数学分析中有关概念的几何意义1
-
密
级
公
开
本科生毕业（学位）论文
数学分析中有关概念定理的几何意义
(2009051323)
指导教师姓名：
刘文武
职
称：
教授
单
位：
数学系
专
业
名
称：
数学与应用数学
论文提交日期：
论文答辩日期：
学位授予单位：
黔南民族师范学院
答辩委员会主席
:
论
文
评
阅
人
:
摘要
数学是一门注重逻辑思维能力培养
,
连续性
很强的学科。初等数学
的主要研究对象是常量
,
而高等数学的主要研究对象是变量
,
即函数关
系。高等数学相对于初等数学更加抽象。高等数学《数学分析》中相
关概
念定理的理解，
常常表现出抽象难理解的特点，
若能将其刻画出
相关的几何模型，进而具体化，也就说数学概念具有几何意义。则数
学分析中相关概念的理解将更直观，
形象和易理解，
同时进
一步将介
绍几何意义在提出理解高等数学的概念，
定理方面的应
用以及怎样利
用概念定理的几何意义分析解决一些具体问题。
summary
Mathematics
is
a
pay
attention
to
logical
thinking
ability
training,
continuity
strong
discipline.
The
main
research
object
of
elementary
mathematics
is
constant,
and
the
higher
mathematics
the
main
research
object is variable, namely function
relation. The higher mathematics relative
to
the
elementary
mathematics
more
abstract.
The
higher
mathematics
show abstract difficult to
understand characteristics, if can the
characterizes
relevant
geometric
model,
and
mastering,
also
said
math
concepts
with
geometric meaning. The mathematical
analysis of the understanding of the
related concepts will be more
intuitive, the image and understanding, and
further introduces geometric meaning is
put forward in understanding the
concept
of
higher
mathematics,
theorem
of
application
and
how
to
make
use of the concept of
the theorem of geometrical meaning analysis to
solve
some specific problems.
关键词
数学分析
几何意义
数学概念
模型
目录
摘要
…………………………………………
.....................................I
关键词
………………………………………………………………
.I
目录
……………………………………………………………
……
1
引言
……………………………
……………………………………
2
第一章
什么是几何意义
…………………………………………
..3
1.1
什么是几何意义
………………………
…………………
.3
1.2
数学概念的模型性
………………………………………
...4
1.3
几种常见数学概念的几何意义
..........................................5
第二章
数学概念的几何意义的应用<
/p>
……………………………
..8
2.1
理解概念、
定理方面的应用
……………………………
.....8
2.2
借助几何意义解决具体问题
…………………………........
..9
2.3
利用几何意义解题
……………
………………………
.......11
2.4
理解数学概念应注意的建议
………………
....
...................15
参考文献
……
…………………………………………………………
..16
致
谢
……………………………………………………………………
.
.16
引言
《数学分析》中诸多概念都具有几何意义，如函数
y=f
（<
/p>
x
）在
x0
的几
何意义为“曲线
y=f
（
x
）在点（
x0
，
f
（
x0
）
）的切线的
斜率”
；
罗尔定理的几何意义为
“在每
一点都可导的一段连续曲线上，
如果两
端点高度相等，则至少存
在一条水平切线”
；当
f
（
x
）≥
0
，
x
在区间
【
a
，
b
】时
,
定积分的几何意义为“由直线
x=a
，
x=b
，曲线
y=f
（
x
）
及
x
轴所围成的曲边梯形的面积”
；二重积分、三重积分、拉格朗日
定理等等概念和定理都有几何意义或者数学模型。由于《数学分析》
中相关
概念和定理的理解往往比较抽象难懂，
为了更好的理解和应用
概
念定理，
如果能概念定理的代数定义与几何定义结合起来，
也就
是
通常说的数学模型，
那么我们对概念定理的理解应用将更加透
彻，
且
能熟练运用，
也能将相关概念定
理的几何意义应用到实际问题，
如解
决证明题、
计算题
……
，
另一方面若能更
好的掌握相关概念的几何意
义，作为数学专业的学生，
我们的数
学素养会得到更好的提高，逻辑
思维能力将更上一个新台阶，也为以后的进一步深造打下
扎实的基
础。
因此，
理解并熟练应用数学概念的几何意义，
不仅能提高我们的
逻辑思维能力，空间想象能力，而且能为计算机，科学等领域的发展
带来诸多好处。<
/p>
第一章
什么是数学概念几何意义
1.1
什么是数学概念的几何意义
所谓几何
意义，
就是代数式在几何图形中表达的意义。
具体的说，
就是代数和几何两种不同的系统存在着结构上的共同性，
即两种系统<
/p>
是同构的，
当我们用几何语言来叙述这种结构时即道出了相应代数
式
的几何意义。
对于这些代数学中的概念，
我们能从几何中找到与其同
构的概念，
以便能更形象地解释
代数概念所反应的关系；
而论文一些
概念则是代数学中独有的，
在几何中找不到相同的结构，
它们就没有
几何意义。
我们知道，
数学概念是
从具体问题中抽象出来的，
这里的具体问
题包括科学和工程中遇
到的一些实际问题，
也包括数学自身的一些问
题，
比如导数概念是我们从物理中求变速直线运动的瞬时速度和几何
中求平面曲线
在某一点的切线的斜率等问题中抽象出来的一个数学
模型；
二重
积分的概念则是从物理中求一个密度不均匀的平面薄片的
质量和几何中求一个曲顶柱体的
体积等问题中抽象出来的数学模型。
这两个概念的产生都与几何问题有关，
而实际上当我们抽象出概念之
后再用它来解释先前的几何问题时，
就指明了概念的几何意义，
所以
数学概念和它的几
何意义之间往往有一种抽象和具体的相对关系。
概
念产生于几何
问题，但它较几何问题抽象、概括性强，从而有更广的
普遍性，
所揭示的不仅仅是某个几何现象。
何况很多概念的产生与几
何问
题是没有直接关系的，
如三重积分，
当我们求一个密度不均匀的
空间立体的质量或者其他一些物理问题时，
最后归结为求一个相
似的
和式结构的极限，
从而抽象出三重积分的概念。
虽然特殊的三重积分
在几何上表示一个空间立体
的体积
,
但是一般的三重积分是
没有几何意义的
.
1.2
数学概念的模型性
笔者认为，
很多同学在寻求三重积分、
线积分和面积分等概念的
< br>几何意义时，
对数学概念模型性的意识是很淡薄的。
数学
不同于物理、
化学、
生物这些自然学科，
它的研究对象不是现实生活中可以看见或
者触摸的东西，
而是
按照某种特定的目的摈弃了这些事物的物质属性
之后剩下的数量关系和空间形式，
我们可称之为结构或者模型，
作为
数学知识大
厦基石的数学概念当然具有这个性质。
数学概念是我们对
一类事
物的共同属性进行抽象的结果，
模型性是它抽象性的一种外在
表
现形式，
比如自然数概念就是一个众所周知的数学模型，
纵观人
类
历史，
它是我们的祖先在对物体进行计数的活动中产生的，<
/p>
而我们学
习自然数也经历了一个类似的过程，
先是从不同的事物中抽象出它们
在数目上的共同点，
形成数
的概念，
然后在具体事物的辅助下学习自
然数的加减运算，
再后来我们掌握了自然数的一些性质，
脱离了具体
< br>事物也可以进行加减甚至乘除运算，
所能解决的也越来越来多。
< br>现在
当我们对自然数运用自如的时候，
有多少人还会想到
苹果、
梨这样的
原型呢？当我们从原型中抽象出数学概念后，就
要建立相关的理论，
包括在此基础上引入新的抽象度更高的概念、
研究它的性质及其与其
他概念之间的联系等。
这样在我们的思
维里它变得越来越自由，
好像
离原型越来越远，
实际上却是能更好地揭示其本质，
能解决越来越多
的问
题。如导数概念，我们为求平面曲线切线的斜率、变速直线运动
的瞬时速度等这样的问题
而引人它，
而在我们定义了导数、
研究了导
数的性质和运算以后，
不仅能解决这些问题，
而且能解决现
实中大量
的有关变化率的问题。
所以说数学概念是从一类事物中
抽象出来的模
型，
而学生在学习数学概念时往往对此没有明确的
认识，
常常过多地
拘泥于它的原型，进而造成学习的困难。
1.3
几种常见数学概念的几何意义
一
、导数的几何意义
x
如图所示
,PN = dx,NM
=
Δ
y,NT = PN
tan
α
=f
′
(x)dx,
所以
dy
=NT
。
函数
y =f(x)
的微分
dy
的几何意义就是函数
y =f(x)
在点
P
处的切
线的
纵坐标在相应
x
处的增量。如果<
/p>
y =f(x)
在点
x0
处的导数
f
′
(x0)
≠
0,
且
Δ
x
很小时
,
有
Δ
y
≈
dy
=f
′
(x0)
Δ
x
这个式子也可改写为
Δ
y
=f(x0+
Δ
x) -f(x0)
≈
f
′
(x0)
Δ
x
(1)
或
f(x0+
Δ
x)
≈
f(x0) +f<
/p>
′
(x0)
Δ
x
(2)
二、定积分的几何意义
如图所示
x
表示由曲线
y =f(x),
直线
x=a,x=b
及
x
轴所围成
的平面图形的面积的代数和
,
即
利用定积分的几何意义与图形的特点往往能将问题快速便捷的解决。
三
、
、绝对值的几何意义
绝对值的几何意义
: x
表示数轴上点
x
到原点的距离
绝对值离不开对其几何意义的探讨
,
为进一步使学生对其几何意义有
较深
的认识
,
感受
“
数
”
与
“
形
”
之间的联系
,
下例说明
例
1
当
x-2+ x+3
取最小值时
,
求
x
的范围。并求
其最小值。
解
: x-2+ x+3|
表示数轴上
数
x
与
2
、<
/p>
-3
两个点之
间的距离之和
,
如图所示
:
观察易知
:x
的范围是
:
-
3≤x≤2,
其最小值是
5.
四、复数的几何意义
对应平面向量的
模
|z|
，
即复数
z=a+bi
在复平面上对应的点
Z(a,b)
到原
点的距离。即以原点为圆心，半径为
|z|
的圆
除以上
的数学概念，
还有微分、
偏微分等等都能抽象出一定的数学模<
/p>
型，即其几何意义。
第二章
数学概念的几何意义的应用
2.1
理解概念、定理方面的应用
<
/p>
《数学分析》的课堂教学中，往往需要引入新的概念，解决新问题。
怎样引入一个新概念使学生更容易理解、
掌握，
这是教师在备
课时要
考虑的。
《数学分析》中的概念如极限、导数、积分等大
都具有明显
的几何意义。
在提出新概念时，
可以从这些较易被理解接受的几何背
景、
几何意义出发，<
/p>
引导学生对概念的理解。
如讲解定积分的概念时，
可以首先指出来求一个平面图形的面积可以转变为求两个曲边梯形
面积的计算方
法，
平面图形面积的计算就得到了解决，
因此就把注意
力集中到寻找曲边梯形面积的计算方法上来，
通过讲解曲边梯形面积
的计算方法（分割、求和、取极限）得到一个和式极限，进而抽象出
定积分的定义。对于有些定义也可以用它的几何意义引出，如
Lagrange
中值定理的几何意义：
在一条连续光滑的曲线上存在与曲线
端点连线平行的切线，
从图形上来看这是显然的事实，
在讲解时可以
先画出图形，
然后从图形总结出定理的条件和结
论。
这样给学生在恼