学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)
-
第
1
讲
与相交有关概念及平行线的判定
考点
·方法·破译
1
．了解在平面内，两
条直线的两种位置关系：相交与平行
.
2
．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或
几何
符号表示它们
.
3
．掌握直线平行的
条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系
.
经典·考题·赏析
【例
1
】如图，三条直线
AB
、
CD
、
EF
相
交于点
O
，一共构成哪几对
E
A
对顶角？一共构成哪几对邻补角？
【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角
.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的
C
反向延长线
.
F
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线
. <
/p>
1
1
1
∠
FOC
＝
2
∠
AOC
∴∠
EO
F
＝∠
EOC
＋∠
FOC
＝
2
∠
BOC
＋
2
∠
AOC
＝
1
1
BOC
AOC
2
又∵∠
BOC
＋∠
AOC
＝
180
°
∴∠
EOF
＝
2
×
180
°＝
90
°
有
6
对对顶角
.
12
对邻补角
.
【变式题组】
C
< br>01
．如右图所示，直线
AB
、
CD
、
EF
相
交于
P
、
Q
、
R
，则：
⑴
∠
ARC
的对顶角是
.
邻补角是
.
⑵中有几对对顶角，几对邻补角？
02
．当两条直线相交于一点时，共有
2
对对顶角；
Q
A
当三条直线相交于一点时，共有
6
对对顶角；
当四条直线相交于一点时
，共有
12
对对顶角
.
F
问：当有
100
< br>条直线相交于一点时共有
对顶角
.
【例２】如图所示，点
O
是直线
AB
上一
点，
OE
、
OF
分别平分∠
BOC
、
∠
AOC
．
⑴求∠
EOF
的度数；
F
< br>⑵写出∠
BOE
的余角及补角
.
【解法指导】
解这类求角大小的问题，
要根据所涉及的角的定义，
以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
1
A
2
【解】
⑴∵
OE
、
OF
平分∠
BOC
、
∠
AOC
∴∠
EOC
＝
∠
BOC
，
P
O
⑵∠
BOE
的余角是：∠
CO
F
、∠
AOF
；∠
BOE
的补角是：∠
AOE.
【变式题组】
01
< br>．如图，已知直线
AB
、
CD<
/p>
相交于点
O
，
O
A
平分∠
EOC
，且∠
EOC
＝
100
°，
则∠
BOD
的度数是（
）
D <
/p>
A
．
20
°
B
．
40
°
C
．
50
°
D
．
80
°
E
4
1
D
B
3
2
A
O
A
C
（第
1
题图）
（第
2
题图）
E
02
．
（
杭州）已知∠
1
＝∠
2
＝∠
3
＝
62
°，则∠
4
＝
.
【例
３】如图，直线
l1
、
l2
相交于点
O
，
A
、
B
分别是
l1
、
l2
上的
A
点，试用三角尺完成下列作图：
R
B
⑴经过点
A
画直线
l2
的垂线
.
⑵画出表示点
B
到直线
l1
的垂线段
.
D
O
【解法指导】垂线是一条直线，垂线
B
段是一条线段
.
【变式题组】
01
< br>．
P
为直线
l
< br>外一点，
A
、
B
、
C
是直线
l
上三点，且
PA
＝
4cm
，
PB
＝
5cm<
/p>
，
PC
＝
6cm
，则点
P
C
E
到直线
l
的距离为（
）
A
．
4cm
B
．
5cm
C
．
不大于
4cm
D
．
不小于
6cm
02
如图，一辆汽车在直线形的公路
AB
上由
A
向
B
行驶，
M
、
B
N
为位于公路两侧的村庄；
⑴设汽车行驶到路
AB
上点
P
的位置时距离村庄
M
最近
.
行<
/p>
驶到
AB
上点
Q
的位置时，距离村庄
N
最近，请在图中
的公路上分别画出点
P
、
l
2
l
1
Q
的位置
.
⑵当汽车从
A
出发向
B
行驶的过程中，在
的路上距离
M
村越来越
近
..
在
的路上距离村庄
< br>N
越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远
.
【例４】如图，直线
AB
、
C
D
相交于点
O
，
OE
⊥
CD
，
OF
⊥
AB
，∠
DOF
＝
65
°，
求∠
BOE
和∠
AOC
的度数
.
E
【解
法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也
可以作为该图形具备的性质，由图可
得：∠
AOF
＝
90
< br>°，
A
OF
⊥
AB
．
O
03
．如图，已知
AB
⊥
BC
于
B
，
DB
⊥
EB
于
B
，并且∠
CBE
︰
∠
ABD
＝
1
︰
2
，请
作出∠
CBE
的对顶角，并求其度数
.
A
B
D
A
E
【例５】如图，指出下列各组角
是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说
出它们的名称：
F
C
∠
1
和∠
2
：
1
4
∠
1
和∠
3
：<
/p>
D
2
3
6
A
B
5
∠
1
和∠
6
：
D
B
E
∠
2
和∠
6
：<
/p>
F
C
∠<
/p>
2
和∠
4
：
【变式题组】
∠
3
和∠
5
：
01
．
如图
，
若
EO
⊥
A
B
于
O
，
直线
CD
过点
O
，
∠
EOD
︰∠
EOB
＝
1
︰
3
，
求∠
AOC
、
∠
3
和∠
4
：
∠<
/p>
AOE
的度数
.
E
A
【
解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先
弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线
C
即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后
确定它
D
O
02
< br>．
如图，
O
为直线
AB
上一点，
∠
BOC
＝
3
∠
AOC
，
OC
平分∠
AO
D
．
们的名称
.
⑴求∠
AOC
的度数；
B
D
⑵
试说明
OD
与
AB
的位置关系
.
C
【变式题组】
E
Ｇ
01<
/p>
．如图，平行直线
AB
、
CD
与相交直线
EF
，
GH
相交，图中的同旁内角共有（
）
A
B
A
A
．
4
对
B
．
8
对
C
．
12
O
B
对
C
H
F
D
D
．
16
对
02
．如图，找出图中标出的各角的
同位角、内错角和同旁内角
.
01
．如图，推理填空
.
⑴∵∠
A
＝∠
（已知）
∴
AC
∥
ED
（
）
⑵∵∠
C
＝∠
（已知）
∴
AC
∥
ED
（
）
1
⑶∵∠
A
＝∠
（已知）
C
5
3
4
7
8
2
∴
AB
∥
DF
（
）
4
6
3
2
1
6
5
3
02
．
如图，
AD
平分∠
BAC
，
EF
平分∠
DEC
，
且∠
1
＝∠
2
，
试说明
DE
与
AB
2
1
的位置关系
.
4
解：∵
AD
是∠
BAC
的平分线（已知）
丙
甲
乙
A
A
∴∠
BAC
＝
2
∠
1
（角
平分线定义）
1
1
<
/p>
又∵
EF
平分∠
DEC
（已知）
03
．如图，按各组角的位置判断错误的是（
）
E
3
∴
（
）
2 <
/p>
A
．∠
1
和∠<
/p>
2
是同旁内角
5
2
又∵∠
1
＝∠
2
（已知）
4
B
．∠
3
和∠
4
是内错角
< br>
∴
（
）
C
．∠<
/p>
5
和∠
6
是同旁
内角
6
7
C
∴
B
C
AB
∥
DE
B
D
．∠
5
和∠
7
是同旁内角
D
F
（
）
【例６】如图，根据下列条件，可
推得哪两条直线平行？并说明理由
•
⑴∠
CBD
＝∠
ADB
；
A
D
⑵∠
B
CD
＋∠
ADC
＝
180
°
⑶∠
ACD
＝∠
BAC
03
．如图，已知
AE
平分∠
CAB
，
CE
< br>平分∠
ACD
．∠
CAE
＋∠
ACE
【解法指导】图中有即即
有同旁内
O
＝
90
°，求证：
AB
∥
CD
．
A
B
B
C
E
角，有“
”即有内错角
.
04
．如图，已知∠
ABC
＝∠
A
CB
，
BE
平分∠
ABC
，
C
D
CD
平分∠
ACB
，∠
EBF
＝∠
EFB
，求证：
CD
∥
EF.
【解法指导】⑴由∠
CBD
＝∠
ADB
，可推得
AD
∥
BC
；根据内错角相等，两直线
平行
.
A
⑵由∠
BCD
＋∠
ADC
＝
180
°，可推得
AD
∥
BC
；根据同旁内角互补，两直线平
行
.
A
E
D
⑶由∠
ACD
＝∠
BAC
可推得
AB
∥
DC
；
根据内错
角相等，两直线平行
.
【变式题组】
F
E
B
B
C
F
D
01
．
如图，∠
EAC
＝∠
ADB
＝
90
°
.
下列说法正确的是（
）
A
．
α
的余角只有∠
B
B
．
α
的邻补角是∠
DAC
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至
C
．∠
ACF
是
α
的余角
D
．
α
与∠
ACF<
/p>
互补
E
少有一个角小
E
l
4
l
4
l
3
l
3
l
5
A
A
于
31
°
.
A
α
l
5
l
2
l
6
l
2
M
l
6
B
l
1
C
D
N
l
1
B
D
C
F
B
C
D
第
4
题图
F
第
1
题图
第
2
题图
02
．
如图
，
已知直线
AB
、
CD
被直线
EF
所截，
则∠
EMB
的同位角为
（
）
A
．∠
AMF
B
．∠
BMF
C
．∠
ENC
D
．∠
END
03
．下列语句中正确的是（
）
图⑵
图⑴
A
．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B
．过直线上一点的直线只有一条
C
．过直线上一点且垂直于这条直线
的直线有且只有一条
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的
直线移动后，使它们相交于同一点，此
D
．垂线段就是点到直线
的距离
时的图形为图⑵
.
04
．
如图，
∠
BAC
＝
90
°，<
/p>
AD
⊥
BC
于<
/p>
D
，
则下列结论中，
正确的个数有
（
）
证明：假设图⑵中的
12
个角中的每一个角都不小于
31
°
①
AB
⊥
AC
②
AD
与
AC
互相垂直
③点
C
到
AB
的垂线段是线段
AB
④线段
AB
则
12
×
31
°＝<
/p>
372
°＞
360
°
的长度是点
B
< br>到
AC
的距离
⑤垂线段
BA
是点
B
到
AC
的距离
⑥
AD
＞
BD
这与一周角等于
360
°矛盾
A
．
0
B
．
2
C
．
4
D
．
6
所以
这
12
个角中至少有一个角小于
31<
/p>
°
【变式题组】
05
< br>．点
A
、
B
、
C
是直线
l
上的三点，点
P
是直线
l
外一点，且
PA
＝
4c
m
，
PB
＝
0
1
．
平面内有
18
条两两不平行的直线，
试证：
在所有的交角中至少有一个角
小于
5cm
，
PC
＝
6cm
，则点
P
到直线
l
的距离是（
）
11
°
.
A
．
4cm
B
．
5cm
C
．小于
4cm
D
．不大于
4cm
06
．
将一
副直角三角板按图所示的方法旋转
（直角顶点重合）
，
则∠
AOB
＋∠
DOC
＝
.
02
．在同一平面内有
2010
条直线
a1,a2,
…，
a2010,
如果
a1
⊥
a2,a2<
/p>
∥
a3
，
a3<
/p>
⊥
a4
，
a4<
/p>
∥
a5
……那么
a1
与
a2010
的位置关系是
.
03
．已知
n
（
n
＞
2
）个点
P
1
，
P2
，
P
3
…
Pn.
在同一平面内没有任何三点
在同一直线
上，
设
Sn
表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，
显然：
S2
＝
1
，
< br>S3
＝
3
，
S4
＝
6
，∴
S5
＝
10
…则
< br>Sn
＝
.
演练巩固·反馈提高
c
C
D
B
G
B
A
O
第
6
题图
1
H
第
7
题图
第
9
题图
F
C
b
A
E
D
a
2
1
3
4
6
5
7
8
07
．如图，矩形
ABCD
沿
EF
对折，且∠
DEF
＝
72
°，则∠
AEG
＝
. <
/p>
08
．
在同一平面内，
< br>若直线
a1
∥
a2,a2
⊥
a3,a3
∥
a4
,
…则
a1
a10
.
（
a1
与
a
10
不重合）
09
< br>．如图所示，直线
a
、
b
被直线
c
所截，现给出下列四个条件：①∠<
/p>
1
＝∠
5
，②<
/p>
∠
1
＝∠
7
，③∠
2
＋∠
3<
/p>
＝
180
°，④∠
4
＝∠
7
，其中能判断
a
∥
b
的条件的序号
是
. <
/p>
10
．在同一平面内两条直线的位置关系有
.
11
．如图，已知
BE
平分∠
ABD
，
DE
平分∠
CDB
，且
∠
E
＝∠
ABE
＋∠
EDC
．试
说明
AB
∥
CD
？
A
E
12
．如图，已知
BE
平分∠
ABC
，
CF
平分∠
BCD
，∠
1
＝∠
2
，那
么直线
AB
与
CD
的位置关系如何？
C
A
1
E
13
．如图，推理填空：
⑴∵∠
A
＝
（已知）
2
∴
AC
∥
ED
（
）
C
⑵∵∠
2
＝
（已知）
∴
AC
∥
ED
（
）
⑶∵∠
A
＋
＝
180
°（已知）
∴
AB
∥
FD
．
14
．如图，请你填上一个适当的条件
使
AD<
/p>
∥
BC
．
F
A
D
B
第
14
题图
B
D
B
培优升级·奥赛检测
F
01
．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（
）
A
．
1
，
3
B
．
0
，
1
，
3
C
．
0
，
2
，
3
D
．
0
，
1
，
2
，
3
02
．
平面上有
10
条直线，
其中
4
条是互相平行的，
那
D
D
么这
10
条直线最多能把平面分成（
）部分
.
A
A
．
60
B
．
55
C
．
50
D
．
45
03
．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的
C
B
E
C
E
F
6
个点之外，这些直线最多还有（
）个交点
.
⑵总共
有
29
个交点
.
A
．
35
B
．
40
C
．
45
D
．
55
第
13
讲
平行线的性质及其应用
04
．
如
图
，
图
上
有
< br>6
个
点
，
作
两
两
连
线
时
，
圆
内
最
多
有
考点·方法·破译
_______________
___
交点
.
1
．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；
05
．如图是某施工队一张破损的图纸，已知
a
、
b
是一个角的两边，
现在要在图纸
2
．初步了解命题，命题的构成，真
假命题、定理；
上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你
帮助这个施工队画出这条平行线，
3
．灵活运用平行线的判定和
性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，
并证明你的正确性
< br>.
感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用
.
经典·考题·赏析
【例１】如图，四边形
ABCD
中，
AB
∥
CD<
/p>
，
BC
∥
AD
，∠
A
＝
38
°，
D
a
b
求∠
C
的度数
.
【解法指导】
两条直线平行，同位角相等；
A
两条直线平行，内错角相等；
06<
/p>
．
平面上三条直线相互间的交点的个数是
（
）
两条直线平行，同旁内角互补
.
A
．
3
B
．
1
或
3
C
．
1
或
2
或
3
D
．不一定是
1
，
2
，
3
平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截
07
．请你在平面上画出
6
条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好
线，识别角的关系式关键
.
与另三条直线相交，并简单说明画法？
【解】
：∵
AB
∥
CD
BC
∥
AD
∴∠
A
＋∠
B
＝
180°
∠
B
＋∠
C
＝
180°
(
两条直线平行，同旁内角互补
)
08
．平面上有
10
条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现
31
个交点，怎么
∴∠
A
＝∠
C
∵∠
A
＝<
/p>
38
°
∴∠
C<
/p>
＝
38°
安排才能办到？
【变式题组】
01
．如图，已知
AD
∥
BC
，点
E
在
BD
的延长线上，若∠
ADE
< br>＝
155°
，则∠
DBC
的度数为（
）
A
．
155
°
B
．
50<
/p>
°
C
．
45
°
D
．
25
°
E
3
A
09
．如图，在一个正方体的
2
个面上画了两条对角线
AB
、
C
l
1
2
D
AC
，那么两条对角线的夹角等于（
）
A
．
60
°
B
．
75
°
C
．
90
°
D
．
135
°
A
l
2
B
1
C
（第
1
题图）
10
．在同一平面内有
9
条直线如何安排才能满足下面的两
（第
2
题图）
个条件？
⑴任意两条直线都有交点；
B
F
C
2
α
1
A
B
D
（第
3
题图）
E
02
．
（安徽）如图，直线
l1
∥
l2,
∠
1
＝
55°
，
∠
2
＝
65°
，则∠
3
为（
）
A
．
50
°
B
．
55
°
C
．
60
°
D
．
65
°
03
．如图，已知
FC
∥
AB
∥
DE
，∠
α
：∠
D
：∠
B
＝
2:
3:
4,
试求∠
α
、∠
D
、∠
B
的度数
.
【例２】
如图，
已知
A
B
∥
CD
∥
E
F
，
GC
⊥
C
F
，
∠
B
＝<
/p>
60°
，
∠
EF
C
＝
45°
，
求∠
BCG
的度数
.
【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线
A
相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置
. <
/p>
【解】
∵
AB
∥
CD
∥
EF
∴∠
B
＝∠
BCD
∠
F
＝∠
FCD(
两条直
线平行，
内错角相等
)
又∵∠
B
＝
60°
∠
EFC
＝
45°
∴∠
BCD
＝
C
60°
∠
FCD
＝
45°
又∵
GC
⊥
CF
∴
∠
GCF
＝
90°
（垂直定
理）
∴∠
GCD
＝
90°
－
45°
＝
45°
∴∠
BCG
＝
60°
－<
/p>
45°
＝
15°
E
【变式题组】
< br>01
．如图，已知
AF
∥
BC,
且
AF
平分
∠
EAB
，∠
B
＝
48°
，则∠
C
< br>的的度数＝
_______________
E
A
D
O
E
A
B
M
F
N
D
P
A
B
C
B
C
（第
1
题图）
（第
3
题图）
（第
2
题图）
02.
如图
,
已知∠
ABC
＋∠
< br>ACB
＝
120
°，
BO
、
CO
分别∠
ABC
、∠
ACB
，
DE
过点
O
与
BC
平行，则∠
BOC
＝
___________
03
．如图，已知
AB
∥
MP
∥
CD, MN
< br>平分∠
AMD
，∠
A
＝
40
°，∠
D
＝
50
°，求
∠
NMP
的度数
.
【例３】如图，已知∠
1
＝∠
2
，∠
C
＝∠
D
．
求证：∠
A
＝∠
F.
【解法指导】
因果转化，综合运用
.
逆向思维：要
证明∠
A
＝∠
F
，即要证明
DF
∥
AC
．
要证明
DF
∥
AC,
即要证明∠
D
＋∠
DBC
＝
180
°，
即：∠
C
＋∠
DBC
＝
180
°；要证明∠
C
＋∠
DBC
＝
1
80
°即要证明
DB
∥
EC
．
要证明
DB
∥
EC
即要
证明∠
1
＝∠
3.
证明：∵∠
1
＝
∠
2
，∠
2
＝
∠
3
（对顶角相等）所以∠
1
＝∠
3
∴
DB
∥
B
EC
（同位角相等
•
< br>两直线平行）
∴∠
DBC
＋∠<
/p>
C
＝
180
°（
两直线平行，
同旁内角互补）∵∠
C
＝
∠
D
∴
∠
DBC
＋∠
D
＝
180
°
∴
DF
∥
AC
G
（同旁内角，互补两直线平行）∴∠
A
< br>＝∠
F
（两直线平行，内错角相
等）
E
F
D
D
2
【变式题组】
F
3
C
01
．如图，已知
AC
∥
FG
，∠
1
＝∠
2
，求证：
DE
∥
FG
1
D
1
A
A
3
C
2
B
E
G
（第
1
题图）
C
A
02
．如图，已知∠
1
＋∠
2
＝
180
°，∠
3
＝∠
B
．
求证：∠
AED
＝∠
ACB
E
D
3
1
F
2
B
（第
2
题图）
C
03
．如图，两平面镜
α
、
β
的夹角
θ
，入射光线
AO
平行
于
β
入射到
α
上，经两次反射后的出射光线
O′B
平行
α
于
α
，则角
θ
等于
_________.
O
θ
O
/
【例４
】如图，已知
EG
⊥
BC
，
AD
⊥
BC
，∠
1
＝∠
3.
求证：
AD
平分∠
BAC
．
E
【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析
条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论
A
的条件，要准确把握住这些条件的意图
.
（题目中的：
1
3
∠
1
＝∠
3
）
证明：
∵
EG
⊥
BC
，
AD
⊥
BC
∴∠
EG
C
＝∠
ADC
＝
90
°
（垂直定义）∴
EG
∥
AD
（同位角相等
，两条直线平行）
B
G
D
∵∠
1
＝∠
3
∴∠
3
＝∠
BAD
（两条直线平行，内错角相等）
∴
AD
平分
∠
BAC
（角平分线定义）
【变式题组】
D
< br>01
．如图，若
AE
⊥
BC
于
E
，∠
1
＝∠
2
，求证：
DC
⊥
BC
．
A
1
2
C
B
E
02
．
如图，
在△
ABC
中，
CE
⊥
AB
< br>于
E,DF
⊥
AB
于
F, AC
∥
ED
，
CE
平分∠
ACB
．
求
证：∠
EDF
＝∠
BDF.
B
A
E
F
D
C
B
3
．已
知如图，
AB
∥
CD
< br>，∠
B
＝
40
< br>°，
CN
是∠
BCE
的平分线
. CM
⊥
CN
，求：∠
BCM
的度数
.
A
B
β
N
M
E
D
C
C
【例５】已知，如图，
AB
∥
EF
，求证：∠
AB
C
＋∠
BCF
＋∠
CFE
＝
360°
【解法指导】从考虑
360°
这个特殊角入手展开联
想，分析类比，
联想周角
.
构造两个“平角”或构造两组“互补”的角
.
B
过点
C<
/p>
作
CD
∥
AB<
/p>
即把已知条件
AB
∥
EF
联系起来，
这是关
A
键
.
1
D
【证明】
：过点
C
作
CD
∥
AB
∵
CD
∥
AB
∴∠
1
＋∠
ABC
C
2
＝
180°
(
两直线平行，
同旁内角互补
)
又∵
AB
∥
EF
，
∴
CD
∥
EF
（平
F
E
行
于同一条直线的两直线平行）
∴∠<
/p>
2
＋∠
CFE
＝
180°
(
两直线平行，
同旁内角互补
)
∴∠
ABC
＋∠
1
＋∠
2
＋∠
C
FE
＝
180°
＋
180°
＝
360°
即∠<
/p>
ABC
＋∠
BCF
＋∠
CFE
＝
360°
【变式题组】
01
．如图，已知，
AB
∥
CD
，分别探究下面四个图形中∠
APC
< br>和∠
PAB
、∠
PCD
的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性
.
结
论
：
⑴
____________________________
⑵
_______________
_____________
⑶
_____________
_______________
⑷
____________________________
A
P
C
D
B
P
A
B
A
P
⑴
C
⑵
D
C
⑶
D
B
P
C
⑷
D
A
B
【例６】如图，已知，
AB
∥
CD
，则∠
α
、∠
β
、∠
γ
、∠
ψ
之间的关系
是
∠
α
＋∠
γ
＋∠
ψ
－∠
β
＝
180°
B
A
α
【解法指导】基本图形
B
A
α
H
1
β
2
E
P
∠
P
＝
α
＋
β
善于从复杂的图
形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路
.
3
F
γ
4
β
∥
AB
．
∵
AB
∥
EH
∴∠
α
＝∠
1
（两
【解】过点
E
作
EH
∥
AB
．
过点
F
作
FG
C
∥
AB
∴
D
∥
FG
（平行于同一条直线的两直线
ψ
直线平行，内错角相等）又∵
FG
EH
C
D
平行）
∴
∠
2
＝∠
3
又∵
AB
∥
C
D
∴
FG
∥
CD
（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠
ψ
＋∠
4
＝
180°
（两直线平行，同旁内角互补）∴∠
α
＋∠
γ
＋∠
ψ
－∠
β
＝∠
1
＋∠
3
＋∠
4
－
ψ
－∠
1
－∠
2
＝∠
4
＋
ψ
＝
< br>180°
【变式题组】
01
．如图，
AB
∥
EF
，∠
C
＝
90
°，则∠
α
、∠
β
、∠
γ
的关系是（
）
A
．
∠
β
＝∠
α
＋∠
γ
B
．∠
β
＋∠
α
＋∠
γ
＝
180
°
C
．
∠
α
＋∠
β
－∠
γ
＝
90
°
D
．∠
β
＋∠
γ
－∠
α
＝
90
°
02
．
如图，
已知，
AB
∥
CD
，
∠
ABE
和∠
CDE
的平
分线相交于点
F
，
∠
< br>E
＝
140
°，
求∠
BFD
的度数
A
.
α
B
A
B
C
E
γ
D
F
β
E
F
C
D
【例７】
如图，
平移三角形
ABC
，
设点
A
移动到点
A/
，
画出平移后的三角形
A/B/C/. <
/p>
【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”
——
定，找，移，连
.
A
′
⑴定：确定平移的方向和距离
.
⑵找：找出图形的关键点
.
l
⑶移：
过关键点作平行且相等的线段，
得到
关键点的对应点
.
A
B
′
⑷连
:
按原图形顺次连接对应点
.
【解】
①连接
AA/
②过点
B
作
AA/
的平行线
l
③在
l
截取
BB/
＝
AA/,
则点
B/
就是的
B
对应点，用同样的方法作出点
C
的对应点
C/.
连接
A/B/
，
B/C/
，
C/A/
就得到平移后的三角
B
C
形
A/B/C/.
【变式题组】
01
< br>．如图，把四边形
ABCD
按箭头所指的方向平移
21cm
，作出平移后的图形
.
A
D
B
C
02
．
如图
,
已知
三
角形
ABC
中，∠
C
< br>＝
90°
,
BC
＝
4
，
AC
＝
4
，现将△
ABC
沿
CB
方向平移到△
A
/B/C/
的位置，若平移距离为
3,
求△
ABC
A
A
/
C
′
与△<
/p>
A/B/C/
的重叠部分的面积
.
C
C
/
B
B
/
03
．原来是重叠的两个直角三角形
，将其中一个三角形沿着
BC
方向平移
BE
的
距离，就得到此图形，求阴影部分的面积
.
（单位：厘米）
从图中可知，小敏画平行线的依据有（
）
①两直线平行，同位角相等；②两
直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直
线平行；④内错角相等，两直线平行
.
A
．①②
B
．②③
C
．③④
D
．①④
8
06
．在
A
、
B
两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从
A
地测得
B
地的走向是南
3
偏东
52
°
.
现
A
、
B
两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则
B
地所修公
B
F
5
E
C
路的走向应该是（
）
A
演练巩固
反馈提高
A
．北偏东
52
°
B
．南偏东
52
°
C
．西偏北
52
°
D
．北偏西
38
°
北
01
．如图，由
A
测
B
得方向是（
）
A
．南偏东
30
°
B
．南偏东
60
°
30°
C
．北偏西
30
°
D
．北偏西
60
°
B
西
东
07
．下列几种运动中属于平移的有（
）
南
02
．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条
直线的两直线
①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略
车轮
平行；④平行于同一条直线的两直线垂直
.
其中的真命题的有（
）
的转动
）
；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动
.
A
．
1
个
B
．
2
个
< br>C
．
3
个
D
．
4
个
A
．
1
种
B
．
2
种
C
．
< br>3
种
D
．
4
种
03
．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方
向与原来的方向相
08
．如图，网格中的房子图案正好处于网格
右下角的位置
.
平移这个图案，使它正
同，两次拐弯的角度可能是（
）
好位于左上角的位置（不能出格）
A
．第一次向左拐
30°
，第二次向右拐
30
°
B<
/p>
．
第一次向右拐
50°
< br>，
第二次向左
拐
130°
C
．第一次向左拐
50°
，第二次向右拐
130°
D
．
第一次向左拐
60°
，
第二次向左
拐
120°
04
．下列命题中，正确的是（
）
A
．对顶角相等
B
．
同位角相等
C
．内错角相等
D
．同旁内
角互补
05
．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是
通过折一张半透明的纸得到的
[
如图⑴
—
⑷
]
09
．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（
）
A
D
P
.
P
.
P
.
P
.
⑴
⑵
⑶
⑷
10
．如图，
AD
∥
BC
，
AB
∥
CD
，
AE
⊥
BC
，现将△
ABE
进行平移
.
平移方向为射
线
AD
的方向
.
平移距离为线段<
/p>
BC
的长，则平移得到的三角形是图中（
）图
的阴影部分
.
D
A
D
A
D
A
B
E
A
C
B
E
B
C
B
E
C
C
B
E
11
．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例
.
⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；
⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行
.
12
．把下列命题改写成“如果……
那么……”的形式，并指出命题的真假
.
⑴互补的角是邻补角；
⑵两个锐角的和是锐角；
⑶直角都相等
.
13
．如
图，在湖边修一条公路
.
如果第一个拐弯处∠
< br>A
＝
120°
，第二个拐弯处∠
B
＝
150°
，
第三个拐弯处∠
C
，
这时道路
CE
恰好和道路
AD
平行，
问∠
C
是多少度？
并说明理由
.
湖
E
D
150
°
120
°
C
B
D
C
E
D
14
．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中
E
点时，与两岸码头
B
、
D
成
6
4
°角
.
当小船行驶到河中
F
点时，
看
B
点和
D
点的视线
FB<
/p>
、
FD
恰好有∠
1
＝∠
2
，∠
3
＝∠
4
的关系
.
你能说出此时点
F
与码头
B
、
D
所形成的角∠
BFD
的
度数吗？
A
B
1
2
F
E
3
4
C
D
15<
/p>
．如图，
AB
∥
CD
，∠
1
＝∠
2
，试说明∠
E
和∠
F
的关系
.
B
A
1
3
E
F
4
2
P
C
A
培优升级·奥赛检测
01
．如图，等边△
ABC
各边都被分成五等分，这样在
F
D
△
ABC
内能与△
DEF
完成重合的小三角形共有
25
个，
那么在△
ABC
内由△
DEF
平移得到的三角形共有
E
D
B
C
（
）个
02
．
如图
，
一足球运动员在球场上点
A
处看到足
球从
B
点沿着
BO
方向匀速滚来，
运动员立即从
A
处
以匀速直线奔跑前去拦截足球
.
若足球滚动的速度与该运动员<
/p>
奔跑的速度相同，
请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位
置
.
（运动员奔
跑于足球滚动视为点的
平移）
03
．如图，长方体的长
AB
＝
4cm
，宽
BC
＝
3cm
，
D
A
高
AA
1
＝
2cm.
将
AC
平移到
A1C1
的位置上时，
平
移
的
距
离
是
___________,
平
移
的
方
向
是
B
__________
_.
A
D
B
04
．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向
O
1
.
.
.
的边长均为
a
，竖直方向的边长为
b
）
；将线段<
/p>
A1A2
向右平移
1
个单位得到
B1B2
，
得到封闭图
A
1
B
1
形
A1A2B2B1 [
即阴影部分如图⑴
];
将折现
A1A2
A3
向右平移
1
个单位得到<
/p>
B1B2B3
，
得到封闭图形
A1A2 A3B3B2B1 [
即阴影部分
如图⑵
];
⑴在图⑶中，
请你类似地画出一条有
两个折点的直线，
同样的向右平移
1
个
单位，
从而得到
1
个封闭图形，并画出
阴影
.
⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积
S1
＝
________,
S2
＝
________,
S3
＝
________.
⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何
< br>地
方
的
水
平
宽
度
都
是
1
个
单
位
）
，
请
你
猜
想
空
白
部
分
草
地
< br>面
积
是
05
．一位模型赛车手遥控一辆赛车
，先前进一半，然后原地逆时针旋转
α°
（
0°
＜
α°
＜
180°
）
，被称为一次操作，若
5
次后发现赛车回到出发点，则
α°
角
为（
）
A
．
720
°
B
．
108
°或<
/p>
144
°
C<
/p>
．
144
°
D
．
720
°或
144
°
06
．两条直线
a
、
b
互相平行，直线
a
上顺次有
10
个点
A1<
/p>
、
A2
、…、
A
10
，直线
b
上顺次有
10
个点
B1
、
B2
、…、
B9
，将
a
上每一点与
b
上每
一点相连可得线段
.
若没有三条线段相交于同一点，则这些选段
的交点个数是（
）
A
．
90
B
．
1620
C
．
6480
D
．
2006
C
07
．如
图，已知
AB
∥
CD
< br>，∠
B
＝
100°
，
EF
平分∠
BEC
，
EG
⊥
EF. <
/p>
求∠
BEG
和∠
DEG
.
C
1
A
B
100
°
G
F
D
E
C
A
1
B
1
A
1
B
1
A
2
B
2
草地
草地
A
1
B
1
A
2
B
2
A
3
B
3
A
4
B
4
⑸
A
2
B
2
多少？
⑴
A
3
B
3
⑵
⑶
⑷
08
．如
图，
AB
∥
CD
，∠
BAE
＝
30°
，∠
DCE
＝
60°
，
EF
、
EG
三等分∠
AEC
．
<
/p>
问：
EF
与
EG
中有没有与
AB
平行的直线？为什么？
A
B
F
E
G
C
D
09
．如图，已知直线
CB
∥
OA
，∠
C
＝∠
OAB
＝
100°
，
E
、
F
在
CB
上，且满足
∠
FOB
＝∠
AOB
< br>，
OE
平分∠
COF.
⑴求∠
EOB
的度数；
⑵若平行移动
AB
，那么∠
OBC
：∠
OFC
的
值是否随之发生变化？若变化，找出
变化规律；若不变，求出这个比值
< br>.
x
2
＝
a(a
≥
0)
则
< br>x
叫做
a
的平方根，记为：
a
的平方根为
x
＝
±
a
，其中
a
的
若
⑶在平行移动
AB
的过程中，是否存在某种情况，使∠
OEC
＝∠
OBA
？若存在，
求出其度数；若不存在，说
明理由
.
E
B
平方根为
x
＝
a<
/p>
叫做
a
的算术平方根．
< br>
C
F
3
若
x3
＝
a
，则
x
叫做
a
的立方根．记为：
a
的立方根为
x
＝
a
< br>．
2
．
无限不
循环小数叫做无理数，
有理数和无理数统称实数．
实数与数轴上
的点一
p
O
A
一对应
．任何有理数都可以表示为分数
q
（
p
、
q
是两个互质的整数，且
q
≠
0
）
10
．平面上有
5
条直线，其中任意两条都不平行，那么在这
5
条
直线两两相交所
的形式．
成的角中，
至少有一个角不超过
36°
,
请说明理
由
.
3
非负数：
实数的绝对值，
实数的偶次幂，
非负数
的算术平方根
（或偶次方根）
都是非负数．
即
11
．如图，正方形
ABCD<
/p>
的边长为
5,
把它的对角线
AC
分成
n
段，以每一小段
为
2
n
a
a<
/p>
>0
，
≥
0
（
n
为正整数）
，
a
≥
0(a
≥
0)
．
对
角线作小正方形，这
n
个小正方形的周长之和为多少？
A
B
经典·考题·赏析
【例
1
】若
2m
－
4
与
3m
－
1
是同一个数的平方根，求
m
的值．
【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵
2m
−4
与
3m
−l
是同一个数的平方根，∴
2m−4
＋
3m−l
＝
0
，
5m
＝
5
，
m
＝
l
．
【变式题组】
01
．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是
____
．
D
C
．已知
m
是小于
1
5
2
的最大整数，则
m
的平方根是
____
．
02
12
．如图将面积为
a2
的小正方形和面积为<
/p>
b2
的大正方形放在一起，用添补法如
0
3
．
9
的立方根是
____
．
何求出阴影部分面积？
04
．如图，有一个数值转化器，当输入的
x
为
64
时，输出的
y
是
____
．
A
F
是无理数
输入
x
取算术平方根
输出
y
第
06
讲
实
数
B
E
考点·方法·破译
1
．平方根与立方根：
是有理数
D
C
【
例
2
】
（
全
国
竞
赛
）
已
知
非
< br>零
实
数
a
、
b
满
足
2
a
4
b
2
a
2
3
b
< br>4
，则
a
a
2
＋
b
等于
(
)
A
．－
1
B
．
0
C
．
1
D
．
2
【解
法指导】若
a
3
b
2
有意义，∵
a
、
b
为非零实数，∴
b2>0
∴
a
－
3
≥
0
a
≥
3 <
/p>
∵
2
a
4
b
2
a
3
b
2
4
2
a
∴
2<
/p>
a
4
b
2
a
3
b
2
4
2
a
，∴
b
2
a
3
b
2
0
．
b
< br>2
0
a
3
∴
a
3
b
2
0
，∴
b
2
，故选
C
．
【变式题组】
0l
．在实数范围内，等式
2
< br>
a
a
2
b
3
＝
0
成立，
则
ab
＝
____
．
02
．若
a
9
b
3
<
/p>
2
a
0
，则
b
的平方根是
_
___
．
03
．
（天津）若
x
< br>、
y
为实数，且
x
2
y
< br>
2
0
x
2009
，则
y
的值为（
）
A
．
1
B
．－
1
C
．
2
D
．－
2
x
x
x
1
04
．已知
x
是实数，则
的值
是
(
)
1
1
1
<
/p>
1
1
A
．
B
．
C
．
1
D
．无法确定
【例
3
】若
a
、
b
都为有理效，且满足
a
b
b
1
2
< br>3
．求
a
＋
b
的平方根．
【解法指导】任何
两个有理数的和、差、积、商（除数不为
0
）还是有理数，但<
/p>
两
个
无
理
数
的
和
、
差
、
积
、
商
（
除
数
不
为
0
）
不
一
定
是
无<
/p>
理
数
．
∵
a
b
b
1
2
3
，
a
b
1
<
/p>
a
b
1
a
13
∴
b
< br>2
3
即
b
1
2
，∴
b
12
，
a
＋
b
＝
12
＋
13
＝
25
．
∴
a
＋
b
的平方根为：
a
b
<
/p>
25
5
．
【变式题组】
01
< br>．
（西安市竞赛题）已知
m
、<
/p>
n
是有理数，且（
5
＋
2
）
m
＋
(3
－
2
5
)n
＋
7
＝<
/p>
0
求
m
、
n
．
1
1
02
．
（希望杯试题
）
设
x
、
y<
/p>
都是有理数，
且满足方程
（
2
3
）
x
< br>＋
（
3
2
）
y−4−
＝
0
，则
x−y
＝
< br>____
．
【例
4
】若
a
为
17
−<
/p>
2
的整数部分，
b−1
< br>是
9
的平方根，且
a
b
b
a
，求
a
< br>＋
b
的值．
【解法指导】
一个实数由小数部分与整数部分组成，
17
−
2
＝整数部分＋小
数部分．整数部分估算可得
2
，则小数部分
＝
17
−2 −2
＝
< br>17
−
4
．∵
< br>a
＝
2
，
b−1
＝±
3
，∴
b
＝－
2
或
< br>4
∵
a
b
b
a
．∴
a
，∴
a
＝
2
，
b
＝
4
，即
a
＋
b<
/p>
＝
6
．
【变式题组】
01
< br>．若
3
＋
5
的小数部分是
a
，
3−
5
的小数部分是
b
，则<
/p>
a
＋
b
的值为<
/p>
____
．
0
2
．
5
的整数部分为
< br>a
，小数部分为
b
，则（
5
＋
a
）
·
b
＝
____
．
演练巩固
反馈提高
0l
．下列说法正确的是
(
) <
/p>
A
．－
2
是
(
－
2)2
的算术
平方根
B
．
3
是－<
/p>
9
的算术平方根
C
．
16
的平方根是±
4
D
．
27
的立方根是±
3
c
5
02
．设
a
3
，
b<
/p>
＝
－
2
，
2
，则
a
、
b
、
c
的大小关系是
(
)
A
．
03 ，
两点表示的数分别为－
<
br>．对于任意不相等的两个数 <
br>＝ <
br>※
<
br>（长沙中考题）已知
<
br>
<
br>
15.
a
B
．
a
C
．
b
D
．
c
．下列各组数中，互为相反数的是
(
) <
/p>
A
．－
9
与
81
的平方根
B
．
4
与
3
64
C
．
4
与
3
64
D
．
3
与
9
3
8
04
．在实数
1.4
14
，
2
，
0.1
•
5
•
，
5−
16
，
，
3.1
•
4
•
，
125
中无理数有
(
)
A<
/p>
．
2
个
B
．
3
个
C
．
4
个
D
．
5
个
05
．实数
a
、<
/p>
b
在数轴上表示的位置如图所示，则
(
)
A
．
b>a
B
．
a
b
C
．
－
a
＜
b
D
．－
b>a
06<
/p>
．
现有四个无理数
5
6
，
7
，
8
，
其中在
2
＋
1
与
3<
/p>
＋
1
之间的有
(
)
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
07
．设
m
是
9
的平方根，
n
＝
3
2
．则
m
，
n
的关系是
(
)
A. m
＝±
n
B.m
＝
n
C
.m
＝－
n
D.
m<
/p>
n
08
．
（烟台）如图，数轴上
A
、
B
1
和
3
，点
B
关于点
A<
/p>
的对称点
C
，则点
C
所表示的数为
(
)
A
．－
2<
/p>
3
B
．－<
/p>
1
3
C
．－
2
＋
3
D
．
l
＋
3
09<
/p>
．点
A
在数轴上和原点相距
5
个单位，点
B
在数轴上和
原点相距
3
个单位，
且点
B
在点
A
左边，则
A
、
B
之间的距离为<
/p>
____
．
1
1
1
10
．用
计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：
1
，
2
，
3
…，
19
，
1
20
．如果从中选出若干个数，使它的和大于
3
，那么至少
要选
____
个数．
a
b
11
a
、
b
，定义一种运算※如下：
a
※
b
＝
a
b
，如
3
3
2
※
2
3
2
＝
5
．那么
12.
4
＝
____
．
12
．
a
、
b
为两个连续整数，且
a<
7
，则
a
＋
b
＝
____
．
a
2
b
a
≥
b
2
13
．对
实数
a
、
b
，
定义运算“
*
”
，如下
a*b
＝
ab
a
<
b
，已知
3*m
＝
36
，
则实数
m
＝
____
．
a
2
2
a
1
14
．
设
a
是大于
1
的实数．
若
a
，
3
，
3
在数轴上对应的点分别是
A
、
B
、
C
，则三点在数轴上从左自右的顺
序是
____
．
如图，直径为
1
的圆与数轴
有唯一的公共点
P
．点
P
表示的实数为－
1
．如果
该
圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为
P′
，
那么点
P′
所表示的数是
____
．
16<
/p>
．已知整数
x
、
y
满足
x
＋
2
y
＝
50
，求
x
、
y
．
17
．
已知
2a−1
的平
方根是±
3
，
3a
＋
b−1
的算术平方根是
4
，
求
a
＋
b
＋
1
的立方根．
18
．小颖同学在电脑上做扇形滚动
的游戏，如图有一圆心角为
60°
，半径为
1
个
单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动
的滚动时，当
B
点恰好落
在数轴上时，
(1)
求此时
B
点所对的数；
(2)
求圆心
O
移动的路程．
19
．若
b
＝
3
a
15
＋
15
3
a
＋
3l
，且
a
＋
11
的算术平方根为
m
，
4b
＋
1
的
立方根为
n
，求（
mn−2
）
(3mn
＋
4)
的平方根与立方根．
20
．<
/p>
若
x
、
y
为实数，
且
（
x−y
＋
1
）
2
与
5
x
3
y
3
互为相反数，
求
x
2
y
2
的
值．
培优升级
奥赛检测
01
．
（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数
x
的两个平方根分别是
a
＋
1<
/p>
与
a−3
，
则<
/p>
a
值为
(
)
A
．
2
B
．－
1
C
．
1
D
．
0 <
/p>
02
．
（黄冈竞赛）代数式
x
＋
x
< br>1
＋
x
2
的最小值是
(
)
A
．
0
B
．
1
＋
2
C
．
1
D
．
2 <
/p>
03
．代数式
5
3
x
−
2<
/p>
的最小值为
____
．
< br>
04
．
设
a
、
b
为有理数，
且
a
、
b
满足等式
a2
＋
3b
＋
b
3
＝
< br>21−5
3
，
则
a
＋
b
＝
____
．
05
．
若
a
b
＝
1
，
且
3
a
＝
4<
/p>
b
，
则在数轴上表示
a
、
b
两数对应点的距离为
____
．
06<
/p>
．已知实数
a
满足
2009
a
a
2010
< br>a
，则
a− 20092
＝
_______
．
m
满足关系式
3
x
5
y
2
m
x
3
y
m
x
199
y
199
x
y
，
试确定
m
的值．
08
．<
/p>
（全国联赛）若
a
、
b
满足
3
a
5
b
＝
7
，
S
＝
2
a
3
b
，求
S
的取值范围．
09<
/p>
．
（
北
京
市
初
二
年
级
竞
赛
试
题
）
已
知
0
，
并
且
a
1
2
3
<
/p>
28
29
30
a
30
a
30
< br>
a
30
<
/p>
a
30
18
，求
[10a]
的值
[
其中
[x]
表示不超过
x
的最大整数
]
．
10<
/p>
．
（北京竞赛试题）已知实数
a
、
b
、
x
、
y
满足
y
＋
x
3
1
a
2
，
x
3<
/p>
y
1
b
2
，求
2
x
y
2
a
< br>b
的值．
第
14
讲
平面直角坐标系（一）
考点．方法．破译
1
．认识有序数对，认识平面直角坐标系．
2
．了解点与坐标的对应关系．
3
．会根据点的坐标特点，求图形的面积．
经典．考题．赏析
【例
1
】在坐标平面内描出下列各点的位置．
A(2
，
1)
，
B(1
，
2)
，
C(
－
1
，
2)
，
D(
－
2
，－
1)
，
E(0
，
3)
，
F(
－
3
，
0)
【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐
标的有序性．
【变式题组】
01
．
第三象限的点
P(x
，
y)
，
满足
|x|
＝
5,2x
＋
|y|
＝
1
，
则点
P
得坐标是
_____________
．
02
．在平面直角坐标系中，如果
m.n
＞０，那么（
m, |n|
）一定在
_______
_____
象
限
.
< br>03
．指出下列各点所在的象限或坐标轴．
1
1
A(
－
3
，
0)
，
B(
－
2
，－
3
)
，
C(2
，
2
)
，
D(0,3)
，
E(
π
－
3.14
，
3.14<
/p>
－
π
)
【例<
/p>
2
】若点
P(a
，
b)
在第四象限，则点
Q(
―
a
，
b
―
1)
在（
）
A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限
【解法指导】∵
P(a
，
< br>b)
在第四象限，∴
a
＞
0
，
b
＜
0
，∴－
a
＜
0, b
－１＜
0,
故选
C
．
【变式题组】
01
< br>．若点
G(a
，
2
－
a)
是第二象限的点，则
a
的取值范围是（
）
A
．
a
＜
0
B
．
a
＜
2
C
．
0
＜
a
＜
2
B
．
a
＜
0
或
a
＞
2
02
．如果点
P(3x
－２，２－
< br>x)
在第四象限，则
x
的取值范
围是
____________
．
<
/p>
03
．若点
P(x
，
y)
满足
xy
＞
0
，则点
P
在第
______________
象限．
04
．已知点
P(2a
－
8
，
2
－
a)
是第三象限的整点，则该点的坐标为
___________
．
【例３】已知
A
点与点
B(
－
3
，
4)<
/p>
关于
x
轴对称，求点
A
关于
y
轴对称的点的坐
标．
【解法指导】关于
x
轴对称的点的坐标的特点：
横坐标
(x)
相等，纵坐标
(y)
互为相
反数，关于
y
轴对称的点的坐标特点：横坐
标互为相反数，纵坐标
(y)
相等．
【变式题组】
01
< br>．
P(
－
1
，
3)
关于
x
轴对称的点的坐标为
____________
．
02
．
P(3
，－
2)
关于
y
轴对称的点的坐标为
____________
．
03
．
P(a
，
b)
关于原点对称的点的坐
标为
____________
．
<
/p>
04
．点
A(
－
3
，
2m
－１
)
关于原点对称的点在第四象限，则
m
的取值范围是
____________
．
05
．如果点Ｍ
(a
＋
b
，
ab)
在第二象限内，那么点
N(a
< br>，
b)
关于
y
轴对称的点在第
______
象限．
< br>
【例４】
P(3
，－
4)
，则点
P
到
x
轴的距离是
__
__________
．
【解法指导
】
P(x
，
y)
到
x
轴的距离是
| y|
，到
y
轴的距离是
|x|
．则
P
到轴的距离是
< br>|
－
4|
＝
4
【变式题组】
01
．已知点
P(3
，
5)
，
Q(6
，－５
)
，则点
P
、
Q
到
x
轴的距离分别是
_________
，
__________
．
P
到
y
轴的距离是点
Q
到
y<
/p>
轴的距离的
________
倍．
02
．若
x
轴上的点Ｐ到
y
轴
的距离是
3
，则
P
点的坐标是
__________
．
03
．如果点
B(m
＋
1
，
3m
－
5)
到
x
轴的距离与它到
y
轴的距离相等，求
< br>m
的值．
04
．若
点
(5
－
a
，
a
－
3)
在一
、三象限的角平分线上，求
a
的值．
05<
/p>
．已知两点
A(
－
3
，
m)
，
B(n
，
4)
，
AB
∥
x
轴，求
m
的值，并确定
n
的取值范
围．
【例５】如图，平面直角坐标系中有
A
、
B
两点．
(1)<
/p>
它们的坐标分别是
___________
，
___________
；
(2)
以
A
、
B
为相邻两个顶点的正方形的边长为
___
______
；
(3)
求正方形的其他两个顶点
C
、
D
的坐标．
【解法指导】平行
x
轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对
值，平行
y
轴的直线上两点之间的距离是：两
个点的纵坐标的差得绝对值．即：
A(x1
，
< br>y1)
，
B(x2
，
y2)
，若
AB
∥
x
轴，则
|AB|
＝
|x1
－
x2|
；若
AB
∥
y
，则
|AB|
＝
|y1
－
y2|
，则
(1)A(
2
，
2)
，
B
(2
，－
1)
；
(2)3
；
(3)C(5
，
2)
，
D(5
，－
1)
或
C(
－
1
，
2)
，
D(
－
1
，
－
1)
．
【变式题组】
01
< br>．如图，四边形
ACBD
是平行四边形，且
AD
∥
x
轴，
说明，
A
、
D
两点的
___________
坐标相等，请你依据
图
形写出
A
、
B
、
C
、
D<
/p>
四点的坐标分别是
_________
、
_________
、
_______
_____
、
____________
．
02
．已知：
< br>A(0
，
4)
，
B(
－
3
，
< br>0)
，
C(3
，
0)
要画出平行四
边形
ABC
D
，请根据
A
、
B
、
C
三点的坐标，写出第四
个顶点
D
的坐标，你的答案是唯一的吗？
03
．已知：
A(0
，
4)
，
B(0
，－
1)
，在坐标平面内求
作一点，使△
ABC
的面积为
5
，
请写出点
C
的坐标
规律．
【例
6
】平面直角坐标系，已知点
A(
－
3
，－
2)
，
B(0
，
3
)
，
C(
－
3
，
2)
，求△
ABC
的面积．
1
< br>【解法指导】
(1)
三角形的面积＝
2
×底×高．
(2)
通过三角形的顶点做平行于坐标轴的平行线将不规
则的图形割补成规则图形
，然后计算其面积．则Ｓ△
1
1
ABC
＝Ｓ△
ABD
＝Ｓ△
< br>BCD
＝
2
·
< br>3
·
5
－
2
·
3
·
1
＝
6
．
【变式题组】
01
< br>．
在平面直角坐标系中，
已知△
ABC
三个顶点的坐标
分别为
A(
―
3
，―
1)
，
B(1
，
3)<
/p>
，
C(2
，－
3
)
，△
ABC
的面积．
02
．如图，已知
A(
－
4
，
0)
，
B(
－
2
，
2)
，
C,0
，－
1)
，
D(1<
/p>
，
0)
，求四边形
ABDC
的面积．
03
．已知：
A(
－
3
，
0)
，
B(3
，
0)
，
C(
－
2
，
2)
，若
D
点在
y
轴上，且点
A
、
B
、
C
、
D
四点所组成的四边形的面<
/p>
积为
15
，求
D
点的坐标．
【例<
/p>
7
】
如图所示，
在平面直角坐标系中，
横、
纵坐标都为整数的点称为整点．
请
你观察图中正方形
A1B1C1D1
、
A2B2C2D2
……每个正方形四条边
上的整点的个
数，推算出正方形
A10B10C10D10
四条边上的整点共有
__________
个．
【解法指导】寻找规律，每个正方形四条边上的整点个数
为
S
＝
8n
，
所以
S10
＝
8
×
10
＝
80
个．
【变式题组】
01
< br>．
如图所示，在平面直角坐标系中，
第一次将△
OAB
变换成△
OA1B1
，第二次
将△
OA1B1
变换成△
OA2B2
，第三次将△
OA2B2<
/p>
变
成△
OA3B3
．已知：
A(1
，
2)
，
A1(2
，
2)
，
A2(4
，
2)
，
A3(8
，<
/p>
2)
，
B(2
，
0)
，
B1(4
，
0)
，
B2(8
< br>，
0)
，
B3(16
，
0)
．
(1)
观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，
按此规律再将三角形△
OA3B3
变换成△
OA4B4
，则
A4
的
坐
标
是
______
______
，
B4
的
坐
标
是
__________
___
；
(2)
若按
(1)
题找到的规律将△
OA
B
进行
n
次变换，
得到三角形△
OAnBn
，
推测<
/p>
An
的坐标是
____________
_
，
Bn
的坐标是
_____________
．
【解法指导】由
AA1A2A3
、
BB
1B2B3
的坐标可知，每变换一
次，顶点
A
的横坐标乘以
2
，纵坐标不变，
顶点
B
的横坐标乘
以
< br>2
，纵坐标不变．
如图，已知
A1(1
，
0)
，
A2(1
，
1)
< br>，
A3(
－
1
< br>，
1)
，
A4(
－
1
，－
1)
，
A5(2
，－
1)
…则点
A2010
的坐标为
_______________
．
演练巩固
反馈提高
01
．若点
A(
－
2
，
n)
在
x
轴上，则点
B(n
－
1
，
n
＋
1)
在
(
)
A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限
02
．若点
M(a
＋
2
，
3
－
2a)
在
y
轴上，则点
M
的坐标是
(
)
A
．
(<
/p>
－
2
，
7)
B
．
(0
，
3)
C
．
(0<
/p>
，
7)
D<
/p>
．
(7
，
0)
03
．如果点
A(a
< br>，
b)
，则点
B(
－
a
＋
1
< br>，
3b
－
5)
< br>关于原点的对称点是
(
)
A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第
四象限
04
．下列数据不能确定物体位置的是
(
)
A
．<
/p>
六楼
6
号
B
．
北偏西
400
C
．
文昌大道
10
号
D
．
北纬
260
，<
/p>
东经
1350
05
．在坐标平面内有一点
P(a
，
b
)
，若
ab
＝
0
，则
P
点的位置是
< br>(
)
A
．原点
B
．
x
轴上
C
．
y
轴上
D
．坐标轴上
06
．已知点
P(a
，
b)
到
x
轴的距离为
2
，到
y
轴的距离为
5
，且
|a
－
b |
＝
b
－
a
，则点
P
的
坐标是
_______________
．
07
．已知平面直角坐标系内两点
M(5
，
a)
，
N(b
，－
2)
，①若直线
MN
∥
x
轴，则
a
＝
______
，
b
＝
__________
；
②
若
直
线
MN
∥
y
轴
，
则
a
＝
___________
，<
/p>
b
＝
_________
．
08
．
< br>如图，
将边长为
1
的正方形
OAPB
沿
x
轴正
方向连续翻转
2010
次，点
P
依次落在点
P1
，
P
2
，
P3
，…，
P2010
的位置，则
P2010
的
横坐标
x2010
＝
< br>___________•
09
．按下列规律排列的一列数对，
(2
，
1)
，
(5
，
4)
，
(8
，
7)
…，
则第七个数对中的两个数之和是
____________
__•
10
．如图，小明用手盖住的
点的坐标可能为（
）
A
．
(2
，
3)
B
．
(2
，－
3)
C
．
(
－
2
，
3)
D
．
(
－
2
，
－
3)
11
．点
P
位于
x
轴的下方，距
y
轴
3
个单位长度，距
x
< br>轴
4
个单位长度，则点
P
的坐标是
____________
．
12
．将正整数按如图所示的规律排列下去
，若有序数对
(n
，
m)
表示
第
n
排，
从左到右第
m
个数，
则表示实数
25
的有序数对是
______________
．
13<
/p>
．已知点
A(
－
5
，
0)
，
B
(3
，
0)
，
(1)
在
y
轴
上找一点
C
，使之满足
S
△
ABC
＝
16
，求点
C
的坐标；
(2)
在平面直角坐标系内找一点
C
，
使之满足
S
△
ABC
＝
16
的点
C
有多少个？这样
的点有什么规律．<
/p>
14
．若
y<
/p>
轴正方向是北，小芳家的坐标为
(1
，<
/p>
2)
，小李家的坐标为
(
－
2
，－
1)
，则
小芳家的
________________
方向．
15
．如
图在平面直角坐标系中
A(0
，
1)<
/p>
，
B(2
，
0)
，
C(2
，
1
.5)
(1)
求△
ABC
的面积；
(3)
在
(
2)
的条件下，
是否存在一点
P
，
使得四边形
ABOP
的面积与△
ABC
的面积相等？若存在，求出
P
点的坐标；若不存在，请说明理由．
16
．如
图所示，在直角坐标系
xOy
中，四边形
OABC
为正方形，其边长为
4
，有
一动点
P
，自
O
点出发，以
2
个单位长度／秒得速度
自
O
→
A
→<
/p>
B
→
C
→
O
运动，
问何时
S<
/p>
△Ｐ
BC
＝
4<
/p>
？并求此时
P
点的坐标．
培优升级
奥赛检测
01
．如果点
M(a
＋
b
，
ab)
在第二象限，那么点
N(a
，
b)
在第
_____________
象限．
02
．若点
A(6
－
5a
，
2a
－
1)
．
(1)
点
A
在第二象限，求
a<
/p>
的取值范围；
1
(2)
如果在第二象限内有一点
P(a
，
2
)
，试用含
a<
/p>
的式子表示四边形
ABOP
的面
积；
(2)
当
a
为实数时，点
A
能否在第三象限，试说明理由；
(3)
点
A
能否在坐标原点处？为什么？
1
1
03
．点
P{<
/p>
－
2
，－
[ <
/p>
－
|1
－
2
| ]}
关于
y
轴
对称点的坐标是
_____________
．
04
．已知点Ａ
(2a
＋
3b
，－
2)<
/p>
与点
B(8
，
3
a
＋
2b)
关于
x
轴对称，那么
a
＋
b
＝
__________
．
05
．
已知
ａ＜０，
那么点Ｐ
(
－
a2
－
2
，
< br>2
－
a)
关于原点对称的点在第
________
象限．
06
．已知点
P1(a
－
1
，
5)
在第一、三象限角平分线上，点
P2(2
，
b
－
8)
在第二、四
象限角平分线上，则
(
－
a
＋
b)2010
＝
___________<
/p>
．
07
．无论
x
为何实数值，点
P(x
＋
1
，
x
< br>－
1)
都不在第
_______
__
象限
•
08
．已知点
P
的坐标为
(2
－
a
，
3b
＋
6)
，且点
P
到两坐标轴的距离相等，则点
P
的
坐标为
_________
．
09
．
若
点
P(x
，
y)
在第二象限，
且
|x
－
1|
＝
2
，
|y
＋
3|
＝
5
，
则
P
点的坐标是
__________
．
10
．若点
A(2x
－
3
，
b
－
< br>x)
在坐标轴夹角的平分线上，且在第二象限，则点
A<
/p>
的坐
标是
__________
．
11
．已知线段<
/p>
AB
平行于
y
轴
，若点
A
的坐标为
(
< br>－
2
，
3)
，且
AB
＝
4
，则点
B
的
坐标是
__________
．
1
2
．已知
A(
－
3
，
2)
与点
B(x
，
y)
在同一条平行于
y
轴的直线上，且点
B
到
x
轴的
距离等于
< br>3
，求
B
点的坐标．
13
．如图，
B(2
，
4)
，点
D
从
O
→
C
→
B
运动，速度为
1
单位长
度／秒．
(1)
当
< br>D
在
OC
上运动时，直线
BD
能否将长方形
ABCD
< br>的面积分为
1:2
两部分，
若能
，求点
D
的坐标，若不能，请说明理由；
y
B
C
D
A
－
2
O
x
1
(2)
当点
D
运动到
CB
上时，经过多长时间△
AB
D
的面积等于
4
矩形
< br>ABCO
的面
积？并求此时
D<
/p>
点的坐标．
3
2
14
．已知：
A(a
－
5
，
2b
＋
3
)<
/p>
，以
A
点为原点建立平面直角坐标系．<
/p>
(1)
试确定
a
、
b
的值；
7
(2)
若点
B(2a
－
5
，
2b
＋
2m)
，且
AB
所在直线为第二、四象
限夹角的平分线，求
m
的值．
第
15
讲
平面直角坐标系（二）
考点
•
方法
•
破译
1
．建立适当的平
面直角坐标系描述物体的位置
.
2
．
了解可以用不同的方式确定物体的位置
.
3
< br>．在同一坐标系中，会用坐标表示平移变换
.
经典
•
考题
•
赏析
【例
1
】在平面
直角坐标系中，将点
A
（－
2
，
3
）先向左平移
2<
/p>
个单位，再向上
平移
2
< br>个单位后得到
B
点的坐标是
. <
/p>
【解法指导】在平面直角坐标系中，将点
P
（
x,y
）向右或向左平移
a
个单位，可
以得到
P’
（
x+a,y
）或
P’
（
x
－
a,y
）
，将点
P
（
x,y
）向上或向下平移
b
个单位长度，
可以得到
P’
（
x,y+b
）或
P’
（
x,y
－
b
）
.
一句话：右、上作加，左、下作减
.
即
B
点的坐标为（－
4,5
）
，所以
B
点的坐标为
（－
4,5
）
.
【变式题组】
< br>01
．在平面直角坐标系中，将点
A
（
5
，－
2
）先向下平移
3
个单位，再向右平移
2
个单位得到点
B
的坐标是
.
02.
在平面直角坐标系中，将
点
M
（
3
，－
4
）平移到点
N
（－
1,4
）
，是经过了先
向
，再向
，而得到的
.
03
< br>．点
A
（－
5
< br>，－
b
）经过先向下平移
3
个单位，再向左平移
2
个单位长度后得
到点
B
（
a,
－
1
）
，则
ab
＝
.
【例
2
】△
ABC
三个顶点坐标分别是
A
（
4,3
）
B
（
3,1
）
C
（
1,2
）
⑴将△
ABC
向右
平移
1
个单位，得到△
A1B1C1<
/p>
，再向下平移
2
个单位长度得到
△
A2B2C2
，求△
A2B2C2
三个顶点的坐标
.
⑵将
△
ABC
三个顶点坐标的横坐标都减去
5
，纵坐标不变得到△
A3B3C3
，
则△
A3B3C3
与△
ABC
的大小、形状和位置上有什么关系？
⑶将△<
/p>
ABC
三个顶点坐标的纵坐标都加上
5<
/p>
，横坐标不变得到△
A4B4C4
，则△
A4B4C4
与△
ABC
的大小、形状和位置上有什么关系？
【解法指导】
平移后得到的图形与平移前的图形的大小相等，形状相同
.
解
：⑴
A2(5,1)B2
（
4
，－
1
）
C2
（
2,0
）
；
⑵△
A3B3C3
与△
AB
C
大小相等，
形状相同，
△
A3B3C3
是△
ABC
向左平移
5
个单位得到的；
⑶
A4
（
4,8
）<
/p>
B4
（
3,6
）
C4
（<
/p>
1,7
）
，
△<
/p>
A4B4C4
与△
ABC
大小相等，
形状相同，
△
A4
B4C4
是△
ABC
向上平移
5
个单位得到的
.
【变式题目】
01.
如图将三角形向右平移
2
个单位长度，
再向上平移
3
个单
位长度，则
平移后三个顶点的坐标是（
）
A
．
（
1,7
）
，
（
0,2
）
（
3,5
）
B
（
1,7
）
，
（
0,2
）
（
4,5
）
C
（
1,7
）
，
（
2,2
）
（
3,5
）
D
（
1,7
）
，
（
2,2
）
（
3,3
）
02.
将正方形向下平移
3
个单位长度，
再向左平移
5
个单位长
度，所得到的顶点坐标分别是（－
1,2
）
，
（
3,2
）
，
（
3
，－
< br>2
）
，
（－
1
，－
2
）
，则平移前该正方形的四个顶点的坐标分别为：
3.
如图所示的直角坐标系中，
△
ABC
的顶点坐标分别是：
A
（
0,0
）
B
（
6,0
）
C
（
5,5
）
⑴求△
ABC
的面积；
⑵如果将△
ABC
向上平移
1
个单位长度，得到△
A1B1C1
，再向右平移
2
个单位
长度得到△
A2B2C2
，试求△
A2B2C2
三个顶点的坐标；
⑶试说明△
A2B2C2
与△
ABC
的形状、大小有什么关系？
【例
3
】在
平面直角坐标中，点
A
（
1,2
）平移后的坐标
A’
（－
3,3
）
，按照同样的
规律平移其
它点，则下列哪种变换符合这种规律（
）
A
．
（
3,2
）→（
4
，－
2
）
B
．
（－
1,0
）→
（－
5
，－
4
）
C
（
2.
5
，－
1/3
）→
(
－
1.5,2/3)
D(1.2,5)
→
(
－
3.2,6)
< br>【解法指导】先仔细分析平移规律：点
A
（
1,2
）→
A’
（－
3,3
）
，规律是
：横坐标
减少
4
，纵坐标增加
1
，再依据规律作出正确的判断
.
【解】依据坐标平移规律，故选
C
．
【变式题组】
01
．在平面直角坐标系中，点
A
（－
2,3
）平移后的坐标为
A’
< br>（
2
，－
3
）
，按照同
样的规律平移（
1
，－
2
）
，得到<
/p>
.
02
．
线段
CD
是由线段
AB
平移得到的
,
点
A(
－
1,4)
的对应点<
/p>
C
（
4,7
）<
/p>
，
则点
B
（－<
/p>
4
，－
1
）的对
应点
D
的坐标是
. <
/p>
03
．将点
P(m
－
2,n+1),
沿
x
轴负方向平移
3
个单位长度得到
P1
（
1
－
m,2
）
,
求点
P
的坐标
.
04
．
平面直角坐标系中，
△
AB
C
个顶点的坐标分别是
A
（
6,8
）
，
B
（－
2,0
）
，
C
（－
5
，－
3
）
，△
DEF
各顶点的坐标是
D
（
0
，
3
）
，<
/p>
E
（
8,11
）
，
F
（－
3,
0
）
，请仔细观察
这两个三角形各顶点
的坐标关系，
判断△
DEF
是不是由△
ABC
平移得到的？如果
是请回答平移
规律；如果不是，请说明理由
.
【例
4
】如图是某市市区几个旅游景点的示意图（图中每个小正方形的边长为
1
个长度单位）
，
请以某景点
为原点，
画出直角坐标系，
并用坐标表示下列景点的位
置
.
光岳楼
金凤广场
动物园
【解法指导】若以金凤广场为坐标原点
O
，过点
O
的水平线
为
x
轴，取向右为正方向；过点
O
的竖直直线为
y
轴，取向上为正方向，即可建
立平面直角坐标系，各景点坐标的位置就可以表示出来
.
【解】以金凤广场为坐标原点
O
，
，建立如图所示的直角坐标系
.
所以：⑴光岳楼
（
1,1
）
⑵金凤广场（
0,0
）
；⑶动
物园（
6,5
）
.
【变式题组】
01
< br>．如图为某市旅游景点示意图，试以中心广场为坐标原点建立直角坐标系，用
坐标
表示各个景点的位置
.
02
．如图是传说中的一个藏宝图，
藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图，
现金的寻宝人没有原来的地图，但知道在该
图上有两块大石头
A(2,1),B(8,2),
而藏
宝地的坐标是（
6,6
）
，试设法在地图上找到藏宝地点
.
【例
5
】某
村是一个古树名木保护模范村，仅百年以上
树龄的古树就有
5<
/p>
棵，
第一棵古松树在小刚家的院子里，
第
二棵古松树在小刚家东南方向
2000
米处，
< br>第三棵古松
树在小刚家北偏西
30•
方向
1000
米处，第四棵古松树在
小刚家正东
1000
米处，第五棵古槐树在小刚家南偏西
45•
方向
1500
米处，请你画图表示这五棵古树的位置
.
【解法指导】以小刚家为坐标原点，水平线为
x
轴，正
东方向为正方向，取竖直
线为
y
轴，正
北方向为正方向建立平面直角坐标系，再根据这五棵树的方位和数
量关系即可确定它们的
位置
.
【解】以小刚家为坐标原点，水平线为
x
轴，正东方向为正方向，取竖直线为
y
轴，正北方向为正方向建立平面直角坐标系，比列尺为
1:50000
，即
1
厘米表示
50
0
米
.
那么五棵数的位置如图所示
.
【变式题组】
01
．如图，为一公园内运动园的平面示意图：
A
为孔雀
园，
B
为猴山，<
/p>
C
为鹦鹉园，
D
为天鹅园，
E
为熊猫园，
F
为师虎园
.
现以孔雀园来说：
⑴猴山在孔雀园的北偏东多少度的方向上？要想确定猴
山的位置，还需要什么数据？
⑵与孔雀园距离相等的有几个园？它们是什么园？
⑶要确定狮虎园的位置还需要几个数据？请借助刻度尺、量角器，说出狮虎园距
鹦鹉园的位置？
【例
6
】如图，早直角坐标系中，第一次将
OAB<
/p>
变换成
OA1B1
，第二次将
OA1B1
变换成<
/p>
OA2B2
，
第三次将
OA2B2
变换成
OA3B3
，
已知<
/p>
A
（
1,3
）<
/p>
，
A1
（
2,3
）
，
A2
（<
/p>
4,3
）
A3
（
8,3
）
，
B
（
2,0
）
，
B1
（
4,0
）
，
B2
（
8
，
0
）
，
B3
（
16,0
）
.
⑴观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变
换规律再次将
OA3B3
变换成
OA4B4
，则
A4
的坐标是
，
B4
的坐标是
；
⑵若按⑴题找到的规律，将
OAB
进行了
n<
/p>
次变换，得到
OAnBn,
推测
An
的坐标是
，
Bn
的坐
标是
.
【解法指导】此题为猜想题，解这类题一般步骤是：
⑴＜
1
＞观
察：高清观察的对象；
＜
2
＞分析：分析个数之间的关系，如：和、倍、分等数量关系；
＜
3
＞对比：
在分析个
数据的情况下，
找出个数据之间的区别和联系，
为归纳作准
备；
＜
4
＞归纳：将观察、分析、对比得出的结论用文字或数学式子表示出来；
⑵这种数学方法是从特殊到一半的思想方法
.
分析：观察图形，可知
An
的横坐标是
2n,
而
Bn
的横坐标是按<
/p>
2n+1
变化的
.
解：⑴
A4(16,3),B4(32,0);An(2n,3),Bn(2n+1
,0).
【变式题组】
01.
（菏泽
.
淄博）
在
平面直角坐标系中，
横坐标、
纵坐标都
为整数的点称为整点，观察图中每一个正方形（实线）四
条边上的整点的个数，请你猜想
由里向外第
10
个正方形
（实线）四条
边上的整点个数共有
个
.
【例
7<
/p>
】
如图所示，
在平面直角坐标系中，
将坐标为
（
0,0), (5,0),
(4,3), (1,3), (0,0),
的点用线段依次连
接起来形成一个图案，不画
图形，回答下列问题
.
若每个点的横坐标保持不变，纵坐标变成原来的
2
倍，将所得
各点用线段依次连接起来，那么所得的
图案与原来图案相比有
什么变化？
0
5
．利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下⑴根据
若横坐标保持不变，纵坐标分别加
2
呢？
具体问题确定适当的单位长度；⑵建立平面直角坐标系；⑶在平面直
角坐标系内
若纵坐标保持不变，横坐标分别加
2
呢？
画出各点
.
其中顺序正确的是（
）
若横坐标保持不变，纵坐标分别乘－
1
呢？
A
．⑴，⑵，⑶
B
．⑵，⑴，⑶
若纵坐标保持不变，横坐标分别乘－
1
呢？
C
．⑶，⑴，⑵
D
．⑴，⑶，⑵
【解法指导】⑴所得图案与原图案相比，图案横向未变，纵向被拉长为原来的
2
06
．如图，图是由图
1
< br>经过变换得到的，下列说法中错误的是（
）
倍；
<
/p>
⑵所得图案与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向上纵向平移了
2
个单位；
⑶所得图案
与原图案相比，图案的形状、大小未发生改变，它被向右横向平移了
2
< br>个单位；
⑷所得图案与原图案相比，新图案与原图案关
于
x
轴成轴对称
.
< br>⑸所得图案与原图案相比，新图案与原图案关于
y
轴成轴
对称
.
欲解此题，只要充分利用图形上点的坐标变化与图形的
形状变化之间关系的规律
即可
.
演练巩固
反馈提高
A
．将图
1
先向右平移
4
个单位，再向上平移
6
个单
位得到图
2
01<
/p>
．将三角形
ABC
各顶点的横坐标不变，
而纵坐标分别加
4
，连接三个点所得到
B
．将图
1
先向上平移
6
个单位，再向右平移
4
个单
位得到图
2
三角形是三角形
ABC
（
）
C
．将图
1
先向上平移
6
个单位后，再沿
y
轴翻折
180•
可得到图
2
A
．向左平移
4
个单位得到
B
．向上平移
4
个
单位得到
D
．将图
< br>1
先向右平移
4
个单位后，再沿
x
轴翻折
180•
可得到图
2
C
．向右平移
4
个单位得到<
/p>
D
．向下
平移
4
个单位得到
07
．在象棋中，
< br>“马走斜”是指“马”从“日”的一个顶点沿着对角线走向另一个
02.
将三角形
ABC
各顶点的纵坐标不变，横坐标
分别减
5
，连接三个点所得到三
顶点，
图中
“马”现在的位置用（
6,2
）
表示，要想“马”走现在
“帅”的位置<
/p>
（如
角形是由三角形
ABC
（
）
图）
，至少需要
步，写出“马”所走的路线（只要写出一种）
.
A<
/p>
．向左平移
5
个单位得到
B
．向右
平移
5
个单位得到
< br>08.
（泸州）如图是某市市区四个旅游景点示意图（图中每个小正方形的边长为
1
C
．向上平移
5
个单位得到
D
．向下平移
5
个
单位得到
个单位长度）
，请以某景点为原点，建立平面直角坐标系（保留坐标系的痕迹）
，
03.
（日照市）在平面直角坐标系中，把点
P(
－
2,1)
向右
< br>
平移一个单位，
则得到的
请用
坐标表示下列景点的位置
.
对应点
P
’
的坐标是（
）
⑴动物园
，⑵烈士陵园
.
A
．<
/p>
（－
2,2
）
B
．
（－
1,1<
/p>
）
C
．
（－
3,1
）
D
．
（－
2,0
）<
/p>
09.
（永
州）如图所示，要把线段
AB
平移，使得点
A
到达点
A
‘
(4,2)
，点
B
到达
04
．如右图，将三角形向左平移
1
个单位长度，再向下平移
2
个单位长度，则平
点
B
’
，那么点
B
‘的坐标是
.
移后三个顶点的坐标是（
）
10
．华英学校七年级二班的三位同学：李丽，王明，张倩，他
们从家到学校的路线分别是：
A
．
（
2,2
）
，
（
3,4
）
，
（
1,7
）
B
．
（－<
/p>
2,2
）
，
（<
/p>
4,3
）
，
（<
/p>
1,7
）
⑴李
丽出家门口向东走
50
米，再向南走
1
00
米，可到学校；
C
．
（－
2,2
）
，
（－
5,
－
3
）
，
（
0,
－
1
）
< br>D
．
（－
2,2
）
，
（－
5,3
）
，
（
0
< br>，－
1
）
⑵王明出家门口向西
100
米，再向南走
< br>150
米，可到学校；
⑶张倩
出家门口向东走
100
米，再向北走
5
0
米，可到学校
.
根据以上条件建立
坐标系，画出李丽、王明、张倩家的位置及学校的位置
.
11.
在平面直角坐标系中，△
ABC
的位置
如图所示
.
⑴计算△
ABC
的面积；
⑵将△<
/p>
ABC
向右平移
5
个单位长度，
再向上平移
3
个
单位长度，得到△
A1B1C1
，请画出△<
/p>
A1B1C1
，并写
出△
A1B1C1
各顶点的坐标；
⑶写出所得△
A1B1C1
和△
AB
C
的形状、大小有什么
关系？
培优升级
奥赛检测
01.
< br>在平面直角坐标系内，已知点（
2m,m
－
4
）在第四象限内，且
m
为
偶数，那
么
m
的值为
< br>
.
02.
已知点
P1
（
a
－
1,5
）在第一、三象限角平分线上；点
P2
（
2
，
< br>b
－
8
）在二、
四象限角平分线上，则
（－
a+b
）
2004
＝
< br>
.
03
．矩形
ABCD
中，
< br>AB
＝
5
，
BC
＝
2
，以矩形的对角线交点为
坐标原点，平行于
边的直线为坐标轴，建立直角坐标系，则四个顶点的坐标为
.
04
．
在
正方形
ABCD
中，
A
、
B
、
C
三点坐标分别为
（
1,2
）
、
（－
2,1
）
、
（－
1
，
－
2
）
，
则顶点
D
的坐标为
.
05
．无论
x
为何实数值，点
p(x+2,x
－
2)
都不在第象限
.
b
06
．如果点
A(
a
,1)
在第一象限，则点
B(
－
a2,ab)
在第（
）象限
.
A
．一
B
．二
C
．三
D
．四
07
．若点的坐标满足，则点
P
必在（
）
.
A
．原点上
B
．
x
轴上
C
．
y
轴上
D
．
x
或
y
轴上
08
．已知
x
、
y
实数，且
P(
x,y)
的坐标满足
x2+y2
＝
0
，则点
p
必在（
）
A
．原点上
B
．
x
轴正半轴上
C
．
y
轴正半轴
D
．
x
轴负半轴上
09
．
（遵义）如图所示，在平面直角坐标系中，我们把横、
纵坐标都为整
数的点叫做整点
.
设坐标
轴的单位长度为
1
厘米，
整点
P
从原点
O
出发，<
/p>
速度为
1
厘米
/
秒，且整点
P
作向上或向右运动，运动
的时间（秒）与整
点（个）的关系如下表“
整点
P<
/p>
从原点
O
出发的时间
（秒）
1
2
3
…
可以
得到整点
P
的坐标
< br>可以得到整点
P
的个数
(0,1)(1,0)
(0,2)(1,1)(2,0)
(0,3)(1,2)(2,1)(3,0)
…
2
3
4
…
根据上表中的规律，回答下列问题：
⑴当整点
P
从点
O
出发
4
秒时，可以得到的整点
P<
/p>
的个术士为
个；
⑵当整点
P
从点
O
出发
8
秒时，
在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，
并顺
次连接这些整点；
第
18
讲
二元一次方程组及其解法
考点·方法·破译
1
．了解二元一次方程和二元一次方程组的概念；
2<
/p>
．解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的意义；
3
．熟练掌握二元一次方程组的解法
.
经典·考题·赏析
【例
1
】
<
/p>
已知下列方程
2xm
－
< br>1
＋
3yn
＋
< br>3
＝
5
是二元一次方程，
则
m
＋
n
＝
【解法辅导】二元一次方程必须同时具备三个条件：
⑴这个方程中有且只有两个未知数；
< br>⑵含未知数的次数是
1
；
⑶对未知数而言，构成方程的代数式是整式
.
.
⑶当整点
P
从点
O
出发
秒时，
可以到达整点（
16,4
）的位置
.
m
1
1
n
3
1
，解得
m
＝
2,n
＝
－
2,
故
m
＋
n
【解】根据二元一次方
程的概念可知：
＝
0.
A
．
5
B
．－
5
C
．
2
D
．
1 <
/p>
x
2
y
1
，
则
此
方
程
可
以
是
02
．
（<
/p>
盐
城
）
若
二
元
一
次
方
程
的
一
个
解
为
【变式题组】
01
．请判断下列
各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由
.
1
⑴
2x
＋
5y
＝
16
(
2)2x
＋
y
＋
z
＝
3
(3)
x
＋
y
＝
21
(
4)x2
＋
2x
＋
1
＝
0
(5)2x
＋
10xy
＝
5
02
．若方程
2xa
＋
1
＋
3
＝
y2b
－
5
是二元一次方程，则
a
＝
< br>
,b
＝
. <
/p>
1
4
x
2
3
y
10
4
< br>x
y
12
2
y
0
03
．在下列四个方程组①
2
x
4
y
9
，②
7
< br>xy
29
，③
x
2
x
3
y
4
，
<
/p>
7
x
8
y
5
④
x
45
y
0
中，是二元一次方程
组的有
（
）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
3
x
2
y
< br>7
【例
2
】
（十堰中考）二元一次方程组
x
2
y
5<
/p>
的解是
（
）
x
3
x
1
x
< br>4
x
3
A
．
y
2
B
．
y
2
C
．
y
2
D
．
y
1
【解法辅导】二元一次方程组的解，就是它的两个方程的公共解，根据此概念，
< br>此类题有两种解法：⑴若方程组较难解，则将每个解中的两未知数分别带入方程
组
，若使方程组都成立，则为该方程组的解，若使其中任一方程不成立，则不是
该方程组的
解；⑵若方程组较易解，则直接解方程组可得答案
.
本例中，
方程组较易解，故可直接用加减消元法求解，本题答案选
D
．<
/p>
【变式题组】
01
．
（杭州）若
x=1
，
y=2
是方程
ax
－
y
＝
3
的解，则
a
的值是
（
）
（只要求写一个）
03.
（义乌）已知：∠
A
、∠
B
互余，∠
A
比∠
B
大
30°
，设∠
A
、∠
B
的度数分别
为
x°
,y°
,
下列方程组中符合题意的是
（
）
x
y
180
x
y
180
x
y
90
A
．
x
y
30
B
．
x
y
30
C
．
x
y
30
x
y
90
D
．
x
y
30
< br>
3
ax
by
5
x
2
2
4
．
（连云港）若
y
1
，是二元一次方程组
ax
by
2
，的解，则
a
＋
2b
的
值为
.
<
/p>
x
y
7
①
【例
3
】解方程组
3
x
5
y
17
②
【解法辅导】当二元一次方程组的
一个方程中，有一个未知数的系数为
1
或－
1
时，可选用带入法解此方程，此例中①变形得
y
＝
7
－
x
③
,
将③带入②可消去
y
,
从而求解
.
解：由①得，
y
＝
7
－
x
③
将③带入②，得
3x
＋
5(7
－
x)
＝
17,
即
35
－
2x
＝
17
x
＝
9
<
/p>
x
9
故此方程组的解是
y
2
【变式题组】
1.
解方程组：
2
x
y
4
<
/p>
x
4
y
1
（南京）⑴<
/p>
x
2
y
5
（海淀）⑵
2
x
y
16
<
/p>
2
x
y
4
（花都）⑶<
/p>
x
2
y
5
3
x
y
5
（朝阳
）⑷
5
x
2
y
23<
/p>
x
y
5
2
．方程组
2
x
y
5
的解满足
x
＋
y
＋
a
＝
0,
则
a
的值为
（
）
A
．
5
B
．－
5
C
．
3
D
．－
3
2
x
y
3
①
【例
4
】解方程组<
/p>
3
x
5
y
11
②
【解法辅导】用
加减法解二元一次方程组时，要注意选择适当的
“
元
”
来消去，原
则上尽量选择系数绝对值较小的未知
数消去，特别是如果两个方程中系数绝对值
的比为整数时，就选择该未知数为宜，若两系
数符号相同，则相减，若系数符号
相反，则相加
.
本题中，
y
的系数绝对值之比为
< br>5
：
1
＝
5
，因此可以将①
×
5
，然后再与②相家，
即可消去
y.
解：①
×
5
得，
y
＝
7
－
< br>x
③
③＋②
,
得
，
13x
＝
2
6
∴
x
＝
2
将
x
＝
2
代入①得
y
＝－
1
x
2
∴此方程组的解是
y
1
.
【变式题组】
x
1
01
．
(
广州
)
以
y
<
/p>
1
为解的二元一次方程组是
（
）
x
y
0
x
y
0
< br>x
y
0
x
y
A
．
x
y
1
B
．
x
y
1
0
< br>
C
．
x
y
2
D
．
x
y
2
02
．解下列方程组：
x
2
y
3
2
x
3
y
< br>
5
（日照）⑴
3
x
8
< br>y
13
（宿迁）⑵
3
x
2
y
12
<
/p>
ax
by<
/p>
4
x
03
．
（临汾）已
知方程组
ax
by
2
2
的解为
y
1
，则
2a
－
3b
的值为
（
）
A
．
4
B
．
6
C
．－
6
D
．－
4
2
x
y
5
①
04
．已知
x
2
y
6
②
，那么
x
－
y
的值为
，
x
＋
y
的值
为
.
<
/p>
3
x
2
y
2
k
12
①
【例
5
】已知二元一次方程组
4
x
3
y
4
k
2
的解满足
②
x
＋
y
＝
6,
求
k
的
值
.
【解法辅导】此题有两种解法，一中是由已给的方程组消去
k
而得一个二元一次
方程，此方程与
x
＋
y
＝
6
联立，求得
x
、
y
的值，从而代入①或②可求得
k
的值；
另一种是直接由方程组解出
x
、
y
，
其中
x
、
y
含有
< br>k,
即用含
k
的代数式分别表示
x
、
y
，再代
入
x
＋
y
＝<
/p>
6
得以
k
为未知
数的一元一次方程，继而求
k
的值
.
解：①
×
2
，
得，
6x
＋
4y
＝
4k
＋
24
③
③－②
,
得
2x
＋
7y
＝
22
④
由
x
＋
y
＝
6
，
得
2x
＋
2y
＝
12
⑤，
⑤－④<
/p>
,
得
－
5y
＝－
10
∴
y
＝
2
将
y
＝
2
代入
x
＋
y
＝
6
x
4
得
x
＝
4
将<
/p>
y
2
带入①得
3×
4<
/p>
＋
2×
2
＝
2k
＋
12
∴
k
＝
2.
【变式题组】
mx
3
ny
1
3
x
y
<
/p>
6
01
．已知⑴
5
x
ny
n
2
与⑵
4
x
2
y
8
有相同的解，则
m<
/p>
＝
,n
＝
.
<
/p>
x
y
5
02
．方程组<
/p>
2
x
y
5
的解满足方程
x
＋
y
－
a
＝
0,
那么
a
的值为
（
）
A
．
5
B
．－
5
C
．
3
D
．－
3
3
x
2
y
k
03
．已知方程组
2
x
3
y
k
3
的解
x
与
y
的和为
8
，求
k
的值
.
4
(
x
3
y
)
3
(
x
< br>y
)
16
①
【例
6
】解方程组
3
(
< br>x
3
y
)
5
(
x
y
)
12
②
【解法辅导】观察发现：整个方程组中具有两类代数式，即（
x
＋
3y
）和（
x
－
y
）
,
如果我们将这两类代数式整体不拆开，而分别当作两个新的未知数，求解则将会
< br>大大减少运算量，
当分别求出
x
＋
3y
和
x
－
y
的值后，
再组成新的方程组可求出<
/p>
x
、
y
的值，此
种方法称为换元法
.
解：设
x
＋
3y
＝
a,
x
－
y
＝
b,
则原方程组可变形为
4
a
< br>3
b
16
③
3
a
5
b
<
/p>
12
④
③
×
3
，得
12a
＋
9b
＝
12
⑤
④
×
4,
得
12a
－
20b
＝
48
⑥－⑤
,
得
29b
＝
0,
∴
b
＝
0
将
b
＝
0
代入<
/p>
x
3
y
4
x
1
③，得
a
＝
4
∴可
得方程组
x
y
0
故原方程组的解为
y
1
.
【变式题组】
01
．解下列方程组：
3
< br>x
y
x
4
x
y
10
<
/p>
2
y
3
6
9
7
⑴
4
(
x
y
)
5
(
x
<
/p>
y
)
2
⑵（湖北十堰）
< br>
x
y
5
2
a
3
b
13
a
8
.
3
02
．
（
淄
博
）
< br>若
方
程
组
3
a
5
b
30
.<
/p>
9
的
解
是
b
1
.
2
，
则
方
程
组
4
(
x
2
)
3<
/p>
(
y
1
)
13
3
(
x
2
)
5
< br>(
y
1
)
30
.
9
的解是
（
）
x
6
.
3
x
8
.
3
< br>
A
．
y
2
.
2
B
．
y
1
.
2
x
10
.
3
x
10
< br>.
3
C
．
y
2
.
2
D
．
y
0
.
2
03
．解方程组：
< br>
1
2
1
①
x
1
6
x
3
1
1
2
< br>x
2
2
y
1
0
②
ax
by
16
【例
7
】
（
第二届
“
华罗庚杯
”
香港中学邀请赛试题）
已知：
方程组
cx<
/p>
20
y
224
x
8
x
12
的解应为
y
10
，小明解此题时把
c
抄错了，因此得到的解是
y
13
，则
a2
＋
b2
＋
c2
的值为
. <
/p>
x
8
【解法辅导】
y
10
是方
程组的解，则将它代入原方程可得关于
c
的方程，
x
< br>12
由题意分析可知：
y
13
是方程<
/p>
ax
＋
by
＝－
16
的解，
由此可得关于
a
、
b
的又
一个方程，由此三个方程可求得
a
、
< br>b
、
c
的值
.
解：
34
【变式题组】
ax
2
y
7
x
5
01
．方
程组
cx
dy
4
时
，一学生把
a
看错后得到
y
1
，而正确的解是<
/p>
x
3
y
1
，则
a
、
c
、
d
< br>的值是
（
）
A
．不能确定
B
．
a
＝
3, c
＝
1,
d
＝
1
C
．
c
、
d
不能确定
D
．
a
＝
3,
c
＝
2,
d
＝
－
2
Ax
<
/p>
By
2
02
．甲、乙良人同解方程组
Cx
3
y
2
< br>x
1
，甲正确解得
y
1
，乙因抄错
C
，
x
2
解得
y
< br>
6
，求
A
、
B
、
C
的值
.
演练巩固
反馈提高
01
．已知方程
2x
－
3y
＝
5,
则用含
x
的式子表示
y
是
，用含
y
的式子表示
x
是
.
<
/p>
x
1
ax
by
1
02
．
(
邯郸
)
已知
y
1
是方程组
4
x
by
2
的解，则
a
＋
b
＝
.
03
．若
(x
－
y)2
＋
|5x
－
7y
－
2|
＝
0,
则
x
＝
,
y
＝
. <
/p>
x
2
ax
by
7
04
．
已知
y
1
是二元一次方程组
4
x
by
1
的解，<
/p>
则
a
－
b
的值为
.
05
．
若
x3m
－
n
＋
y2n
－
m
＝－
3
是二
元一次方程，
则
m
＝
< br>
,n
＝
.
06.
关于
x
的方程（
m2
< br>－
4
）
x2
＋
(m
＋
2)x
< br>＋
(m
＋
1)y
＝
m
＋
5,
当
m
＝
时，它
是一元一次方程，当
m
＝
时，它是二元一次方程
.
3
x
7
y
9
< br>07
．
（苏州）方程组
4
x
7
y
5
的解是
（
）
x
x
2
x
< br>
2
2
x
2
A
．
y
1
B
．
y
3
7
C
．
y
3
7
y
3
D
．
7
x
1
08
．
（杭州）已知
y
1
是方程
2x
－
ay
＝
3
的一个解，那么
a
< br>的值是
（
）
A
．
1
B
．
3
C
．－
3
D
．
－
1
<
/p>
x
y
1
09
．
（苏州）方
程组
2
x
y
5
的解是
（
）
x
1
x
2
< br>
x
2
x
2
A
．
y
2
B
．
y
3
C
．
y
1
D
．
y
1
x
y
5
< br>k
10
．
（山东）若关于
x
、
y
的二元一次方
程组
x
y
9
k
的解也
是二元一次方程
3x
＋
3y
＝
6
的解，则
k
的值为
（
）
3
3
4
4
A
．－
4
B
．
4
C
．
3
D
．－
3
ax
by
2
x
3
a
2
b
11
．
（怀柔）已知方程
组
ax
b
y
4
的解
为
y
2<
/p>
，求
a
2
b
的值为多少？
12.
解方程组：
< br>
2
x
2
y
6
3
x
4
y
19
⑴（滨州）
x
<
/p>
2
y
2
⑵（青岛）
x
y
4
6
(
2
y
)
7
(
< br>x
3
)
6
3
18
(
x
<
/p>
3
)
5
(
2
y
⑶
3
)
5
2
x
5
y
<
/p>
6
ax
by
4
13
．已知方程组
3
x
5
y<
/p>
16
和方程
组
bx
a
y
8
的解
相同，求代数式
3a
＋
7b
的值
.
3
x
2
y
k
14
< br>．
已知方程组
2
x
3
< br>y
k
3
的解
x
与
y
的和为
8
，求
k
的值
.
mx
2
y
10
15
．
（希望杯试题）
m
为正整数，已知二
元一次方程组
3
x
< br>
2
y
0
有整数解，
求
m2
的值
.
培优升级
奥赛检测
y
kx
b
①
01<
/p>
．当
k
、
b
为何值时，方程组
y
(
3
k
1
)
x
<
/p>
2
②
⑴有唯一一组解
⑵无解
⑶有无穷多组解
< br>
y
kx
m
02
．
.
当
k
、
m
的取值符合条件
时，方程组
y
(
2
k
1
)
x
4
至少有
一组解
.
4<
/p>
x
3
y
6
03
．已知：<
/p>
m
是整数，方程组
6
x
my
26
有整数解，求
m
的值
.
5
x
2
2
y
< br>2
z
2
04
．若
4x
－
3y
－
6z
＝
0,x
＋
2y
－
< br>7z
＝
0, (xyz≠0),
则式子
2
x
2
3
y
2
<
/p>
10
z
2
的值等
于
（
）
1
19<
/p>
A
．－
2
B
．－
2
C
．－
15
D
．－
13
ab
1
bc
1
ca
05
．
（信利
杯赛题）
已知：
三个数
a
、
b
、
c
< br>满足
a
b
＝
3
，
a
c
＝
4
，<
/p>
c
a
＝
1
5
，
abc
则
ab
bc
ca
的值为
（
）
1
1
2
1
A
．
6
B
．
12
C
．
15
D
．
20
06
．
（广
西赛题）已知：满足方程
2x
－
3y<
/p>
＋
4m
＝
11<
/p>
和
3x
＋
2y<
/p>
＋
5m
＝
21<
/p>
的
x
、
y
满足
x
＋
3y
＋
7m
＝
20,
那么
m
的值为
（
）
A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．
3
07
．
（广西赛题）若
|a
＋
b
＋
1|
< br>与（
a
－
b
＋
1
）
2
互为相反数，则
a
与
b
的大小关系是
（
）
A
．
a
＞
b
B
．
a
＝
b
C
．
a
＜
b
D
．
a≥b
08
．
（
“<
/p>
华罗庚杯
”
竞赛题）解方程组
x
1
x
2
x
2
x
3
x
3<
/p>
x
4
x
1997
x
1998
<
/p>
x
1998
x
1999
1
x
1
x<
/p>
2
x
1998
x
1999
1999
x
y
12
09.
（全国竞
赛湖北赛区试题）方程组
x
y
6
的解的组数为
（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
10
．对任意实数
< br>x
、
y
定义运算
x
※
y
＝
ax
＋
by
，其中
a
、
b
为常数，符号右边的运
算是通常意义的加乘运算，已知
1
※<
/p>
2
＝
5
且
2
※
3
＝
8
，则
4
※
5
的值为
（
）
A
．
20
B
．
18
C
．
16
D
．
14
11
．<
/p>
（北京竞赛题）
若
a
、
b
都是正整数，
且
143a
＋
500b
＝
2001,
则
a
＋
b
＝
.
12
．
(
华杯赛题
）当
m
＝－
5,
－
4,
－
3,
－
1,0,1,3,23,124,1000
时，从等式（<
/p>
2m
＋
1
）
x
＋
(2
－
3m)y
＋
1
－
5m
＝
0
可以得到
10
个关于
x
和
y
的二元一次方程，
问这
10
个方
程有无公共解？若有，求出这些公共解<
/p>
.
13
．
下列的等式成立：
< br>x1x2
＝
x2x3
＝
x3x4
＝
…
＝
x99·
x100
＝
x100·
x101
＝
x101·
x1
＝
1,
求
x1
，
x2
，
<
/p>
…x100
，
x101
< br>的值
.
第
19
讲
实际问题与二元一次方程组
考点·方法·破译
1
．逐步形成方程思想，进一步适应列方程
(
组
)
解决实际问题的新思路
.
< br>2
．学会用画图，列表等途径分析应用题的方法
.
3
．熟练掌握各类应用题中的基本数量关系
.
4
．学会找出每道应用题中所蕴藏的各种等量关系，并依此
列出方程组
.
经典·考题·赏析
<
/p>
【例
1
】甲、乙两地相距
160
千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地相向而行，
1
小时
20
分钟相遇，相遇后，拖
拉机继续前进，汽车在相遇处停留
1
小时后调转
车头原速返回，在汽车再次出发后半小时追上了拖拉机，这时，汽车、拖拉机各
自走了多少千米
?
【解法指导】
(1
)
画出直线型示意图理解
题意
(2)
本题有两个未知数
——
汽车的行程
1
1
和拖拉机的行
程
.
有两个相等关系：①相向而行
:<
/p>
汽车行驶
3
小时的路程
< br>+
拖拉机
1
1
< br>1
行驶
3
的路程＝
160
千米；②同向而行：汽车行驶
2
小时的路程＝拖拉机行驶
1
(1+
< br>2
)
小时的路程
.
(3)
本题的基本数量关系有
:
路程＝速度×时间
.
解：设汽车的速度为每小时
x
千米，拖拉机的速度为每小时
y
千米，根据题意，
1
1
(
x
y
)
160
3
1
得
<
/p>
2
x
(1
1
2
)
y
解
这
个
方
程
组
< br>，
得
x
9
y
30.
90
0
(1
1
1
1
1
3
2
)
165
千米，
30
（<
/p>
1
3
+1
2
）
=85
千米。
答
:
汽车走了】
65
千米，拖拉机走了
85
千米
.
【变式题组】
01
．
A
、
B
两地相距
20
千米，甲从
A
地向
B
地前进，同时乙
从
B
地向
A
地
前进，
2
小时后二人在途中相遇，相遇后，甲返回
A
地，乙仍向
A
地前进，甲
回到
A
地
时，乙离
A
地还有
2
千米，求甲、乙二人的
平均速度
.
02<
/p>
．
某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，
如果他开车以每小时
50
千米的速度
行驶，
就会迟到
24
分钟；
如果以每小时
75
干米的速度行驶，
那么可提前
24
分钟
到达乙
地，求甲、乙两地间的距离
.
03
．某铁路桥长
1000m
，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完
全过桥共用了
1min
，整列火车完全在桥上的时间共
40
s.
求火车的速度和长度
.
【例
2
】一
项工程甲单独做需
12
天完成，乙单独做需
18
天完成，计划甲先做若
干天后离去，再由乙完成，实际
上甲只做了计划时间的一半便因事离去，然后由
乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是
计划时间的
2
倍，则原计划甲、乙各做
多少天
?
【解法指导】⑴由甲、乙单独完成所需的时间可以看
出甲、乙两人的工作效率，
1
1
设总工
作量为
1
，则甲每天完成
12
，乙每天完成
18
；
(2)
若总工作量没有具体给出，可以设总工作量为单位“
1
”
，然后由时间算出工作
效率，最后利用“工作量＝工作效率
x
工作时间”列出
方程
.
1
x
1<
/p>
y
1
12
18
1
解
:
设原计划甲做
x
天，乙做
y
天，则有
< br>
12
1
2
x
1
18
2
y
1
，解方程组，得
< br>
x
8,
y
6.
答
:
原计划甲做
< br>8
天，乙做
6
天
.
【变式题组】
01
．
一批机器零件共
1100
个，
如果甲先做
5
天后，
乙加入合做，再做
8
天正好完
成；如果乙先做
5
天后，甲加入合做，再做
9
天也恰好完成，问两人每天各做多
少个零件<
/p>
?
02
．
为北
京成功申办
2008
奥运会，
顺义区准
备对潮白河某水上工程进行改造，
若
请甲工程队单独做此项工程
需
3
个月完成，
每月要耗资
12
万元；
若请乙工程队单
独做此项工程需
6
个月完成，每月要耗资
5
万元
.
⑴若甲、乙两工程队合
做这项工程，需几个月完成
?
耗资多少万元
?
⑵因种种原因，有关领导要求最迟
4
< br>个月完成此项工程，请你设计一种方案，既
保证按时完成任务，又最大限度节省资
金
.(
时间按整月计算
)
【例
3<
/p>
】古代有这样一个寓言故事，驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货
< br>物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说
:
“你抱怨干吗
?
如果你
给我一袋，那
我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样
多！
< br>”那么驴子原来所驮货物的袋数是多少
?
【解法指导】
找出本题中的等量关系为：骡子的袋数
+1
＝
< br>2
×
(
驴子的袋数－
1)
，
驴子的袋教
+1<
/p>
＝骡子的袋数－
1
< br>
x
1
2
(
y
1)
解
:
设骡
子所驮货物有
x
袋，驴子有
y
袋，则依题意可得
x
1
y
<
/p>
1
，解
x
7
这个方程组
，得
y
5
.
答
:
驴子原
来所驮货物有
7
袋
.
【变式题组】
01
< br>．
第一个容器有水
44
升，
第二个容器有水
56
升
.
若将第二个容器的水倒满第一
个容器，那么第二个容器剩
下的水是该容器的一半；若将第一个容器的水倒满第
二个容器，那么第一个容器剩下的水
是该容器的三分之一
.
求两个容器的容量
.
02
．
(
呼市
)
《一千零一夜》中有这样一段文字
:
有一群鸽子，其中一部分在
树上欢
歌，另一部分在地上觅食
.
树上
的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：
“若从你们中飞
1
上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的
3
；若从
树上飞下去一只，则树上、树
下的鸽子就一样多了
.
”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗
?
【例
4
】某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和
螺母恰好配套
(
一个螺钉配一个螺母
)
时就可以运进库房
.
若一名工人每天平
均可以加工螺钉
120
个或螺母
96<
/p>
个，该车
间共有工人
81
名
.
问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及
时包装运进
库房
?
【解法指导】
这里有两个未知数
——
生产螺钉的人数和生
产螺母的人数
.
有两个相
等关系：
(1)
生产螺钉的人数
+
< br>生产螺母的人数＝总人数
(81
名
)
；
(2)
每天生产的螺钉数＝每天生产的螺母数
.
x
y
81
解
:
设生产螺钉的工人有
x
名，
生产螺母
的工人有
y
名，
根据题意，
得
120
x
96
y
,
x
解方程组，得
36
y
45
.
答
:
有
36
名工人生产螺钉
.
有
45<
/p>
名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及
时包装运进库房<
/p>
.
【变式题组】
01
．某车间有
28
名工人生产某
种螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓
12
个或螺母
18
个，为了合理分配劳力，使生产的螺栓和螺母配套（一个螺栓套两个螺母
)
，
则应分配多少人生产螺栓，多少人
生产螺母
?
02
< br>．木工厂有
28
人，
2
个工人一天可以加工
3
张桌子，
3
个工人一天可以加工
10
把
椅子，现在如何安排劳动力，使生产的一张桌子与
4
把椅子配套
?
03
．
现有
190
张铁皮做盒子，
每张铁皮做
8
个盒身或做
22
个盒底，
一个盒身与两
个盒底配成
一个完整的盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以
正好制成一批完整的
盒子
?
【例
5
】一名学生问老师
:
“你今年多大
?
”老师风趣地说
< br>:
“我像你这样大时，你
才出生；你到我这么大时，我已
经
37
岁了”
.
请问老师今年多少岁，学生今年多
少岁
.
< br>【解法指导】如何找出应用题的等量关系是解决应用题的关健，也是难点，本题
中
，老师的两句话分别蕴含着两个等量关系，其本质就是根据师生不同时段的年
龄差相等<
/p>
.
师生过去的年龄差＝师生现在的年龄差＝师生将来的年龄差，
可列表帮助分析
:
过去
现在
将来
师
y
x
37
生
0
y
x
差
y
－
0
x
－
y
37
－
x
x
y
37
x
①
【解】设现在老师
x
岁，学生
y
岁，依题可列方程组<
/p>
37
x
y
0
②
x
25
解此方程组得
y
13
答
:
老师今年
25
岁，学生今年
12
岁
.
【变式题组】
01
．甲、乙两人聊天，甲对乙说
:
“当我的岁数是你现在的岁数时，你才
4
岁
< br>.
”
乙对甲说
:
“当我的岁数是你现在的岁数时，你将
61
岁”
.
同学们，你能算出这两
人现在各是多少岁吗
？试试看
.
02<
/p>
．
6
年前，
A<
/p>
的年龄是
B
的
3
倍，现在
A
的年龄是
< br>B
的两倍，
A
现在的年龄是
(
)
A
．
12
岁
B
．
18
岁
C
．
24
岁
D
．
30<
/p>
岁
03
．甲对
乙风趣地说
:
“我像你这样大岁数的那年，你才
2
岁，而你像我这样大岁
数的那年，我已经
38
岁了
.
甲、乙两人现
在的岁数分别为
___________.
【例
6
】
(
威海
)
汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区
.
我市某企业
向灾区捐助价值
94
万元的
A
，
B
两种账篷共
600
顶
.
已知
A
种帐篷每顶
1700
元，
B
种帐篷每顶<
/p>
1300
元，则
A
、
B
两种帐篷各多少顶
?
【解法指导】
本题等量关系有两个：
A
种帐篷数＋
B
种帐篷数＝
600
，
1700
×
A
种
帐篷数＋
1300
×
B
种帐篷数＝
94
0000
，若设
A
、
< br>B
两种帐篷数分别为
x
、
y
，即可
得方程组
.
【
解
】
设
A
种
帐
篷
有
x
顶
，
B
种
帐
篷
< br>有
y
顶
，
依
题
意
可
列
方
程
组
x
y
600
①
x
400
1700
x
1300
y
940000
②
解这个方程组可得
y
200
答：
A
种帐篷
400<
/p>
顶，
B
种帐篷
2
00
顶
.
【变式题组】
01
< br>．
(
桂林
)
某蔬菜公司收购到某种蔬菜
104
吨，准备加工后上市销售
.
该公司加工
该种蔬莱的能力是
:
每天可以精加工
4
吨或粗加工
8
吨
.
现计划用
16
天正好完成加
工任务
，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工
?
02
．
(<
/p>
济南
)
教师节来临之际，群群所在的班级
准备向每位辛勤工作的教师献一束
鲜花，每束由
4
支鲜花包装而成，其中有象征母爱的康乃馨和象征尊敬的水仙花
两种鲜花，同
一种鲜花每支的价格相同
.
请你根据第一、二束鲜花提供的信息
，求
出第三束鲜花的价格
.
03
．
（云
南）在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到
该商品售价
13%
的财政补贴
.
村民小李购买了一台
A
型洗衣机，
小
王购买了一台
B
型洗衣机，
两人一共得
到财政补贴
351
元，
又知
B
型洗衣机售价比
A
型洗
衣机售
价多
500
元
< br>.
求
:
(1)A
型洗衣机和
B
型洗衣机的售价各是多少元
?
(2)
小
李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元
?
3
1
【例
7
】已知有三块牧场，场上的草长得一样快，它们的面积分别为
3
公顷、
10
公顷和
2
4
公顷
.
第一块牧场可供
12
头牛吃
4
个星期，第二
块牧场可供
21
头牛
吃
9
个星期
.
试问第三块牧场可
供多少头牛吃
18
个星期
?
【解法指导】此题涉及的草量有三种，一是牧场原有生长的草量，二是每周新长
< br>出的草量，
三是每头牛每周吃掉的草量，
分析相等关系时
要注意草量
“供”
与
“销”
之间的关系
:
第一块牧场
:
原有草量
+4
周长出的草量＝
12
头牛
4
周吃掉
的草量；
第二块牧场
:
原有草量
+9
周长出的草量＝
21
头牛
9
周吃掉的草量；
第三块牧场
:
原有草
量
+18
周长出的草量＝？头牛
18<
/p>
周吃掉的草量
.
解
:
设牧场每公顷原有草
x
吨，每公
项每周新长草
y
吨，每头牛每周吃草
a
吨，
10
10
3
x<
/p>
3
y
4
4
12
a
依题意，得
10
x
10
y
9
9
21
a
x
10.8
a
解这个关于
x
、
y
的二元一次
方程组，得
y
0.9
a
设
第
三
块
牧
场
18
周
的
总
草
量
可
供
z
头
牛
吃
18
个
星
期
，
z
24
x
24
y
18
24
(10.8
a
0.9
a
则
:
18
a
18)
18
a
36
(
头
)
答
:
第三牧场可供
36
头牛吃
18
个星
期
.
【变式题组】
01
．
某江堤边一洼地发生了管涌，
< br>江水不断地涌出，
假定每分钟涌出的水量相等，
如果用两
台抽水机抽水，
40
分钟可抽完；
如果
用
4
台抽水机抽水，
16
分钟可抽完
.
若想尽快处理好险情，将水在
10
分钟内抽完，那么至少需要抽水机多少台
?
02
．山
脚下有一池塘，山泉以固定的流量
(
即单位时间里流入池中的水
量相同
)
不
停地向池塘内流淌，现池塘
中有一定深度的水，
若用一台
A
型抽水
机则
1
小时后
正好能把池塘中的水抽完
;
若用两台
A
型抽水机则要
20
分钟正好把池塘中的水抽
完
;
若用三台
A
< br>型抽水机同时抽，则需要多长时闻恰好把池塘中的水抽完
?
演练巩固
反馈提高
一、填空：
01
．将一摞笔记本分给若于名同学，每个同学
6
本，则剩下<
/p>
9
本
;
每个同学
8
本，
又差了
3
本，则这一摞笔记本共
___________
本
.
02
．一个两位数的
十位数字与个位数字的和是
7
，如果这个两位数加上
45
，则恰
好组成这个个位数字与十位数字对调后
的两位数，则这个两位数是
__________.
03
．现有食盐水两种，一种含盐
12%
，另一
种含盐
20%
，分别取这两种盐水
ak
g
和
bkg
，将其配成
16%
的盐水
100kg
，则
a
＝
_______
< br>，
b
＝
__________.
04
．
在
20
06
—
2007
西班牙足球甲级联赛中
，
凭借最后几轮的优异成绩，
皇家马德
里队最终夺得了冠军，已知联赛积分规则是
:
胜一场得
3
分，平一场得
1
分，
负一
场得
0
分，皇家马德里队在最后<
/p>
12
场比赛中共得到
31
分，且平、负场次相同，
那么皇家马德里队最后
12<
/p>
场比赛中共胜了
________
场
.
05
．
(
重庆
)
含有同种果蔬但浓度不同的
A
，
B
两种饮料，
A
种饮料重
40
千
克，
B
种饮料重
60
< br>千克
.
现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重
量相同，再
将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合，如果混合后的两种饮
料
所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是
_________
千克
.
1
06
．<
/p>
.
已知乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的
3
调入甲组，则甲组比乙
组人数多
< br>15
人，则甲、乙两组的人数分别为
_______
、
________.
07
．小明家去年节余
5000
元，估计今年节余
9500
元，并且今年收人比去年提高
15%
，支出比去年降低
10%
，则小明家去
年的收人为
_____
元，支出为
__
_____
元
.
二、选择题
:
08
< br>．某次数学知识竞赛共出了
25
道试题，评分标准如下<
/p>
:
答对
1
题加<
/p>
4
分
;
答错
1
题扣
1
分
;
不答记
0
分
.
已知李明不答的题比答错的题多
2
道，他的总分为
74
分，
则他答对了
()
A
．
18
题
B
．
19
题
C
．
20<
/p>
题
D
．
21
题
09
．甲、乙两地相距
120km
，一艘轮船往返两地，顺流时用
5h
，逆流时用
6h
，
这艘轮船在静水中航行的速度和水流
速度分别为
( )
A
．
22km/h
，
2km/h
B
．
20km/h
，
4km/h C
．
18km/h
，
6
km/h D
．
26km/h
，
2km/h
10
．看图，列方程组
:
上图是“龟兔赛跑”的片断，假设乌龟和兔子在跑动时，均保持匀速，乌龟的速
度为
v1
米
/
小时，兔子的速度为
v2
米
/
小时，则下面的方程组正确的是
( )
200
10
v
v<
/p>
200
2<
/p>
1
v
10
1
v
2
A
．
5
v
2
< br>1000
B
．
5
v
1
1000
< br>
200
< br>v
10
200
2
v
1
v
10
v
5
v
1
2
C
．
1
1000<
/p>
D
．
5
v
2
1000
11
．用白铁
皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身
10
个或制盒底
40
个，一个盒身与两
个盒底配成一个罐头盒，现有<
/p>
120
张白铁皮，设用
x
张制盒身，
y
张制盒底，则
可
得方程组
()
< br>x
y
120,
x
y
120,
< br>x
y
120,
A
．
40
x
16
y
.
B
．
10<
/p>
x
80
y
.
C
．
40
y
2
10
x
.
D
．
< br>以
上都不对
12
．甲乙两人练习跑步，如果乙先跑
10
米，甲跑
5
秒就可追上乙
;
如果乙先跑
2
秒，甲跑
4
秒就可追上乙
.
设甲的速度为
x
米
/
秒，乙的速度为
y
米
/
秒，则可列出
的方程组为
(
)
5<
/p>
y
10
5
x
,
5
x
5
y
10,
4
5
< br>x
10
5
y
,
A
．
y
6<
/p>
x
.
B
．
4
x
6
y
.
C
．
4
x
6
y
.
5
y<
/p>
5
x
10,
D
．
4
y
6
x
.
三、解答题
13
．
(
贺州
)
福林制衣厂现有
24
名制作服装的工人，每天都制作某种品牌
的衬衫和
裤子，每人每天可制作这种衬衫
3
件或裤子
5
条
.
(1)
若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，
则
应各安排多少人制作衬衫和裤
子
?
(2)
已知制作一件衬衫可获得利润
30
元，
制作一条裤子可获得利润
16
元，若该厂
要求每天获得利润
2100
元，则需要安排多少名工人制作衬
衫
?
14
．<
/p>
(
晋江
)2010
年春季我国西南大旱，导致大量农田减产，下图是一对农民父子
的对话内容，请根据对
话内容分别求出该农户今年两块农田的花生产量分别是多
少千克
?
15
．
(<
/p>
长沙
)
“
5
·
l2
”汉川大地震后，灾区急需大量帐篷
，某服装厂原有
4
条成衣
生产线和
5
条童装生产线，
工厂决定转产，
计划用
3
天时间赶制
1
000
顶帐篷支援
灾区
.
若启用
1
条成衣生产线和
2
条童装生产线可以生产帐篷
105
顶<
/p>
;
若启用
2
条<
/p>
成衣生产线和
3
条童装生产线，一天可以
生产帐篷
178
顶
.
(1)
每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶
?
⑵工厂满负荷全面转产，
是否可以如
期完成任务
?
如果你是厂长，
你会怎样
体现你
的社会责任感
?
培优升级
奥赛检测
01
．
(
第十七届江苏省竟赛题
)
美国篮球巨星乔丹在一场比赛中
24
投
14
中，拿下
28
分
，其中三分球三投全中，那么乔丹两分球投中
______
球，
罚球投中
_______
球
.
02
．甲、乙分别自
A
，
B
两地同时相向步行，
2
小时后在途中相遇，相遇后，甲、
乙步行速度都提高了
< br>1
千米
/
时，当甲到达
B
地后立刻按原路向
A
地返回，当乙
到达
A
地后也立刻按原路
向
B
地返回
.
甲、
乙两人在第一次相遇后
3
小时
36
分钟
又再次相遇，则
< br>A
，
B
两地的距离是
_____
千米
.
03
．
(
武汉市选拔赛试题
)
某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后
四位数组成的数相加得
14405
，将前三位数组成的数与后
五位数组成的数相加得
16970
，求此人家的电话号码
.
04<
/p>
．
(
第
17
届
“希望杯”
邀请赛试题
< br>)
放成一排的
2005
个盒子中
共有
4010
个小球，
其中最左端的盒
子中放了
a
个小球，最右端的盒子放了
b
个小球，如果任意相邻
的
12
个盒子中的小球共有
24
个，则
(
).
A
，
a
＝
b
＝
2
B
．
a
＝
b
＝
1
C
．
a
＝
1
，
b
＝
2B
．
a
＝
2
，
b
＝
1
05
．
(
广西竞赛题
)
某中学全体师
生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车
坐
22
人，就会余下
1
人
;<
/p>
如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的
汽车
.
问
:
原先去租多少
辆客车和学校师生共多少人
?(
已知每辆车的容量不多于
32
人
)
06
．
(<
/p>
河南省竞赛题
)
司机小李驾车在公路上匀
速行驶，他看到里程碑上的数是两
位数，
1
小时后，看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，
再过
1
小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间
添
上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少
?
07
．
(<
/p>
第
17
届江苏省竞赛题
< br>)
某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过
35
00
米，今有甲、乙、丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道
.
他们于某天零时同时开工，每天
24
小时连续施工
.
若干天后的零时，甲完成任务<
/p>
;
几天后的
18
时，乙完成任务
;
自乙队完成的当天零时起，再过几天后的
8
时，丙
完成任务，已知三个施工队每天完
成的施工任务分别为
300
米、
240
米、
180
米，
问这段路面有多长
?
08
．
(
首届江苏省“数学文化节”能力素质挑战
题
)
如图，长方形
ABCD
中放置
9
个形状、大小都相同的小长方形
(
尺寸如图
)
，求图中
阴影部分的面积
.
09
．
(
第
9
届“华杯赛”决赛试题
)
< br>某次数学竞赛前
60
名获奖
.<
/p>
原定一等奖
5
人，二
等奖
15
人，三等奖
40
人
;
现调为一等奖
10
人，二等奖
20
人，三等奖
30
人，调
整后一等奖平均分数降低
3
分，二等奖平均分数降低
2
分，三等奖平均分数降低
1
分
.
如果原来二等奖比三等奖平均分数多了
7
分
，求调整后一等奖比二等奖平均
分数多几分
?
mx
ny
z
7
2
nx
3
y
2
mx
5
10.
已知
x
＝
2
，
y
＝－
1
< br>，
z
＝－
3
，是三元一次”程组
x
y
z
k
的
解，求
m2
－
7n
＝
3k
的值
.