：如果两个正整数，除了
1
以外没有其他公因数，这两个
整数称为互质数，
如
2
和
5
，
7
和
< br>13
等。
如
3
，
-98.11
，
5.72727272
……
，
7/22
都是有理数。
全体有理数构成一个集合，即有理
数集，用粗体字母
Q
表示，较现代的一些数学书则
用空心字母
Q
表示。
有理数集是实数集的子集，即
Q
R
。
七年级上
1.2.1
5
、数轴
规
定了唯一的原点（
origin
）
，唯
一的正方向和唯一的单位长度的直线叫数轴。
所有的实数都
可以
用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。
画一条
水平直线，在直线上取一点表示
0
（叫做原点，
origin
）
，选取某一长度作为单位
长度（
unit
length
）
，规定直线上向右的方向为正方向（
positive
direction
）
，就得到右面的
数
轴。所以原点、单位长度、正方向是数轴的三要素。如图：
利用数轴可以比较有理数的大小，数轴上从左往右的点表示的数就是按从小到大的顺
序。
数轴意义：
1
）从原
点出发朝正方向的射线（正半轴）上的点对应正数，相反方向的射线（负半轴）
上的点对
应负数，原点对应零。
2
）在数轴上表示的两个数，正方向
的数大于负方向的数。
3
）正数都大于
0
，负数都小于
0
，正数大于一切
负数。
数轴是一种特定几何图形；
原点、
正方
向、
长度单位称数轴的三要素，
这三者缺一不可．
把规定了唯一的原点，正方向，单位长度的一条直线叫做数轴
如果要
在数轴上的点表示虚数
,
则需要
2
条数轴组成直角坐标系
.
而实数与虚数的和
,
要表
示在两条数轴之外的二维平面上
。
任何
一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的数不都是有理数。
一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理
数。
七年级上
1.2.2
6
、相反数
相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，其中的一个数叫做另一个数的相反数。
相反数的代数意义：
到原两个数的和
为零，
其中一个数是另一个数的相反数，
这两个数称为
互为相反数。
相反数的几何意义：到原点距离
相等的两个点表示的两个数是互为相反数。
在数轴上，互为相
反数（
0
除外）的两个点位于原点的两旁，并且关于原点对称。
正数的相反数是负数，负数的相反
数是正数。
a
的相反数是
-a
，
0
的相反数是
0
。
七年级上
1.2.3
7
、绝对值
绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值。绝对值只能为非负数。
几何意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：指在数轴上
表示的点
与原点的距离，这个距离是
5
，所以的绝对值是
5
，又如指在数轴上表示
1.5
的点与原点的
距离，这个距离是
1.5
，所以
1
.5
的绝对值是
1.5
。
代数意义：正数和
0<
/p>
的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数
,0
的绝对值是
0
互为相反数的两个数的绝对值相等。
a
的绝对值用
“|a |”
表示．读作
“a
的绝对值
”
．
|a|=a
（
a≥0
）
|a|=-a
（
a≤0
）
。
七年级上
1.2.4
8
、近似数
一个数与准确数相近
(
比准确数略多或者略少些
),
这一个数称之为近似数
(approximate
number).
如
:
我国的人口无法计算准确数目，但是可以说出一个近似数
< br>.
比如说我国人口有
13
亿
,13
亿
就是一个近似数。
在通常情况下，
近似数相加减，
精确度最低的一个已知数精确到哪一位，
和或者差也至多只
能精确到这一位。示例
例如，一个同学去年体重
30.4<
/p>
千克，今年体重比去年增加了
3.18
千
克。求今年体重时
要把这两个近似数加起来。因为
30.4
只精确到十分位，比
3.18
的精确度（精
确到百分位）
低，所以加得的和最多也只能精确到十分位。
为了容
易看出计算结果的可靠程度，
我们在竖式中每一个加数末尾添上一个
“
？
”
，
用来
表示被截去的数字。
30.4
？
＋
3.18
33.5
？
可以看
到，
因为第一个加数从百分位起的数就不能确定，
所以加得的和
从百分位起数字
也不能确定。
近似数的加减一般可按下列法则进行：
（
1
）确定计算结果能精确到哪一个数位。
（
2
）把已知
数中超过这个数位的尾数
“
四舍五入
”
到这个数位的下一位。<
/p>
（
3
）
进行计算
，
并且把算得的数
的末一位
“
四舍五入
”
。
七年级上
1.5.3
9
、科学计数法
数学术语，
a×
10
的
n
次幂的形式。将一个数字表示成
（
a×
10
的
n
次幂的形式）
，其中
1≤
|a|
＜
10
，
n
表示整数，这种记数方法叫科学记数法。
用幂的形式，有时可以方便的表示日常生活中遇到的一些较大的数，如：光的速度大约是
300 000 000
米
/
秒；全世界人口数大约是：
6 100 000 000
这样的大数，读、写都很不方便，
考虑到
10
的幂有如下特点：
10<
/p>
的二次方
=100
，
10
的三次方
=1000
，
10
的四次方
=10
000……
。
一般的，
10
的
n
次幂，在
1
的后面有
n
个
< br>0
，这样就可用
10
的幂表示一
些大数，如：
6 100 000
000=6.1×
1 000 000
000=6.1×
10
任何非
0
实数的
0
次方都等
于
1
当有了负整数指数幂的时候，小于
1
的
正数也可以用科学记数法表示。例如：
0.00001=
10<
/p>
（
10
的负
5<
/p>
次方）
，即小于
1
的正数也可以用科学记数法表示为
a
乘
10
的负
n
次方的形式，其中
a
是正整数数位只有一位的正数，
n
是正整数。
有效数字：
在一个近似数中，从左边第一个不是
0
的数字起，
到精确到的位数止，
这中间所
有的数字都叫这个
近似数字的有效数字。
8
8
.
90
10
例如：
890314000
保留三位有效数字为
（
8.90*10
的
8
次方）
5
9
0.00934593
保留三位有效数字为
9
.
35
< br>10
（
9.35*10
的
-3
次方）
七年级上
1.5.2
10
、有理数的运算
有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（
0
作除数除外）
，而且对于这些运算，以下
的运算律成立（
a
、
b
、
c
等都表示任意的有理数）
：
①加法的交换律
a+b=b+a
；
②加法的结合律
a+(b+c)=(a+b)+c
；
③存在数
0
，使
0+a=a+0=a
；
④对任意有理数
a
，存在一个加法逆元，记作<
/p>
-a
，使
a+(-a)=(-a)+a=
0
；
⑤乘法的交换律
ab=ba
；
⑥乘法的结合律
a(bc)=(ab)c
；
⑦分配律
a(b+c)=ab+ac
；
3
⑧存在乘法的单位元
1≠0
，使得对任意有理数
a
，<
/p>
1a=a1=a
；
⑨对于不为
0
的有理数
a
，存在乘法逆元
1/a
，使
a(1/a)=(1/a)a=1
。
⑩
0a
＝
0
此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系
≤
。
有理数还是一个阿基米德域，
即对有理数
a
和
b
，
a≥0
，
b>0<
/p>
，
必可找到一个自然数
n
，
使
nb>a
。
由此不难推知，不存在最大的有理数。
有理数加减混合运算
1.
理数加减统一成加法的意义：
<
/p>
对于加减混合运算中的减法，
我们可以根据有理数减法法则将减法
转化为加法，
这样就可将
混合运算统一为加法运算，
统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，
我们把这样的式子
叫做代数和。
2.
有理
数加减混合运算的方法和步骤：
（
1
）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
（
2
）运用加法法则，加法交换律，加法结
合律简便运算。
有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，
在实数范围内有同样的意义。
一般情况下，有理数是这样分类的：
整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数
11
、乘方
乘方的意义、各部分名称及读写
在
a
中，
相同的乘数
a
叫做底数
(base number)
，
a
的个数
n
叫做指数
(exponent)
，
乘方运
算的结果
a
叫做幂
(
念
mì
）
。
< br>a
读作
a
的
n
次方，如果把
a
看作乘方的结果
，则读作
a
的
n
次幂。
a
或
a
的二次方（或
a
的二次幂）也可以读作
a
的平方；
a
或
a
的三次方（或
a
的
三次幂）也可以读作
a
的立方。
每一个自然数都可以看作这个数的一次方，也叫作一次幂。如：
8
可以看作
8
。当指数
是
1
时，通常省略不写。
运算顺序：先乘方，再括号，接乘除，尾加减。
（
1
）
、相同乘数相乘的积用乘方表示
（
2
）
、根据乘方的
意义计算出答案
1
）
9
；
2
）
0
。
9
=9×
9×
9×
9=6561
可以看
出
0
=0
（
n
为正数）
（
3
）
、
n<
/p>
=1
（
n≠0
）
（
4
）
、区别易混的概念
2
3
2
1
）
8
与
8×
3
；
2) 5×
2
与
5
；
3
）
4
5
与
(
4
5
)
4
n
n
n
n
2
< br>3
1
4
n
n
0
2
（
5
）
、计算一个数的小数次方，如果那个小数是有理数，就把它化
为
p/q
（即分数）的形式，
那么任何
一个数
n
的
p/q
次方就等于
n
的
p
次方再开
q
次根号
七年级上
1.5.1
12
、单项式
数字或字母的乘积叫单项式（单独的一个数字或字母也是单项式
(
单项式是整式，而不是分
式）
）
。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
所有字母的指数之
和叫做这个单项式的
次数。任何一个非零数的零次方等于
1
。
注意：
1
1
）
、分母含有未知数的式子不属于单项式。例如，
< br>x
不是单项式。
2
）
、单独的一个数字或字母也是单项式。例如，
1
和
x
也是单项式，
0
.
5
m
< br>n
不是单
项式。
单项式是字母与数的乘积。
单项式的次数：一个单项式中，所
有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
单项式的系数：单项式中的数字因
数。如：
2xy
的系数是
2
；
-5zy
的系数是
-5
字母
t<
/p>
的指数是
1
，
1
00t
是一次单项式；在单项式
vt
中
，字母
v
与
t
的指数的和是
2
，
vt
是二次单项式。
3
如：
abg
、
xy
、
b
…
…
都是单项式。
2
y
用运算符号把表示数的字母或数连接起来的式子叫代数式。
代数式
不含有
“≥”
、
“
＝
”
、
“
＜
”
、
“≠”
符号等
单项式书写规则：数与字母相乘时，
数在字母前；乘号可以省略
为点或不写；
除法的式
子可以写成分数式；带分数与字母相乘，
带分数要化为假分数
单项式是几次，就叫做几次单项式
字母不能在分母中
“π”
是
数，不是字母
,
读
pai
注意
1.
数字写在字母的前面，省略乘号
。
[5a
、
16xy
等
]
2.
常数
(
也就是自然数）的次数为
0
。
3.
单项式分母不能为字母。
（因为这样为分式，不
为单项式）
4.π
是常数，因此也可以作为系数。
5.
若系数是带分数，要化成假分数。
6.<
/p>
但一个单项式的系数是
1
或
-1
时，
“1”
通常省略不
写，如
[
（
-1
）
ab ]
写成
[ -ab
]
等。
7.
在单项式中字母不可以做分母<
/p>
,
分子可以。
【注：像三分之
a+b
之类的不是单项式】
8.<
/p>
单项式中系数不为
0
，否则单项无意义。
单项式乘法法则：
单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，
对于只在一个单项式里含有的
字母，
则连
同它的指数作为积的一个因式
13
、多项式
若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）
。多
项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次
数。
不含字母的项叫做常数项。如一式中：最高项的次数为<
/p>
5
，此式有
3
个
单项式组成，则称其
为：五次三项式。
比较广义的定义，
1
个或
0
个单项式的和也算多项式。按这个定义，多项式
就是整式。实际
上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起的定理：
0
作为多项式时，次数为负
无穷大。
注意：
（
1
）由于多项式的每一项都是单项式，股每一项既有系数，又有次数，整个
多项式没有系
数；
（
2
）多项式的次数是组成多项式的各单项式中次数最高的那个单项式次数；
（
3
）把多项
式的项和次数结合起来，通常叫
做几次几项式，如
x
x
1
是二次三项式；
（
4
）多项式的
每一项都包括其前面的符号。
14
、整式
整式是有理式的一部分
,
在有理式中可
以包含加
,
减
,
乘
,
除四种运算
,
< br>但在整式中除数不能含有
字母
.
单项式和多项式统称为整式
.
2x/3
是单项式、
0.4X+3
是多项式，他们都属于整式。而
x/y
不是
整式。
代数式中的一种有理式
.
不含除法运算或分数
,
以及虽有除法运算及分数
,
但除式或分母中不
含变数者
,
则称为整式
.
代数式
:
由数和表示数的字母经有限次
加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，
或含有字母的数学表达式称为代数
式。例如
:ax
＋
2b
，－
2
／
3
< br>，
b^2/26
，
√a+√2<
/p>
等。
注意：
1
、
不包括等于号（
=
、
≡
）
、不等号（
≠
、
≤
、
≥
、＜、＞、≮、≯
）
、约等号
≈
。
2
、
可以有绝对值。例如：
|x|
，
|-2.25|
等。
整式不包括开方，分母是字母的数。
整式可
以分为定义和运算
,
定义又可以分为单项式和多项式
,
运算又可以分为加减和乘
除
.
加减包括合并同类项
,
乘除包括基本运算、法则和公式
,
基本运算又可以分为幂的运算性
质
,
法则可以分为整式、除法
,
< br>公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂
.
数与
字母的
乘积叫做单项式。
几个单项式的和是多项式。
单项式与多项式统称为整式。
单项式中的数字
因数
叫做单项式的系数。
单项式中所有字母的指数和叫做单项式的指数。
多项式中次数最高
项的次数叫做多项式的次数。多项式可以按降幂和升幂排列，
（
1
）
升幂：
按照多项式中制定
的未知数的次数从低到高排列；
< br>（
2
）
降幂：
< br>按照多项式中制定的未知数的次数从高到低排列。
七年级上
2.1
15
、分式
分式的基本概念：形如
A/B
，
A
、
B
是整式，
< br>B
中含有未知数且
B
不等于
0
的整式叫做分式
(fraction)<
/p>
。其中
A
叫做分式的分子，
B
叫做分式的分母。
掌握分式的概念应注意：
判断一个式子是否是分式，不要看
式子是否是
A/B
的形式，关键要满足。
（
1
）分式的分母中必须含有未知数。
（
2
）分母的值不能为零，如果分母的值为
零，那么分式无意义。
由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。
整式和分式统称为有理式。
带有根号的式子叫做无理式
无理式和有理式统称代数式
分式的法则
1
）
.
约分：
把一个分式的分子和分母的公因式
(
不为
1
的数）约去，这种变形称为约分
。
2
2).
分式的乘法法则：
两个分
式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
两个分
式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
3
）
.
分式的加减法法则：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
4
）
.
通分：
异分母
的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。如：
3/2
和
2/3
可化为
9/6
和
4/6.
即：
3*3/2*
3
，
2*2/3*2
！
5
）
.
异分母分式的加减法法则：
异分母的分式相加减，
先通分，
化为同分母
的分式，
然后再按同分母分式的加减法法则
进行计算。
注
:
分式的
概念包括
3
个方面：①分式是两个整式相除的分式，其中分子为
被除式，分
母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可
以含有字母，
也可以不含字母，
这是区别整式的重要依据；
③在任何情况下，
分式的分母的值都不可以为
0
，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的
。也
就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
< br>
分式的基本性质和变形应用
1.
分式
的基本性质
:
分式的分子和分母同时乘以
（或除以）
同一个不为
0
的整式，<
/p>
分式的
值不变。用式子表示为：
A/B=
A*C/B*C A/B=A÷
C/B÷
C
< br>（
A,B,C
为整式，且
C≠0
）
2.
约分
:
把一个分式的分子和分母的公因式约去
,
这种变形称为分式的约分．
3.
分式的约分步骤
:(1)
如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式
,
将
它们的公因式约去
.(2)
分式的分子和分母都是多项式
,
将分子和分母分别分解因式
,
再将公因
式约去
.
注
:
公因式
的提取方法
:
系数取分子和分母系数的最大公约数
,
字母取分子和分母共有的
字母
,
指数取公共字母的最小指数
,
即
为它们的公因式
.
4.
最简分式
:
一个分式的分子和分母没有公因式时
,
这个分式称为最简分式
.
约分时
,
一般
将一个分式化为最简分式
.
5.<
/p>
通分
:
把几个异分母分式分别化为与原分
式值相等的同分母分式
,
叫做分式的通分
.
6.
分式的通分步骤
:
先求出所有分式
分母的最简公分母
,
再将所有分式的分母变为最简公
分母
.
同时各分式按照分母所扩大的倍数
,
相应扩大各自的分子
.
注
:
最简公分母的确定方法
:
系数取各因式系数的最小公倍数
,
相同字母的最高次幂
及单
独字母的幂的乘积
.
注
:(1
)
约分和通分的依据都是分式的基本性质
2.(2)
分式的约分和通分都是互逆运算过
程
.
分式的四则运算
1.
同分
母分式加减法则
:
同分母的分式相加减
,
分母不变
,
把分子相加减
.
用字母表示为：
a/c±
b/c=a±
b/c
2.
异分母分式加减法则
:
异分母的分式相加减
,
先通分
,
化为同分母的分式
,
然后再按同分
母分式的加减法法则进行计算
.<
/p>
用字母表示为：
a/b±
c/d=ad±
cb/bd
3.
分式的乘法法则
:
两个分式相乘
,
把分子相乘
的积作为积的分子
,
把分母相乘的积作为积
的分母
.
用字母表示为：
a/b
* c/d=ac/bd
4.
分式的除法法则
:(1).
两个分式相除
,
把除式的分子和分母颠倒位置后再
与被除式相
乘
.a/b÷
c/d=ad
/bc
(2).
除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数
:a/b÷
c/d=a/b*d/c
16
、方程
含有未知数的等式叫方程
方程（英文
：
equation
）是表示两个数学式（如两个数、函数、量
、运算）之间相等关系的
一种等式，通常在两者之间有一等号
“
=”
。方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含
有未知数
。它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。
等式的基本性质
1
等式两边同时加
(
< br>或减
)
同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若
a
＝
b
，
c
为一个数或一个代数式。则
：
(1)a+c
＝
b+c
(2)a-c
＝
b-c
等式的基本性质
2
等式的两边同时乘或除以同一个不
为０的数所得的结果仍是等式。
(
３
)
若
a=b,
则
b=
a
（等式的对称性）
。
(
４
)
若
a=b,b
=c
则
a=c
（等式的传递性）
。
用字母表示为：若
a
＝
b
，
c
为一个数或一个代数式（不为０）
。则：
a×
c=b×
c a÷
c
＝
b÷
c
方程的一些概念：
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
解方程
的依据：
1.
移项；
2.
等式的基本性质；
3.
合并同类项；
4.
加减乘除各部分间的
关系。
解方程的步骤：
1.
能计算的先计算；
2.
转化
——
计算
——
结果
17
、一元一次方程
只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是
1
，这样的方程叫做
一元一次方程。
通常形式是
ax+b=0(a
，
b
为常数，且
a≠0
）
。一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是
整式。一元指方程仅含
有一个未知数，一次指未知数的次数为
1
，且未知数的系数不为
0
。
我们将
a
x+b=0
（其中
x
是未知数，
a
、
b
是已知数，并
且
a≠0
）叫一元一次方程的标准形式。
这里
a
是未知数的系数，
b
是常数，
x
的次数必须是
1
。
一元一次方程英文是
(line
ar equation in
one
）
性质
<
/p>
等式的性质一
:
等式两边同时加一个数或
减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。
等式的性质二
:
等式两边同时乘一个数或除以同一个不为
0
的数，等式仍然成立。
等式的性质三
:
等式两边同时乘方（或开方）
，等式仍然成立。
解方程
都是依据等式的这三个性质等式的性质一
:
等式两边同时加一个
数或减一同一个
数，等式仍然成立。
一般解法
1
）去分母
方程两边同时乘各分母的最大公倍数。
2
）去括号
一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定
使计算简便。
可根据乘法分配律。
3
）
移项
<
/p>
把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，
其余各项移到方程的
另一边移项
时别忘记了要变号。
(
一般
都是这样：
（比方）从
5x=4x+8
得到
5x - 4x=8
；把未知数移到
一起！
~
4
）合并同类项
将原方程化为
ax=b(a≠0)
的形式。
5
）系数化一
方程两边同时除以未知数的系数。
6
）得出方程的解。
同解方程
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
方程的同解原理：
（
1
）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
< br>（
2
）方程的两边同乘或同除同一个不为０的数所得的方
程与原方程是同解方程。
做一元一次方程应用题的重要方法：
（
1
）认真
审题（
2
）分析已知和未知的量（
3<
/p>
）找一个等量关系（
4
）设未知数（
5
）列方程
（
6<
/p>
）解方程（
7
）检验（
< br>8
）写出答
18
、二元一次方程
二元一次方程定义：
一个含有两个未知数，
并且未知数
的指数都是
1
的整式方程，
叫二元一<
/p>
次方程
(linear equation of two
unknowns)
。
二元一次方程组定义：由两个二元一次方程组成的方程组，叫二元一次方程组
(system
of
linear equation
of two unknowns)
。
二元一次方程的解：
使二元一次方程
两边的值相等的两个未知数的值，
叫做二元一次方程的
解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组
的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：
代入消元法
例：解方程组
x+y=5
①
6x+13y=89
②
解：由
①得
x=5-y
③
< br>把③带入②，得
6(5-y)+13y=89
，解得
y=59/7
把
y=59/7
带入③，得
x=5-59/7
，即
x=-24/7
∴
x=-24/7
，
y=5
9/7
这种解法就是代入消元法。
加减消元法
例：解方程组
x+y=9
①
x-y=5
②
解：①
+
②，得
2x=14
< br>，即
x=7
把
x=7
带
入①，得
7+y=9
，解得
y=2
∴
x=7
，
y=2
这种解法就是加减消元法。
二元一次方程组的解有三种情况：
1.
有一组解
如方程
组
x+y=5
①
6x+13y=89
②的解为
x=-24/7
，
y=59/7
。
2.
有无数组解
如方程
组
x+y=6
①
2x+2y=12
②，
因为这两个方程实际上是一个方程<
/p>
（亦称作
“
方程有两
个相等的实数根
”
）
，所以此类方
程组有无数组解。
3.
无解
如方程
组
x+y=4
①
2x+2y=10
②，因为方程②化简后为
x+y=5
，这与方程①相矛盾，所
以此类方程组无解。
19
、三元一次方程
三元一次方程定义：
如果方程中含有三个未知数，
且含有的未知数的项的次数都是一次，
这
样的方程叫做三元一次
方程
三元一次方程组定义：含有三个相同的未知数，每个方程
中含未知数的项的次数都是一次，
并且一共有三个方程（有时会有特例，但是所有的三元
一次方程组都有
3
个未知数）
，叫做<
/p>
三元一次方程组。
三元一次方程组的解
法：与二元一次方程类似，利用消元法逐步消元。
20
、一元二次方程
在一个等式中，
只含有一个未知数，
且未知数的最高次
数是二次的整式方程叫做一元二次方
程。
一元二次方程有四个特点：
(1)<
/p>
只含有一个未知数；
(2)
且未知数次数
最高次数是
2
；
(3)
是整
式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若
是，再对它进行
2
ax
bx
c
0
(
a
0
)
的形式，
则这个方程就为一元
二次方程．
（
4
）
整理．
如果能整理为
将方程化为一般形式：
ax
< br>bx
c
0
时，应满足
(
a
0
)
2
一般解法
1
）配方法
（可解全部一元二次方程）
如：解
方程：
x^2+2x
－
3=0
解：把常数项移项得：
x^2+2x=3
等式两
边同时加
1
（构成完全平方式）得：
x
^2+2x+1=4
因式分解得：
（
x+1)^2=4
解得：
x1=-3,x2=1
用配方法解一元二次方程小口诀
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当
2
）公式法（可解全部一元二次方程）
首先要
通过
b^2-4ac
的值来判断一元二次方程有几个根
1.
当
b^2-4ac
＜<
/p>
0
时
x
无实数根（初中）
2.<
/p>
当
b^2-4ac=0
时
x
有两个相同的实数根
即
x1=x2
3.
当<
/p>
b^2-4ac
＞
0
时
x
有两个不相同的实数根
当判断
完成后，若方程有根可根属于
2
、
3<
/p>
两种情况方程有根则可根据公式：
x={-
b±√
（
b^2
－
< br>4ac
）
}/2a
来求得方程的根
< br>3
）
因式分解法
（可解部分一元
二次方程）
（因式分解法又分
“
提公因
式法
”
、
“
公
式法
（又分
“
平
方差公式
”
和
“
完全平方公式
”
两种）
”
和
“
十字相乘法
”
。
如：解方程：
x^2+2x+1=0
解：利
用完全平方公式因式分解得：
（
x+1
﹚
^2=0
解得：
x1=x2=-1
4.
直接开平方法（可解部分一元二
次方程）
5.
代数法（可解全部一元二次方程）
ax^2+bx+c=0
同时除以
a
，可变为
x^2+bx/a+c/a=0
设：
x<
/p>
＝
y-b/2
方
程
就
变
成
：
(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0
X<
/p>
错
__
应
为
(y^2+b^2/4-by)
除
以
(by-b^2/2)+c=0
再变成：
y^2+(b^22*3)/4+c=0 X
___y^2-b^2/4+c=0
y=±√[(b^2*3)/4+c] X
____y=±√[(b^2)/4+c]
如何选择最简单的解法：
（
1
）
、看是否可以直接开方解；
（
2
）
、看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式
法，再考虑平方
公式法，最后考虑十字相乘法）
；
< br>（
3
）
、使用公式法求解；
（
4
）
、
最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，
但是有时候解题太
麻
烦）
。
例题精讲：
1
）
、直接
开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用
直接开平方法解形如
(x-
m)^2=n
(n≥0)
的方程，其解为
x=m±√n
例
1
．解方程（
1
）
(3x+1)^2=7
（
2
）
9x^2-24x+16=11
分析：
（
1
）此方程显然用直接开平方法好做，
（
2
）方程左边是完全平方式
(3x-
4)^2
，右
边
=11>0
，所以此方程也可用直接开平方法解。
（
1
）解：
(3x+1)^2=7
∴
(3x+1)^2=7
∴
3x+
1=±√7(
注意不要丢解
)
∴
x=
...
∴原方程的解为
x1=...,x2= ...
（
2
）解：
9x^2-24x+16=11
∴
(3x-4)^2=11
∴
3x-
4=±√11
∴
x= ...
∴原方程的解为
x1=...,x2= ...
2
．配方法：
例
1
用配方法解方程
3x^2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边
3x^2-4x=2
将二次项系数化为
1
：
x^2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：
x^2-x+(
)^2= +( )^2
配方：
(x-)^2=
直接开平方得：
x-=±
∴
x=
∴原方程的解为
x1=,x2= .
3
．公式法：把一元二次方程化成
ax^2+bx+c
的一般形式，然后把各项系数
a, b, c
的值
代入求根公式就可得到方程的根。
当
b^2
-4ac>0
时，求根公式为
x1=[-
b+√(b^2
-4ac)]/2a,x2=[-b-
√(b
^2
-4ac)]/2a
（两个不相等
的实数根）
当
b^2-4ac=0
时，求根公式为
x1=x2=-b/2a
（两个相等
的实数根）
当
b^2-4ac<0
时，求根公式为
x1=[-
b+√(4ac
-b^2)i]/2a,x2=[-b-
√(4ac
-b^2)i]/2a
（两个虚数
根）
（初中理解为无实数根）
例
3
．用公
式法解方程
2x^2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：
2x^2-8x+5=0
∴
a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)2-4
×
2×
5=64-40=24>0
∴
x=
= =
∴原方程的解为
x1=,x2= .
4
．因式
分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式
的积的形式
，
让两个一次因式分别等于零，
得到两个一元一次方程，
解这两个一元一次方程
所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二
次方程的方法叫做因式分解法。
例
4
．用因
式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2)
2x^2+3x=0
(3) 6x^2+5x-50=0
(
选学）
(4)x^2-4x+4=0
（选学）
(1)
解：
(x+3)(x-6)=-8
化简整理得
x^2-3x-10=0
(
方程左边为二次三项式，右边为零
)
(x-5)(x+2)=0
(
方程左边分解因式
)
∴
x-5
=0
或
x+2=0
(
转化成两个一元一次方程
)
∴
x1=
5,x2=-2
是原方程的解。
(2)
解：
2x^2+3x=0
x(2x+3)=0
(
用提公因式法将方程左边分解因式
)
∴
x=0
或
2x+3=0
(
转化成两个一元一次方程
)
∴
x1=
0
，
x2=-3/2
是原方程的解。<
/p>
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉
x=0
这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)
解：
6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0
(
十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错
)
∴
2x-5=0
或
3x+10=0
∴
x1=5/2, x2=-10/3
是原方程的解。
(4)
解：
x^2-4x+4 =0
（∵
4
可分解为
2 ·
2
，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴
x1=2
,x2=2
是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，
最常用的方法还是因式分解法，
在应用因式分解法时，
一般要先
将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能
法）
，在使用
公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应
先计算判别
式的值，以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具，
掌握公式
法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，
所以
一般不用配方
法解一元二次方程。
但是，
配方法在学习其他数学知识时有广泛
的应用，
是初
中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌
握好。
（三种重要的数学方法：换元法，
配方法，待定系数法）
。
21
、分式方程
分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的方程叫做分式方程（
fracti
onal equation
）
。
例如
100/x=95/x+0.35
分式方程的解法：