数学思想方法概念及摘要
-
数形结合思想：
“
数
无形，少
直观，形无数，难入
微
”
，利用
“
数形结合
”
可使所
要研究的
问题化难为易
，化繁为简。
在中学数学里，我们不可能把
“
数
”
和
“
形
”
完全孤立地
割裂开，也就是说，代数问题可以
几何化，几何问题也可以代数化，
“
数
”
和
“
形
”
在一
定条件下可以相互转化、相互渗透。
我们认为，
数形结合，
主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的
数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过
“以形助数”或“以数解
形”
即通过抽象思维与形象思维的结合
，
可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，
从而起
到优化解题途径的目的。
方程与函数思想：
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题
、转化
问
题和解
决问题
。方程
思想，是
从问题
的数量
关系入
手，运
用数学
语言将
问题中的条件
转化为数学模型
（方程、
不等式
、
或方程与不等式的混合组）
，
然
后通过
解方程
（组）
或不等式
（组）
来使问
题获解
。有时
，还实
现函数
与方程的互相
转化、接轨，达到解决问
题的目
的。
笛卡尔
的
方程思想是：
实际问题
→
数学问题
→
代数问题
→
方程问题。
宇
宙世界，充斥
着等式和不等式。我们知道，哪
里有等式，哪里就有方程；
哪里有公式
，
哪里就有方程；
求<
/p>
值问题是通过解方程来实现的
……
等等；
不
等式问题也与
方程是近亲，密切相关
。列方程、解方程和研究方程的特性
，
都是应用方程
思想时需要重点考虑的。
函数描述
了自然界中数量之间的关系，函
数思想通过提出问题的数学
特征
，建立函数关系型的
数学模型，从而进行研究。它体现了
“
联系和变化
”
的辩证唯物主
义观点。一般地，函数思想是构
造函数从而利用函数的性质
解题，经常利用的
性质是：
f(x)
、
f
(x)
的单调性、奇
偶性、周期性、最大值
和最小值、图
像变换等，
要求我们熟练掌握的
是一次函数、二次函数、幂
函数、指数函<
/p>
数、对数函数、三角函数的具体
特性。在解题中，善于挖掘
题目中的隐含
条件，构造出函数解析式和妙用
函数的性质，是应用函数思
想的关键。对
所给的问题观察、分析
、判断比
较深入、充分、全面时，才
能产生由此及
彼的联系，构造出函数原型。另
外，方程问题、不等式问题
< br>和某些代数问
题也可以转化为与其相关的函数
问题，即用
函数思想解答非
函数问题。
函数
知识
涉
及的知
识点多、
面广，
在概念
性、应
用性、
理解性
都有一
定
的要求
，所以
是高考
中考查的
重点。
我们应
用函数
思想的
几种常
见题型
是
：遇到
变量，
构造函
数关系解
题；有
关的不
等式、
方程、
< br>最小值
和最大
值
之类的
问题，
利用函
数观点加
以分析
；含有
多个变
量的数
学问题
中，选
定
合适的<
/p>
主变量
，从而
揭示其中
< br>的函数
关系；
实际应
用问题
，翻译
成数学
语
言
，建
立数学
模型和
函数关系
式，应
用函数
性质或
不等
式
等知识
解答；
等差、等比数
列中，通项公式、前
n
项和的公式，
都可以看成
n
的函数，
数
列问题也可
以用函数方法解决。
用变
量和函数来思考问题的方法就是函数思想，
函数思想是函数概念、
图象和性质等知
识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观
念的指导方法。
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解
题的基础，
运用方程思想解题可归纳为三
个步骤：
①将所面临的问题转化为方程问题；
②解这个方程或讨论这个方程，
得出相关的结
论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
建模思想：
为了描述一
个
实际现象更具科学性，逻辑性，客观性和可重
复性，人们采用
一种
普遍认为比较
严格的语言来描述各种现象
< br>，这种语言就是数学。使用
数学语言描述的
事物就称为数
学模型。有时候我们需要做
一些实验，但这些实验往往
用抽象出来了的
数学模型
作为
< br>实际物体的代替而进行相应的实
验，
实验本身也是实际<
/p>
操作的一种理论
替代。
所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，
充分运用观察、实验、操作、比较、分析、综合概括等思维过程，达到简化和假
设。
它是把生活中实际问题转化为数学问题
（模型）
的一种思想方法。
培养
学生用数学的眼光去认识和处理周围事物或数学问题，乃数学教学的最高境界，
也是学生高数学素养所追求的目标。
例
22
、车轮为什么要做成圆形的？
例
23
< br>、用一笔钱购买某种服装，若单买上衣可买
10
件，单买
裤子可买
15
条。
如果用这笔钱购买这
种成套服装可买几套？（工程问题）
分类讨论思想：
当一个问题因为某种
量的情况不同而有可
能引起问题的结
果
不同时，
需要对这
个量的各
种情况进<
/p>
行分类讨
论。比
如解不等
式
|a-1|>4
的时候，就要
讨论
a
的取值情况。
在数学中，
我们常常需要根据研究对象性质的差异。
分各种不同情况予以考察，
这是一
种重要数学思想方法和重要的
解题策略
，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下<
/p>
几个方面：
（
1
）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；
（
2
）由数学变形
所需要的限制条件所引起的分类讨论；
（
3
）由于图形的不确定性引起的讨论；
（
4
）由于题
目含有字
母而引起的讨论。
分类讨论的解题步骤一般是：
（
1
）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；
（
2
）合理
分类，统一标准，做到既
无遗漏又无重复
；
（
3
）逐步讨论，分级进行；
（
4
）归纳总结作出
整个题目的结论。
转化与化归思想：
在于将未知的，陌生的，复杂的问题通
过演绎归纳转化
为
已知的
，熟悉
的，简
单的问题
。
三角
函数
，
几何变
换
，因
式分解
，<
/p>
解析
几何
，
微积
分
，乃至古代数学的尺规作等数
学理论无不渗透着转化的思想<
/p>
。
常
见的转化
方
式有
：一般
特殊转化
，等价
转化，复
杂
简
单转化，
数形转
化，
构造转化
，联想转化，
类比
转化等。<
/p>
化归思想就是
将待解决的或者难以解决
的问题
A
经过某种
转化手段，
转化为有固定
解决模式的或者容易解决的问
题<
/p>
B
，通过解
决问题
B
达到解
决问题
A
< br>的方法。化归的
原则有化未知为已知、化繁为简
、化难为
易、降
维降次、标准
化等。
》
。
符号思想：
数学的
思维离不开符号的形式（包括图、表）
，这样可大大地简化
和加
速思维的进程。符号化语言是数学高度抽象的要求。如定律
a.b=b.a
，公式
S=vt
等都是用字母表示数和量的一般规律
，而运算的本身就是符号化的语言。