数学必修一概念
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第一章
集合
(jih
e)
与函数概念
一、集合
(jihe)
有关概念
1
、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对
象叫元素。
2
、集合的中元素的三个特性：
1.
元素的确定性；
2.
元素的互异性；
3.
元素的无序性
说明：
(
1)
对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给
定的集合的元素。
(2)
任何一个给定的集合中，任何
两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算
一个元素。
(3)
集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素
是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)
集合元素的三个特性使集合本
身具有了确定性和整体性。
3
、集合的表示：
{ … }
如
{
我校的篮球队员
}
，
{
太平洋
,
大西洋
,
印度洋
,
北冰洋
}
1.
用拉丁字母表示集合：
A={
我校的篮球队员
},B={1,2,3
,4,5}
2
< br>．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）
记作：
N
正整数集
N*
或
N+
整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
关于
“
属于
”
的概念
A
集合的元素通常用小写的拉丁字母
表示，如：
a
是集合
A
的元素，就说
a
属于集合
A
记作
a
∈
A
，相
反，
a
不属于集合
A
记作
a
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括
上。
描
述法：
将集合中的元素的公共属性描述出来，
写在大括号内表示
集合的方法。
用确定的条件表
示某些对象是否属于这个集合的方
法。
①
语言描述法：例：
{
不是直角三角形的三角形
< br>}
②数学式子描述法：例：不等式
x-3>R| x-3
2
的解集是
{x>2
}
或
{x| x-3>2}
4
、集合的分类：
1
．有限集
含有有限个元素的集合
2
．无限集
含有无限个元素的集合
3
．空集
不含任何元素的集合
例：
{x|x2=
－
5
｝
二、集合间的基本关系
1.“
包含
”
关系
—
子集
1
注意：
有两种可能（
1
）
A
是
B
的一部分，；（
2
）
A
与
B
是同一集合。
反之
:
集合
A
不包含于集合
B,
或集合
B
不包含集合
A,
记作<
/p>
A B
或
B A
2
．
“
相等
”
关系
(5≥5
，且
5≤5
，则
5=5)
实例：设
A={x|x2-1=0}
B={-
1,1}
“
元素相同
”
结论：对于两个集合
A
与
B
，
< br>如果集合
A
的任何一个元素都是集合
B
的元素，
同时
,
集合
B
的任
何一个元素都是集
合
A
的元素，我们就说集合
A
等于集合
B
，即：
A=
B
A
①
任何一个集合是它本身的子集。
A
B
那就说
集合
A
是集合
B
的真子集，记作
A B(
或
B A)
B,
且
A<
/p>
②真子集
:
如
果
A
C
C
,
那么
A
B,
B
③如果
A
A
那么
A=B
B
同时
B
④
如果
A
3.
不含任何元素的集合叫做空集，记为
Φ
规定
:
空集是任何集合的子集，
空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1
．交集
的定义：一般地，由所有属于
A
且属于
B
的元素所组成的集合
,
叫做
A,B
的交集．
记作
A∩B(
读作
”A
交
B”)
< br>，即
A∩B={x|x
∈
A
，且
x
∈
B}
．
2
、
并集的定义：一般地，
由所有属于集合
A
或属于集合
B<
/p>
的元素所组成的集合，
叫做
A,B
的并
集。记作：
A
∪
B(
读作
”A
并
B”)
，即
A
∪
B={x|x
∈
A
，或
x
∈
B}
．
3
、交集与并集的性质：
A∩A =
A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A
，
A
∪
A = A,
A
∪
φ= A
,A
∪
B =
B
∪
A.
4
、全集与补集
（
1
）补集：设
S
是一个集合，
A
是
S
的一个子集（即
），由
S
中所有不
属于
A
的元素组成的
集合，叫做
S
中子集
A
的补集（
或余集）
A}
S
且
x
x
记作：
CSA
即
CSA ={x
（
2
）全集
：如果集合
S
含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集
合就可以看作一个全
集。通常用
U
来表
示。
（
3
）性质：⑴
CU(C UA)=A
⑵
(C UA)∩A=Φ
⑶
(CUA)
∪
A=U
二、函数的有关概念
1
．函数
的概念：设
A
、
B
是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系
f
，使对于集
合
A
中的
任意一个数
< br>x
，在集合
B
中都有唯一确定的
数
f(x)
和它对应，那么就称
f
：
A→B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数．记作：
y=f(x)
，
x
∈
A
．其中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围
A
叫做函数的定义域；
与
x
的值相对应的
y
值叫做函数值，函
数值的集合
{f(x)| x
∈
A
}
叫做函数的值域．
注意：
○2
如果只给出解析式
y=f(x)
，而没有指明它的定义域，则函
数的定义域即是指能使这个
式子有意义的实数的集合；
○3
函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
2
定义域补充
能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域，
求函数的定义域时列不等式组的主要依据
是：
(1)
分式的分母不等于零；
(2)
偶次方根的被开方数不小于零；
(3)
对数式的真数必须大于零；
(4
)
指数、
对数式的底必须大于零且不等于
1. (5)
如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成
的
.
那么，它的定义域是使各部分都有意义的
x
的值组成的集合
.
（
6
）指数为零底不可以等于零
(6)
实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义
< br>.
(
又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。
)
2
．
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：（
1
）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系<
/p>
决定的，
所以，
如果两个函数的定义域和
对应关系完全一致，
即称这两个函数相等
（或为同一函数）
（
2
）两个函数相等当且仅当它们的定义域
和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母
无关。相同函数的判断方法：①表
达式相同；②定义域一致
(
两点必须同时具备
)
(
见课本
21
页相关例
2)
值域补充
(1)
、
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义
域
. (2).
应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函
数及各三角函数的值域，它是求解复杂函
数值域的基础。
3.
函数图象知识归纳
(1)
定义：在平面直角坐标系中，
以函数
y=f(x) , (x
∈<
/p>
A)
中的
x
为横
坐标，函数值
y
为纵坐标的点
P(x<
/p>
，
y)
的集合
C
，叫做函数
y=f(x),(x <
/p>
∈
A)
的图象．
C
上每一
点的坐标
(x
，
y)
< br>均满足函数关系
y=f(x)
，反过来，以满足
y=f(x)
的每一组有序实数对
x
、
y
为坐标的点
(x
，
y)
，均在
C<
/p>
上
.
即记为
C={ P(x,y) | y= f(x) ,
x
∈
A }
图象
C
一般
的是一条光滑的连续曲线
(
或直线
),
也可能是由与任意平行与
Y
轴的直线最
多只有一
个交点的若干条曲线或离散点组成。
(2)
画法
<
/p>
A
、描点法：根据函数解析式和定义域，求出
x,y
的一些对应值并列表，以
(x,y)
为坐标在坐标系
内描出相应的点
P(x,
y)
，最后用平滑的曲线将这些点连接起来
.
B
、图象
变换法（请参考必修
4
三角函数）
常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)
作用：
1
、直观
的看出函数的性质；
2
、利用数形结合的方法分析解题的思路。
提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4
．快去了解区间的概念
（
1
）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（
2
）无穷区间；（
3
）区间的数轴表示．
3
5
．什么叫做映射
一般地，设
A
、
B
是两个非空的集合，如果按某
一个确定的对应法则
f
，使对于集合
A
中的任意
一个元素
x
< br>，在集合
B
中都有唯一确定的元素
y
与之对应，那么就称对应
f
：
A B
为从集合
A
到集
合
B
的一个映射。记作
“f
：
A B”
给定一个集合
A
到
B
的映射，如果
a
∈
A,b
∈
B.
且元素
a
和元素
b
对应，那么，我们把元素
b
叫
做元素
a
的象，元素
a
叫做元素
b
的原象
说明：
函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合
A
、<
/p>
B
及对应法则
f
是确定的；
②对应法则有
“
方向性
”
，即强调从集合
A
到集合
B
的对应，它与从
B
到
A
的对应关系一般是不同
的；③对于映射
f
：
A
→B
来说，则应满足：（Ⅰ）集合
A
中的每一个元素，在集合
B
中都有象，
并且象是唯一的；（Ⅱ）集合
A
中不同的元素，在集
合
B
中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要
求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
6
．
常用的函数表示法及各自的优点：
○1
函数图象既可以是连续的曲线
，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是
否是函数图象的依据；
○2
解析法：必须注明函数的定义域；
○3
图象法：描点法作图要注意：确
定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征
；
○4
列表法：选取的自变量要有代表性，
< br>应能反映定义域的特征．
注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数
（参见课本
P24-25
）
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代
入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，
而就写函数值几种不同的表达
式并
用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（
1
）分段函数是一个函数，不
要把它误认为是几个函数
；
（
2
）
分段
函数的定义域是各段定义域的并集，
值域是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果
y=f(u),(u
∈
M),u=g(x),(x
∈
< br>A),
则
y=f[g(x)]
=F(x)
，
(x
∈
< br>A)
称为
f
、
g
的复合函数。
例如
: y=2sinX
y=2cos(X2+1)
7
．函数单调性
（
1
）．增函数
设函数
y=f(x)
的定义域为
I
，如果对于定义域
I
内的某个区间
D
内的任意两个自变量
x1
，
x2
，当
上的任意两个自变量的值 <
br>. <
br>y=f(x)
x1
时，都有
f(x1)
，那么就说
f(x)
在区间
D
上是增函数。区间
D
称为
y=f(x)
的单调增区间
（睇清楚课本单调区间的概念）
如果对于区间
D
x1
，
x
2
，当
x1
时，都有
f(x1)
＞
f(x2)
，那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数
区间
D
称为
的单调减区间
.
注意：
○1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
○2
必
须是对于区间
D
内的任意两个自变量
x
1
，
x2
；当
x1
时，总有
f(x1)
。
（
2
）
图象的特点
4 -
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