人教版七年级数学上册培优辅导讲义
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人教版
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七年级数学
上册培优辅导讲义
最新人教版
七年级数学上册培优辅导讲义
第
1
讲
与有理数有关的概念
考点·方法·破译
1
．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量
.
2
．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想
.
3
．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数
轴比较两个有理数的大小，会求一个
数的相反数、绝对值、倒数
.
经典
·
考题
·
赏析
【
例
1
】写出下列各语句的实际意义⑴向前－
7
米
⑵收人－
50
元
⑶体重增加－
3
千克
【解法指
导】
用正、
负数表示实际问题中具有相反意义的量．
而相反意义的量应该包合两个
要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数
量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收
入与支出、增加与减少等等”
解：⑴向前－
7
米表示向
后
7
米⑵收入－
50
< br>元表示支出
50
元⑶体重增加－
3
千克表示体重
减小
3
千克
.
【
变式题组
】
01
．如果＋
10%
< br>表示增加
10%
，那么减少
8%
可以记作（
）
A
．
－
18%
B
．
－
8%
C
．
＋
2%
D
．
＋
8%
02
．
（金华）如果＋
3
吨表示运入仓库的
大米吨数，那么运出
5
吨大米表示为
(
)
A
．
－
5
吨
B
．
＋
5
吨
C
．
－
3
吨
D
．
＋
3
吨
03
．
（山西）
北
京与纽约的时差－
13
（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）
.
如现在是北京
时间
< br>15
：
00
，纽约时问是
_
【
例２
】
在－，
π
，
0
，
0.0
33
3
这四个数中有理数的个数（
)
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
.
<
/p>
正整数
正有理数
正分数
【
解法指导
】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数
0
；
负整数
负有理数
负份数
正整数
整数
0
负整数
；其中分数包括有限小数和无限循环小数，
（
2<
/p>
）按整数、分数分类，有理数
正分数
分数
负分数
因为
π
＝3.1415926…是无限不循环小数，
它不能写成分数的形式，
所以
π
不是有理数，
< br>－是
分数，
0.0
33
3
是无限循环小数可以化成分数形式，
0
是整数，所以都是有理数，故选
C
．
.
1
/
73
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人教版
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七年级数学上册培优辅导讲义
【
变式题组
】
01
．在
7
，
0
，
15
，－
，－
301
，
31.25
，－，
100
，
1
，－
3
001
中，负分数为
，整
数为
，正整数
.
02
．
（河北秦皇岛）
请把下
列各数填入图中适当位置
15
，
－，<
/p>
，
－，
0.1
，
－
5.32
，
123,
2.333
【
例３
】
（宁夏）有一列数为－
< br>1
，，－，，－，，…，找规律到第
2007
个数是
.
【
解
法指导
】从一系列的数中发现规律，
首先找出不变量和变量，
再依变量去发现规律．归纳去
猜想，<
/p>
然后进行验证
.
解本题会有这样的规律：
⑴各数的分子部是
1
；
⑵各数的分母依次为
1
，
2<
/p>
，
3
，
4
，
5
，
6
，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第
200
7
个数的分子也是
1
．分母是
2007
，并且是一个负数，故答案为－
.
【
变式题组
】
01
（湖北宜昌）数学解密：第一个数是
3
＝
2
＋
1
，第二个数是
5
＝
< br>3
＋
2
，第三个数是
9
＝
5
＋
4
，第四个数是
17
＝
9
＋8…观察并猜想第六个数是
.
02
．
（毕节）毕达哥拉斯学派发
明了一种“馨折形”填数法，如图则？填
.
03
．
（茂名）有一组数
1
，<
/p>
2
，
5
，
10
，
17
，
26…
请
观察规律
，则第
8
个数为
.
【例
４】
（
2008
年河北张家口）若
1
＋的相反数是－
3
，则
m
的相反数是
.
【
解法指导
】
理解相反数的
代数意义和几何意义，
代数意义只有符号不同的两个数叫互为相
反数
.
几何意义：
在数轴上原点的两旁
且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫
互为相反
数，本题＝
2
＝
4
，则
m
的相反数－
4
。
【
变式题组
】
01
．
（四川宜宾）－
5
的相反数是
( )
A
．
5
B
．
C
．
－
5
D
．
－
02
．已
知
a
与
b
互为
相反数，
c
与
d
互为倒数，则
a
＋
b
＋＝
03
．如图为一个正方
体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形
A
、
< br>B
、
C
内分别填人
适当的
< br>数，使得它们折成正方体
.
若相对的面上的两个数互为相
反数，则填入正方形
A
、
B
、
C
内的
三个数依次为
( )
A
．
－
1
,2
，
0
B
．
0
，－
2
，
1
C
．
－
2
，
0
，
1
D
．
2
，
1
，
0
【例５】
（湖北）
a
< br>、
b
为有理数，且
a
＞
0
，
b
＜
0
，＞
a
< br>，则、－
a
,
－
b
的大小顺序是
( )
A
．
b
＜－
a
＜
a
＜－
b
B
．
–
a
＜
b
＜
a
＜－
b
C
．
–
b
＜
a
＜－
a
＜
b
D
．
<
/p>
–
a
＜
a
＜－
b
＜
b
【解法指导】
理解绝对值的几何意义：
一个数的绝对值就是数轴上表示
a
的点到原点
的距离
,
a
(
a
0)
即
,
用
式
子
表
示
为
＝
0(
a
0)
.
本
题
注
意
数
< br>形
结
合
思
想
，
画
一
条
数
轴
a
(
a
0)
标出
a
、
b
,
依相反数的意义标出－
b
,
－
a
,
故
选
A
．
【变式题组】
01
．
推理
①若
a
＝
b
，
则＝；②若＝，则
a
＝
b
；③若
a
≠
b
，则≠；④若
≠，则
a<
/p>
≠
b
，其中正确的个数为（
）
2
/
73
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七年级数学上册培优辅导讲义
A
．
4
个
B
．
3
个
C
．
2
个
D
．
1
个
02
．
a
、
b
、
c
三个数在数轴上的位置如图，则＋＋＝
.
03
．
a
、
b
、
c<
/p>
为不等于
O
的有理数，则＋＋的值可能是
.
【例６】
（江西课改）已知－
4|
＋－
8|
＝<
/p>
0
，则的值
.
【解法指导】
本题主要考查绝对值概念的运用，
因为任何有理数
a
的绝对值都是非负数，
即
≥0．所以－4|≥0，－8|≥0.而两个非负数之和为
0
，则两数均为
0.
解：
因为－4|≥0，－8|≥0，又－
4|
＋－
< br>8|
＝
0
，∴－
4|
＝
0
，－
8|
＝
0
即
< br>a
－
4
＝
0
，
b
－
8
＝
0
，
a
＝
4
，
b
＝
8.
故＝＝
【变式题组】
01
< br>．已知＝
1
，＝
2
，＝
3
，且
a
＞
b
＞
c
< br>，求
a
＋
b
＋
C
．
02
．
（毕节）若－
< br>3|
＋＋
2|
＝
0
，则
m
＋
< br>2
n
的值为
( )
A
．
－
4
B
．
－
1
C
．
0
D
．
4
03
．已知＝
8
，＝
< br>2
，且－＝
b
－
a
，求
a
和
< br>b
的值
2
【例７】
（第
18
届迎春杯）已知
(
m
＋
n
)
＋＝
m
，且
|2
m
－
n
－
< br>2|
＝
0
．求的值．
2
【解法指导】本例的关键是通过分析
(
m
＋
n
)
＋的符号，挖掘出
m
的符
号特征
,
从而把问题
2
转化为
(
m
＋
n
)
＝
0
，
|2
m
－
n
－
2|
＝
0
，找到解题途径
.
2
2
2
解：∵(
m
＋
n<
/p>
)
≥0，≥
O
∴(
m
＋
n<
/p>
)
＋≥0，而
(
m
＋
n
)
＋＝
m
2
2
∴
m<
/p>
≥0,∴(
m
＋
n
)
＋
m
＝<
/p>
m
，即
(
m
＋
n
)
＝
0
∴
m
＋
n
＝
O
①
又∵|2
< br>m
－
n
－
2|
＝
0
∴2
m
－
n
－
< br>2
＝0 ②
由①②得
m
＝，
n
＝－，∴
＝－
【变式题组】
2
01
．已知
(
a
＋
b
)
< br>＋＋
5|
＝
b
< br>＋
5
且
|2
a
－
b
–
1|
＝
0
，求
a
－
b
．
02
．<
/p>
（第
16
届迎春杯）已知
y
＝－＋＋
19|
＋－
a
－
96|
，如果<
/p>
19
＜
a
＜
96
．
a
≤
x
≤96,求
y
的<
/p>
最大值
.
演练巩固
·
反馈提高
01
．观察下列有规律的数…根据其规律可知第
9
个数是<
/p>
( )
A
．
B
．
C
．
D
．
0
2
．
（芜湖）－
6
的绝对值是
( )
A
．
6
B
．
－
6
C
．
D
．
－
03
．在
－
,
π
,8.
0.3
四个数中，有理数的个数为
( )
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
04
．
若一个数的相反数为
a
＋
b
，则这个数是
( )
A
．
a
－
b
B
．
b
－
a
C
．
–<
/p>
a
＋
b
D
．
–<
/p>
a
－
b
05
．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是
6
，这两个数是
( )
A
．
0
和
6
B
．
0
和－
6
C
．
3
和－
3
D
．
0
和
3
06
．若－
a
不是负数，则
a
( )
3
/
73
.
(
人
教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
A
．
是正数
B
．
不是负数
C
．
是负数
D
．
不是正数
07
．下列结论中，正确的是( )①若
a
＝
b
,
< br>则＝
②若
a
< br>＝－
b
,
则＝③若
＝，则
a
＝－
b
④若＝
,
则
a
＝
b
A
．
①②
B
．
③④
C
．
①④
D
．
②③
08
．
有理数
a
、
b
在数轴上的对应点的位置如图所示
,
则
a
、
b
，－
a
，的大小关系正确
的是
( )
A
．
＞
a
＞－
a
＞
b
B
．
＞
b
＞
a
＞－<
/p>
a
C
．
a<
/p>
＞＞
b
＞－
a<
/p>
D
．
a
＞＞－
a
＞
b
09
．<
/p>
一个数在数轴上所对应的点向右移动
5
个
单位后，
得到它的相反数的对应点，
则这个数
< br>是
.
10
．已知＋
2|
＋＋
2|
＝
0
，则＝
.
11<
/p>
．
a
、
b
、
c
三个数在数轴上的位置如图，求＋＋＋<
/p>
=
12
．若三个不相等的有理数可以表
示为
1
、
a
、
a
＋
b
也可以
表示成
0
、
b
、的形式，试求
a
、
b
的值
.
13
．已知＝
4
，＝
5
，＝
6
，且
a
＞
b
＞
c
，求
a
＋
b
－
c
．
14
．具有非负性，也有最小值为
0
，
试讨论：当
x
为有理数时，－
1|
＋－
3|
有没有最小值，
< br>如果有，求出最小值；如果没有，说明理由
.
15
．点
A
、
B
在数轴
上分别表示实数
a
、
b
，
A
、
B
两点之间的距离表示为．当
A
、
B
两点中
有一点在原点时，不妨设点
A<
/p>
在原点，如图
1
，＝＝＝－当
A
、
B
两点都不在原点时
有以下
三种情况:①如图
2
，点
A
、
B
都在原点的右
边＝－＝－＝
b
－
a
< br>＝－；②如图
3
，点
A
、
B
都
在原点的左边，
＝－＝－＝－
b
－
(
< br>－
a
)
＝－；③如图
4
，点
A
、
B
在原点的两边，＝－＝－
＝－
b
－（－
a
）＝－；综上，数轴上
A
、
B
两点之
间的距离＝－．
回答下列问题
:
⑴数轴上表示
2
和
5
的两点之间的
距离是
,
数轴上表示－
2
和－
5
的两点之间的距离
是
,
，数轴上表示
1
和－
3
的两点之间的距离是
；
⑵数轴上表示
x
和－
1
的两点分别是点
A
和
B<
/p>
，则
A
、
B
之间的距离是
，如果＝
2
，那
么
x
＝
；
<
/p>
⑶当代数式＋
1|
＋－
< br>2|
取最小值时，相应的
x
的取
值范围是
．
培优升级
·
奥赛检测
<
/p>
01
．
（重庆市竞赛题）在数轴上任取一
条长度为
1999
的线段，则此线段在这条数轴上最多能
盖住的整数点的个数是
( )
A
．
1998
B
．
1999
C
．
2000
D
．
2001
4
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导
讲义
02
．
（第
18
届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数
a
、
b
、
< br>c
对应的点的位置如图所示，有
下列四个结论：①＜
0;
②－＋－＝－；③（
a
－
b
）
(
b
－
c
)(
c
－
a
)
＞
0
；④＜
1
－
．其中正确的
结论有
( )
A
．
4
个
B
．
3
个
C
．
2
个
D
．
1
个
03
．
如果
a
、
b
、
c
是非零有理数，且
a
＋
b
＋
c
＝
0
．那么＋＋
-
的所有可能的值为（
）
A
．
－
1
B
．
1
或－
1
C
．
2
或－
2
D
．
0
或－
2
04
．已知＝－
m
，化简－
1 |
－－
2|
所得结果
(
)
A
．
－
1
B
．
1
C
．
2
m
－
3
D
．
3
－
2
m
05
．如果
0
＜
p
＜
15
，
那么代数式－＋－
15|
＋－
p
－
15|
在
p
≤
x
≤
15
的最小值
( )
A
．
30
B
．
0
C
．
15
D
．
一个
与
p
有关的代数式
< br>06
．＋
1|
＋－
2|
＋－
3|
的最小值为<
/p>
.
07
．若
a
＞
0
，
b
＜
0
，使－＋－＝
a
－
b
成立的
x
取值范围
.
08
．
（
武汉市选拔
赛试题）
非零整数
m
、
n
满足＋－
5
＝
0
所有这样的整数组
(
m<
/p>
，
n
)
共有
组
0
9
．若非零有理数
m
、
n
、
p
满足＋＋＝
1
．则＝
.
10
．
（
19
届希望杯试题）试求－
1|
＋－
2|
＋－
3|
＋…＋－
1997|
的最小值
.
11<
/p>
．已知
(
＋
1|
＋－
2|)
（－
2|
＋＋
1|
）
（－
3|
＋＋
1|
）＝
36
，求
x
＋
2
y
＋
< br>3z
的最大值和最小
值
.
12
．电子跳蚤落在数轴上的某点<
/p>
k
0
，第一步从
k
0
向左跳
1
个单位得
k
1
，第二步由
k
1
向右跳
2
个单位到
k
2
，
第三步由
k
2
向左跳<
/p>
3
个单位到
k
3
，
第四步由
k
3
向右跳
4
个单位到
< br>k
4
…按以上规
律跳
100
步时，电子跳蚤落在数轴上的点
k
100
新表示的数恰好
19.94
，试求
k
0
所表示的数
.
13
．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺次有电脑<
/p>
15
台、
7
台、
11
台、
3
台
，
14
台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学
调出电脑，问怎样调配才能使
调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数
.
5
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
第
02
讲
有理数的加减法
考点·方法·破译
1
．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义
.
2
．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算
.
3
．理解有理数减法与加法的转换关系，
会用有理数减法解决生活中的实际问题
.
4
< br>．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和
.
经典·考题·赏析
【
例１
】
（河北唐山）某天股票
A
开盘价
18
元，上午
11:30
跌了
1.5
元，下
午收盘时又涨
了
0.3
元，则股票
A
这天的收盘价为（
）
A
．
0.3
元
B
．
16.2
元<
/p>
C
．
16.8
元
D
．
18
元
【
解法指导
】
将实际问题转化为有理数的加法运算时，
首先将具有相反意义的量确
定一个为
正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，
取相同符号并用绝对值相
加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对
值减去较小绝对值
.
解：
18
＋（－
1.5
）
＋（<
/p>
0.3
）＝
16.8
，故选
C
．
【
变式题组
】
01
．
今年陕西省元月份某一天的天气
预报中，
延安市最低气温为－
6
℃，<
/p>
西安市最低气温
2
℃，
< br>这一天延安市的最低气温比西安低（
）
A
．
8
℃
B
．－
8
℃
C
．
6
℃
D
．
2
℃
02
．
（河南）飞机的高度为
2400
米，上升
250
米，又下降了
327
米，这是飞机的高度为
< br>
03
．
（浙江）珠穆朗玛峰海
拔
8848
m
，吐鲁番海拔高度为－<
/p>
155
m
，则它们的平均海拔高度为
【
例２
】计算（－
83
）＋（＋
26
）＋（－
17
）＋（－
26
）＋（＋
15
）
【
解
法指导
】
应用加法运算简化运算，
－<
/p>
83
与－
17
相
加可得整百的数，
＋
26
与－
26
互为相
反数，
相加
为
0
，
有理数加法常见技巧有：
⑴互为相反数结合一起；
⑵相加得整数结合一起；
⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起
.
解：
（－
83
）
＋
（＋
26
）
＋
（－
17
）
＋
（－
26
）
＋
（＋
15
）
＝
[
（－
83
）
＋
（－
17
）
]
＋
[
（＋
26
）＋（－
26<
/p>
）
]
＋
15
＝（－
100
）＋
15
＝－
85
【
变式题组
】
01
．
（－
2
.5
）＋（－
3
1
3
1
）＋（－
1
< br>）＋（－
1
）
2
4
4
02
．
（－
13.
6
）＋
0.26
＋（－
2.7
）＋（－
1.06
）<
/p>
03
．
0.125
＋
3
【
例３<
/p>
】计算
1
1
2<
/p>
＋（－
3
）＋
1
1
＋（－
0.25
）
< br>
4
8
3
1
1
1
1
2
2
3
3
4
1
2008
2009
6
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
【
解法指导
】依
1
1
1
进行裂项，然后邻项相消进行化简求和
.
n
(
n
1)
n
n
1
解：原式＝
(1
)
(
)
(
<
/p>
)
1
2
1
1
2
3
1
1
3
4
(
1
1
)
2008
< br>2009
1
4
1
2
1
8
1
16
1
1
64
32
1
1
1
1
1
＝
1
2
2
3
3
4
1
1
1
2008
＝
1
＝
2008
2009
2009
2009
【
变式题组
】
01
．计算
1
＋（－
2
）＋
3
＋（－
4
）＋
…
＋
99<
/p>
＋（－
100
）
02
．
如图，把一个面积为
1
的正方形等分成两个面积为
1
1
的长方形，接着把面积为
的长
2
2
方形等分成两个面积为
1
1
1
的正方形，
再把面积为
的正方形等分成两个面积为
的长方形，
4
4
8
1
1
1
1
1
1
1
1
<
/p>
＝
.
2
4
8
16
32
64
128
256<
/p>
如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算
【
例４
】如果
a
＜
< br>0
，
b
＞
0
，
a
＋
b
＜
0
，那么下列关系中正确的是（
）
A
．
a
＞
b
＞
－
b
＞
－
a
B
．
a
＞
－
a
＞
b
＞
－
b
C
．
b
＞
a
＞<
/p>
－
b
＞
－
a
D
．
－
a
＞
b
＞
－
b
＞
a
< br>
【
解法指导
】紧扣有理数加法
法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，
然后根据相反数的关系将它
们在同一数轴上表示出来，即可得出结论
.
解：∵
a
＜
0
，
b
＞
0
，∴
< br>a
＋
b
是异号两数之和又
a
＋
b
＜
0
，∴
a
、
b
中负数的绝对值较大，∴
|
a
|
＞
|
b
|
将
a
、
b
、－
a
、
－
b
表示在同一数轴上，如图，则它们
的大小关系是
－
a
＞
< br>b
＞
－
b
＞
a
【
变式题组
】
a
b
0
-b<
/p>
01
．若
m
＞<
/p>
0
，
n
＜
0
，且
|
m
|
＞
|
n
|
，则
m
＋
n
0.
（填＞、＜号）
02
．若
m
＜
0
，
n
＞
0
，且
|
m
|
＞
|
n
|
，则
m
＋
n
0.
（填＞、＜号）
03
．已知
a
＜
0
，
b
＞
< br>0
，
c
＜
0
，且
|
c
|
＞
|
b
|
＞
|
a
|
，试比较
a
、
b
、
c
、
a
＋
b
、<
/p>
a
＋
c
的大小<
/p>
【
例５
】
4
-a
2
3
8
－（－
33
）－（
－
1.6
）－（－
21
）
5
11
< br>11
【
解法指导
】有理数减法的
运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，
并把减数
变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算
.
解：<
/p>
4
2
3
8
2
3
8
－（－
33
）－（－
1.6
）－（－
21
）＝
4
< br>＋
33
＋
1.6
＋
21
5
< br>11
11
5
11
11
3
8
＋
< br>21
）＝
6
＋
< br>55
＝
61
11
11
＝
4.4
＋
1.6
＋（
33
【
变式题组
】
7
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
0
1
．
(
)<
/p>
(
)
(
)
(
)
(
1
)
02
．
4
03
．<
/p>
178
－
87.21
－（－
43
2
3
< br>1
2
5
6
1
3
1
2
3
1
－（＋
3.85
）－（－
3
）＋（－
3.15
）
4
4
2
19
）＋
153
－
12.79
21
21
【
例６
】试看下面一列数：
25
、
23
、
21
、
19
…⑴观察这列
数，猜想第
10
个数是多少？第
n
个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有
正数的和
.
【
解
法指导
】寻找一系列数的规律，
应该从特殊到一般，
找到前面几个数的规律，
通过观察
推理、猜想出第
n
个数的规律，再用其它的数来验证
.
解：⑴第
10
个数为
< br>7
，第
n
个数为
25
－
2(
n
－
1)
⑵∵
n
＝
13
时，
25
－
2(13
－
1)
＝
1
，
n
＝
14
时，
25
－
2(14
－
1)
＝－
1
故这列数有
13
个数为正
数，从第
14
个数开始就是负数
.
⑶这列数中的正数为
25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1
，其和＝（
25
＋
1
）＋（
23
＋
3
）
＋…＋（
15
＋
11
）＋
13
＝
26
×
6
＋
13
＝
169
【
变式题组
】
01
．
(
杭州
)
观察下列等式
1
－
1
1
2
8
3
27
4
6
4
＝
，
2
－<
/p>
＝
，
3
－
＝
，
4
－
＝
…依你发
2
2
5
5
10
10
17
17
现的规律，解答下列问题
.
⑴写出第
5
个等式；⑵第
10
个等式右边的分数的分子与分母
的
和是多少？
02
．观察下列等式的规律
9
－
1
＝
8,16
－
4
＝
12,25
－
9
＝
16,36
－
16
＝
20
⑴用关于
n
（
n
≥
1
的
自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于
200
8
时求
n
.
【
例７
】
（第十届
希望杯竞赛试题）
求
1
1
2
1
2
3
< br>1
2
3
＋
（
＋
）
＋
（
＋
＋
）
＋
（
＋
＋
＋
2
3
3
4
4
4
5
5
< br>5
8
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册
培优辅导讲义
4
1
< br>2
48
49
）＋
…
＋（
< br>＋
＋…＋
＋
）
< br>
5
50
50
< br>50
50
【
解法指导
】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成
1
，由此我们采
取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了
.
解：设
S
＝
1
1
2
1
2
3
1
2
48
49
＋（
＋
）＋（
＋
＋
）＋
…
＋（
＋
＋…＋
＋
）
2
3
3
< br>4
4
4
50
50
50
50
则有
S
＝
1
2
1
3
2
1
49
48
2
1
＋（
＋
）＋（
＋
＋
）＋
…
＋（
＋
＋…＋
＋
）
2
3<
/p>
3
4
4
4
50
50
50
50<
/p>
将原式的和倒序再相加得
2
S
＝
1
1
1
2
2
1
1
2
3
3
2
1
1
＋
＋（
＋
＋
＋
）＋（
＋
＋
＋
＋
＋
）＋
…
＋（
＋<
/p>
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
50
2
48
49
49
48
2
1
＋…＋
＋
＋
＋
＋…＋
＋
）
50
50
50
50
50
50
50
即
2
S
＝
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
49
＝
49
(49
1)
1225
＝
1225
∴
S
＝
2
2
【
变式题组
】
2
3
4
5
6
7
8
9
10
01
．计算
2
－
2
－
2
－
2
－
2
－
2
－
2
－
2
－
2
＋
2<
/p>
02
．
（第
8
届希望杯试题）计算（
1
－
< br>1
1
1
1
1
1
1
－
－
…－
）
（
＋
＋
＋…＋
＋
2
3
2003
2
3
4
2003
1
1
1
1
1
1
1
1
）－（
1
－
－
－…－
）
（
＋
＋
＋…＋
）
2004
2
3
2004
2
3
4
2003
演练巩固·反馈提高
01
．
m
是有理数，则
m
＋（
）
A
．可能是负数
B
．不可能是负数
C
．必是正数
D
．可能是正数，也可能是负数
02
．如果＝
3
，
＝
2
，那么＋为（
）
A
．
5
B
．
1
C
．
1
或
5
D
．±
1<
/p>
或±
5
03<
/p>
．在
1
，－
1<
/p>
，－
2
这三个数中，任意两数之和的最大
值是（
）
9
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导
讲义
A
．
1
B
．
0
C
．－
1
D
．－
3
<
/p>
04
．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（
）
A
．两数一定都是正数
B
．两数都不为
0
C
．至少有一个为负数
D
．至少有一个为正数
05
．下列等式一定成立的是（
）
A
．－
x
＝
0 <
/p>
B
．－
x
－
x
＝
0
C
．＋
|<
/p>
－
＝
0
D
．－＝
0
06
．
一天早晨的气温是－
6
℃，
中午又上升了
10
℃，
午间又下降了
8
< br>℃，
则午夜气温是
（
）
A
．－<
/p>
4
℃
B
．
4
℃
C
．－
3
℃
D
．－<
/p>
5
℃
07
．若
a
＜
0
，则
－
(
－
a
)
|
等于（
）
A
．－
a
B
．
0
C
．
2
a
D
．－
2<
/p>
a
08
．设<
/p>
x
是不等于
0
的
有理数，则
|
x
|
x
||
值为（
< br>
）
2
x
A
．
0
或
1
B
．
0
或
2
C
．
0
或－<
/p>
1
D
．
0
或－
2
09
．
（济南）<
/p>
2
＋
(
－
2)
的值为
10<
/p>
．用含绝对值的式子表示下列各式：
⑴
若
a
＜
0
，<
/p>
b
＞
0,
则
b
－
a
＝，
a
－
b
＝⑵若
a
＞
b
＞
0
，
则－＝
⑶若
a
＜
b
＜
0
，则
a
－
b
＝
11
．计算下列各题：
⑴
23
＋（－
27
）＋
9
＋
5
⑵－
5.
4
＋
0.2
－
0.6
＋
0.35
－
< br>0.25
⑶－
0.5
－
3
12
．计
算
1
－
3
＋<
/p>
5
－
7
＋
9
－
11
＋…＋
97
－
99
13
．某
检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从
A
< br>地出发到收
工时所走的路线（单位：千米）为：＋
10<
/p>
，－
3
，＋
4<
/p>
，－
2
，－
8<
/p>
，＋
13
，－
7
，＋
12
，＋
7
，
＋
5
⑴问
收工时距离
A
地多远？⑵若每千米耗油
0.2
千克，
问从
A
< br>地出发到收工时共耗油多
少千克？
14<
/p>
．将
1997
减去它的
< br>1
1
＋
2.75
－
7
4
2
⑷
33.1
－
10.7
－（－
22.9
）－
|
－
23
|
10
1
1
1
1
，再减去余下的
，再减去余下的
，再减去余下的
……以此类
2
3
4<
/p>
5
1
，最后的得数是多少？
1997
10
/
73
推，直到最后减去余下的
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
15
．独特的埃及分数：埃及同中国
一样，
也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与
众不同
，他们一般只使用分子为
1
的分数，例如
1
1
2
1
1
1
3
＋
来表示
，用
＋
＋
表示
3
15
5
4<
/p>
7
28
7
等等<
/p>
.
现有
90
个埃
及分数：
1
1
1
1
1
1
，
，
，
，…
，
，你
能从中挑出
10
个，加上正、
2
3
4
5
90
91
负号，使它们的和等于－
1
吗？
培优升级·奥赛检测
01
．
（第
16
届希望杯邀请
赛试题）
1
2
3
4
14
15
等于（
）
2
4
6
8
28
30
C
．
A
．
< br>1
4
B
．
1
4
1
2
D
．
1
2
02
．
自然数
a
、
b
、
c
、
d
满足
1
1
1
1
1
< br>1
1
1
＋
＋
＋
＝
1
，
则
＋
＋
＋
等于
（
）
a
2
b
2
c
2
d
2
a
3
b
4
c
5
< br>d
6
C
．
A
．
1
8
B
．
3
16
7
32
D
．
15
<
/p>
64
03
．
（第
17
届希望杯邀请赛试题）
a
、
b
、
c
、
d
是互不相等的正整数，且＝
441
，则
a
＋
< br>b
＋
c
＋
d
值是（
）
A
．
30
B
．
32
C
．
34
D
．
36
<
/p>
04
．
（第
7<
/p>
届希望杯试题）若
a
＝
< br>19951995
19961996
19971997<
/p>
，
b
＝
，
c
＝
，则
a
、
b
、
c
19961996
19971997
1998199
8
C
．
c
＜<
/p>
b
＜
a
D
．
a
＜
c
＜
b
大小关系是（
）
A
．
a
＜
b
＜
c
B
．
b
＜
c
< br>＜
a
05
．
(1
1
1
1
)(1
)(1
)
1
3
2
4
3
5
(1
1
1
)(1
)
的值得整
数部分为
1998
2000
1999
2001
1
1
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
（
）
A
．
1
B
．
2
C
．
3
2004
2003
< br>06
．
(
－
2)
＋
3
×
(
－
2)
的值为（
< br>
）
2003
2003
2004
A
．
－
2
B
．
2
C
．－
2
<
/p>
2004
07
．
（希望杯邀请赛试题）若＝
m
＋
1
，则
(4
m
＋
1)
＝
08
．
D
．
4
D
．
2
2004
1
1
2
1
2
3
1
2
59
＋（
＋
）＋（
＋
＋
）＋
…
＋（
＋
＋…＋
）＝
2
3
3
4
4
4
60
60
60
191919
7676
＝
767676
1919
2
3
4
5
6
7
8
< br>9
10
09
．
< br>10
．
1
＋
2
－
2
－
2
－
2
－
2<
/p>
－
2
－
2
－
2
－
2
＋
2
＝
2001
2002
2003
1
1
．求
3
×
7
×
13
所得数的末位数字为
2
12
．已知
(
a
＋
b
)
＋＋
5|
＝
b
＋
5
，且
|2
a
－
b
< br>－
1|
＝
0
，求
13
．计算
(
1
1
1
1<
/p>
1
－
1)(
－<
/p>
1) (
－
1)
…
(
－
1)
(
－
1)
1998
< br>1997
1996
1001
10
00
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
14
．请你从下表
归纳出
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋…
＋
n
的公式并计算出
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
100
的
值
.
1
< br>3
1
2
3
4
5
2
3
2
4
6
8
10
考点·方法·破译
3
3
4
3
5
3
3
4
6
9
12
15
8
12
16
20
5
10
15
20
25
< br>第
03
讲
有理数的乘除、乘方
1
．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会
利用运算律简化乘法运算
.
2
．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算
.
3
．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算
.
4
．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四
则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合
运算
.
5
．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握
有理数的混合运
算
.
12
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
经典·考题·赏析
【
例１
】计算⑴
1
1
1
1
1
1
(
)
⑵
⑶
(
)
(
)
< br>
⑷
2500
0
2
4
2
4
2
4
1
9
3
7
⑸
(
)
(
)
(1
)
(
)
【
解法指导
】掌握有理数乘法法则，<
/p>
正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二
是细心、稳
妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积
.
解：
⑴
3
5
7
6<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
⑵
(
)
2
4
2<
/p>
4
8
2
4
2
4
8
⑶
(
)
(
)
(
)
1
2
3
5<
/p>
1
4
1
1
2
4
1
⑷
2500
0
0
8
3
7
10
3
1
)
5
6
9
7
3
⑸
(
)
(<
/p>
)
(1
)
(
)
(
【
变式题组
】
7
6
1
9
3
7
01
．⑴
(
5)
(
6)
⑵
(
)
1
⑶
(
8)
(3.76)<
/p>
(
0.12
5)
⑷
(
3)
<
/p>
(
1)
2
(
6)
0
(
2)
⑸
12
<
/p>
(2
2
．
(
9
4
．
(
5)
3
2
3
(
6)
3
【
例２
】已
知两个有理数
a
、
b
< br>，如果
＜
0
，且
a
＋
b
＜
0
，那么（
）
A
．
a
＞
0
，
b
＜
0
B
．
a
＜
0
，
b
＞
0
C
．
a
、
b
异号
D
．
a
、
b
异号且负数的绝对值较大
【
解法指导
】依有理数乘法法则，异号为负，故
a
、
b
异号，又依
加法法则，异号相加取绝
13
/
73
1
2
1
4
1
1
1
1
1
1
1
)
4
2
6
< br>12
24
1
1
< br>1
1
)
50
3
．
(2
3
4
5)
(
< br>
)
25
2
3
4
5
1
3
1
3
1<
/p>
3
(
人教版
)<
/p>
七年级数学上册培优辅导讲义
对值较大数的符号，可得出判断
.
解
：由
＜
0
知
a
、
b
异号，又由
a
＋
b
＜
0
，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的
绝对值较大，选
D
．
【
变式题组
】
01
．若
a
＋
b
＋
c
＝
0
，且
b
＜
c
＜
0
，则下列各式
中，错误的是（
）
A
．
a
＋
< br>b
＞
0
B
．
b
＋
c
＜
0
C
．＋＞
0
D
．
a
＋＞
0
02
．已知
a
＋
b
＞
0
，
a
－
b
＜
0
，＜
0
< br>，
则
0
，
0
，
.
0
3
．
(
山东烟台
)
如果
a
＋
b
＜
0
，
b<
/p>
0
，则下列结论成立的是（
）
a
A
．
a
＞
< br>0
，
b
＞
0
B
．
a
＜
0
，
b
＜
0
C
．
a
＞
0
，
b
＜
0
< br>D
．
a
＜
0
，
b
＞
0
04
．
(
广州
)
下列命题正确的是（
）
A
．若＞
0
，则
a
＞<
/p>
0
，
b
＞
0
B
．若＜
0
，则
a
＜
0
，
b
＜
0
C
．若＝
0
，则
a
＝
0
或
b
＝
0
D
．若＝
0
，
则
a
＝
0
且<
/p>
b
＝
0
【
例３
】计算
⑴
(
72)
(
18)
⑵
1
(
2
)
⑶
(
1
3
1
3
)
(
< br>)
⑷
0
(
7)
10
25
【
解法指导
】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则
1
，先把除法转化成乘法，再
确定符号，然后把绝对
值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算
.
若能整除，应用法则<
/p>
2
，可
直接确定符号，再把绝对值相除<
/p>
.
解：⑴
(
72)
(
18)
72
18
4
⑵
1
(
2
)
1
(
)
1
< br>(
)
1
3
7
3
3
7
3
7
⑶
(
1
3
1
25
5
)
(
)
(
)
(
)
⑷
0
(
< br>7)
0
10
25
10
3
< br>6
【
变式题组
】
01
．⑴
(
32)
(
8)
⑵
2
02<
/p>
．⑴
29
3<
/p>
03
．
1
3
1
1
1
(
1
)
⑶
0
(
2
)
⑷
(
)
(
1
)
7
8
3
6
3
1
3
< br>1
1
5
3
⑵
(
)
(
3
)
(
1
)
< br>3
⑶
0
(
)
3
5
3
5
2
4
1
1
3
< br>(
)
(1
0.2
)
(
3)
2
4
5
【
例４
】<
/p>
（茂名）若实数
a
、
b
满足
a
b
ab
＝
.
0
，则
ab
a
b
14
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
【
解法指导
】依绝对值意义进行分类讨论，得出
< br>a
、
b
的取值范围，进一步代入
结论得出结
果
.
解：当
＞
0
，
a
< br>b
2(
a
0,
b
0)
a
b
ab
；当
＜
0
，
＝－
1.
0
，
∴
＜
0
，从而
2(
a
0
,
b
0)
a
b
ab
a<
/p>
b
【
变式题组
】
01
．若
k
是有理数，则
(
＋
k
)
÷
k
的结果是（
）
A
．正数
B
．
0
C
．负数
D
．非负数
02
．若
A
．
b
都是非零有理数，那么
a
b
ab
的值是多少？
a
b
ab<
/p>
03
．如果
x
x
y
y
2
0
，试比较
<
/p>
x
与
xy
的大小
.
y
2008
【
例５
】已知
x
(
2)
,
y
1
⑴求
xy
2
3
x
3
的值；
⑵求
2008
的值
.
y
【
解法指导
】
a
n
表示
< br>n
个
a
相乘，根据乘方的符号法
则，如果
a
为正数，正数的任何次幂
都
是正数，如果
a
是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是
正数
.
解：∵
x
(
2)
,
y
1
⑴当
x
2,
y
<
/p>
1
时，
xy
当<
/p>
x
2,
y
1
时，
xy
2008
2<
/p>
2
3
2008
2(
1)
2
008
2
(
2)
(
1)
20
08
2
x
3
2
3
x
3
(
2)
3
⑵当
x
2,
y
1
时，
2008
8
,
x
2,
y
1
< br>时，
2008
8
2008
2008
y
(
1)
y
(
1)
【
变式题组
】
01
．
（北京）若
m
n
(
m
2)
2
0
，则
m
的值是
.
02
．已知
x
、
y
互为倒数，且绝对值相等，求
(
x
)
y
的值，这里
n
是正整数
.
【
例６<
/p>
】
（安徽）
2007
年我省为
135
万名农村中小学生免费提供教科书，
减轻了农民的负担，
135
万用科学记数法表
示为（
）
6
6
7
7
A
．
0.135
×
10
B
．
1.35
×
10
C
．
0.135
×
10
D
．
1.35
×
10
【
解法指导
】将
一个数表示为科学记数法的
a×10
n
的形式，其中
a
的整数位数是
1
位
.
故答
案选
B
．
【
变式题组
】
01
．
（武汉）武汉市今年约有
103000
名学生参加中考，
103000
用科学记数法表示为（
）
5
5
4
3
A
．
1.03
×
10
B
．
0.103
×
10
C
．
10.3
×
10<
/p>
D
．
< br>103
×
10
02
．
（沈阳）沈阳市计划从
2008
年到
2012
年新增林地面
积
253
万亩，
253
万亩用科学记数
法表示正确的是（
）
15
/
73
n
n
n
(
人教版
)
七
年级数学上册培优辅导讲义
A
．
25.3
×
10
亩
B
．
< br>2.53
×
10
亩
C
．
253
×
10
亩
D
．
2.53
×
10
亩
【
例７
】
（上海竞赛）
< br>
5
6
4
7
1
2
2
2
k
2
99
2<
/p>
<
/p>
2
<
/p>
2
1
2
100
5000
2
2
200
5000
k
100
k
5000
99
9900
5000
【
解法指导
】找出
k
100
k
5000
的通项公式＝
(
k
< br>50)
50
2
2
2
1
2
2
2
k
2
99
2
原式＝
2
2
2
2
2
2
2
2
(1<
/p>
50)
50
(2
50)
50
(
k
50)
50
(99
50)
50
1
2
99
2
2
2
98
2
]
[
]
＝
[
(1
50)
2<
/p>
50
2
(99
50)
2
50
2
(2
50)
2
5
0
2
(98
50)
2
50
2
49
2
51
2
50
2
[
]
＝
2
2
2+1
＝
99
2
2
2
2
2
2
(49
50)
50
(51
50)
50
(50
50)
50
49
个
【
变式题组
】
1
3
3
3
3
+
+
+
=(
)
2+4+6+
+1004
2+4+6+
+1006
2+4+6+
+
1008
2+4+6+
+200
6
A
．
3
3<
/p>
1
1
B
．
C
．
D
．
334
1003
1004
1000
1
1
1
1
1
1
1
1
1.
求
2
5
8
11
20
41
11
0
1640
2
．
（
第
10
届
希
望
杯
试
题<
/p>
）
已
知
1
1
1
1
1
1
1
1
的值
.
2
5
8
11
20
41
110
< br>1640
演练巩固·反馈提高
01
．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（
）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
1
个或
< br>3
个
02
．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（
）
A
．互为相反数
B
．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数
< br>
C
．都是负数
D
．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数
< br>
03
．已知
＞
0
，
a
＞
0
，＜
0
，则下列结论正确的是（
）
A<
/p>
．
b
＜
0
，
c
＞
0
B
．
b
＞
0
，
c
＜
0
C
．
b<
/p>
＜
0
，
c
＜
0
D
．
b
＞
0
，
c
＞
0
04
．若＝，则（
）
A
．＞
0
B
．≥
0
C
．
a
＜
< br>0
，
b
＜
0
D
．＜
0
16
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅
导讲义
05
．若
a
、
b
互为相反数，
c
、
d
互为倒数，
m
的绝对值为
2
，则代
数式
m
cd
a
b
的值
m
为（
）
A
．－
3
B
．
1
C
．±
3 <
/p>
D
．－
3
或
1
06
．若
a<
/p>
＞
1
，则
a
的取值范围（
）
a
A
．
a
＞
1
B
．
0
＜
a
＜
1
C
．
a
＞－
1
D
．－
1
＜
a
＜
0
或
a
＞
1
< br>07
．已知
a
、
b
为有理数，给出下列条件：
①
a
＋
b
＝
0
；②
a
－
b<
/p>
＝
0
；③＜
0<
/p>
；④
a
1
，其
b
中能判断
a
、
b
互为相
反数的个数是（
）
A
．
1
个
< br>
B
．
2
个
C
．
3
个
< br>
D
．
4
个
08
．若
≠0
，则
a
b
的取值不可能为（
）
a
b
A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．－
2
0
9
．
(
2)
(
2)<
/p>
的值为（
）
A
．－
2
B
．
(
－
2)
C
．
0
D
．－
2
10
．
(
安徽
)2010
年一季度，全国城镇新增就业人数
< br>289
万人，用科学记数法表示
289
< br>万正
确的是（
）
7
6
5
4
A
．
2.89
×
10
B
．
2.89
×
10
C
．
2.89
×
10<
/p>
D
．
2.89
×
10
11
．已知
4
个不相
等的整数
a
、
b
、
c
、
d
，
它们的积
＝
9
，则
a
＋
b
＋
c
＋
d
＝
.
12
．
(
<
/p>
1)
2
n
1
21
10
11<
/p>
10
(
1)
2
n
(
1)
2
n
1
（
n
为自然数）＝
.
x
y
2
，试比较
x
与的大小
.
13
．如果
x
y
y
a
b
c
abc
14
．若
a
、
b
、
c
为有理数且
1
，
求
的值
.
a
b
c
abc
15
．若
a
、
b
、
c
均为整数，且
< br>a
b
c
a
1
.
求
a
c
c
b
b
a
的值
.
3
2
培优升级·奥赛检测
01
．已知有理数
x
、
y
、
z
两两不相等，则
x
y
y
z
z
x
,
,
中负数的个数是（
）
y
z
z
x
x
y
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
0
个或
2
个
02
< br>．计算
2
1
< br>
1,
2
1
3,
2
1
7,
2
1
15
,
2
1
<
/p>
31
归纳各计算结果中的个位
17
/
73
1
2
3
4
5<
/p>
(
人教版
)
七年
级数学上册培优辅导讲义
数字规律，猜测
2
2010
1
< br>的个位数字是（
）
A
．
1
B
．
3
C
．
7
D
．
5
03
．已知
ab
c
d
e
＜
0
，下
列判断正确的是（
）
A
．＜
0
B
．
e
＜
0
C
．
＜
0
D
．
e
＜
0
04
．若有理数
x
、
y
使得
x
y
,
x<
/p>
y
,
xy
,
24
2
4
2
3
4
5
x
这四个数中的三个数相等，则－的值是（
）
y
A
．
1
1
3
B
．
0
C
．
D
．
2
2
2
2
4
8
16
32
64
05
．若
A
＝
(2
1)(2
<
/p>
1)(2
1)(2
1)(2
1)(2
1)(2
1)
，则
A
－
1996<
/p>
的末位数字
是（
）
A
．
0
B
．
1
C
．
7
D
．
9
06
．如果
(
a
b
)
2001
1,(
a
b
)
2002
1
，则
a
2003
b
2003
的值是（
）
A
．
2
B
．
1
C
．
0
D
．－
1
0
7
．已知
a
22
,
b
3
3
,
c
55
,
d
66<
/p>
，则
a
、
b
、
c
、
d
大小关系是（
）
A
．
a
＞
b
＞
c
＞
d
B
．<
/p>
a
＞
b
＞
d
＞
c
<
/p>
C
．
b
＞
a
＞
c
＞
d
D
．
a
＞
d
＞
b
＞
c
08
．
已知
a
、
b
、
c
< br>都不等于
0
，
且
55
44
33
22
a
b
c
abc
2005
的最大值为
m
，
最小值为
n
，
则
(
m
n<
/p>
)
a
b
c
abc
＝
.
09
．
（第
13
届“华杯赛”试题）从下面每组数中
各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘
积的总和是
.
1
1
1
5
5,3
,4.25,5.75
2
,
2.25,
,
4
第一组：
第二组：
第三组：
3
3
15<
/p>
12
10
．一本书的页码从
1
记到
n
，把所有这些页码
加起来，其中有一页码被错加了两次，结果
得出了不正确的和
2
002
，这个被加错了两次的页码是多少？
11<
/p>
．
（湖北省竞赛试题）
观察下列规律排成
一列数：
，
1
1
1
2
1
2
3
1
2
3
，
，
，
，
，
，
，
，
2
1
3
2
1
< br>4
3
2
4
1
2
2
4
5
1
，
，
，
，
，
，
，…
(
＊
)
，在
(
＊
)
中左起第
m
个数记为
F(m)
，当
F(m)
1
5
4
3
2
1
6
＝
1
时，求
m
的值和这
m
个数的积
.
2001
18
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
12
．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列
9
个数：
,
,1,
2,
4,8,16,32,64
填入
方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求
x
的值
.
32
13
．
(
第
12
届“华杯赛”试题
)
已知
m
、
n
都是正整数，并且
64
x
1
1
4
2
1
1
1
1
1
1
A
(1
)(1
)(1
)(1
)
(1
)(1
);<
/p>
2
2
3
3
m
m
1
1
1
1
1
1
B
(1
< br>
)(1
)(1
)(1
)
(1
)(1
).
2
2
3
3
n
n
证明：⑴
A
m
1
n
1
1
,
B
;
⑵
A
B
，求
m
、
n<
/p>
的值
.
2
m<
/p>
2
n
26
第
04
讲
整式
考点·方法·破译
1
．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念
.
2
．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念
.
3
．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式
.
4
．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的
字母的值求多项式的值
.
经典·考题·赏析
【
例
1
】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简
要说明理由，如果是请指出它的系
数与次数
.
11
21x
3
π
r2
4-32a2b
【
解法指导
】
理解单项式的概念
:
由数与字母的乘积
组成的代数式，单独一个数或一个字
19
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
母
也是单项式，数字的次数为
0
，
π
是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数
.
解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；
⑵不是，因为代数式是与
x
的商；
⑶是，它的系数为π，次数为
2
；
⑷是，它的系数为
3
，次数为
3.
2
【
变式题组
】
< br>
01
．判断下列代数式是否是单项式
1a
2-12
312
4x
π
5
(6)2
π
x
02
．说出下列单项式的系数与次数
1-23x2y
2
35a2
4-722c
【
例２<
/p>
】如果
24
与
1
2m2x2
都是关于
x
、
y
的六次单项式且系数相等，求
m
< br>、
n
的值
.
【
解法指导
】
单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对
x
或
y
或
x
< br>、
y
等是有区别
的，该题是针对
x
与
y
而言的
，因此单项式的次数指
x
、
y
的指数之和，与字母
m
无关，此
时将
m
看成一个要求的已知数
.
解：由题意得
4=6,26,2=12m2
∴
22
【
变式题组
】
01
．
一个含有
x
、
y
的五次单项式，
x
的指数为
3
.
且当
x
＝
2
＝－
1
时，
这个单项式的值
为
32
，
求这个单项式
.
02
．
（毕节）写出含有字母
x
、
y
的五次单项式
.
【
例３
】
已知多项式
-45x2y2+23x4y31
< br>
⑴这个多项式是几次几项式？
⑵这个多项式最高
次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？
< br>
【
解法指导
】
n
个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里
次数最高项
的次数叫多项式的次数
.
解：⑴这个多项式是七次四项式；
(2)
最高次项是
23x4y3
,
二
次项系
数为－
1
，常数项是
1
.
【
变式题组
】
01
．指出下列多项式的项和次数
⑴
a3223
(2)
3n4-2n2+1
02
．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项
⑴
x322
(2)
-4x324
【
例４
】多项式
72-315
是关于
x
的三次三项式，并且一次项系数为－
< br>7
.
求
－
k
的值
【
解法指导
】
多项式的次数是单项式中次数最高的次数，
单项式的系数是数字与字母乘积中
的数字因数
.
解：因为
72-315
是关于
x
的三次三项式，依三次知
m
< br>＝
3
，而一次项系数为－
7
，即－
（
31
）＝
－
7
，故
n
＝
2
.
已有三次项为
7x3
,
一次项为－
7
x
，常数项为
5
，又多项
式为三次三
项式，故二次项的系数
k
＝
0
，故
－
k<
/p>
＝
3+2
－
0<
/p>
＝
5
.
【
变式题组
】
01
．多项式
322x21
是四次三项式，则
m
的值为（
）
A
．
2
B
．
－
2
C
．
±
2
D
．
±
1 <
/p>
02
．已知关于
x
、
y
的多项式
2+222
不含二次项，求
5
a
－<
/p>
8
b
的值
.
20
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
0
3
．
已知多项式
-56x222-12
x3+6
是六次四项式，
单项式
23x
35
的次数与这个多项式的次数
相同，求
n
的值
.
【
例５
】
已知代数式
3x2-26
的值是
8
,
求
32x21<
/p>
的值
.
【
解法指导
】
由
3x2-26=8
，现阶段还不能求
出
x
的具体值，所以联想到整体代入法
.
解：由
3x2-26=8
得由
3x2-22
32x21=12
（
3
x2-22)=12
×
2+2=2
【
变式题组
】
01
．
(
贵州
)
如果代数式－
238
的值为
18
，那么代数式
9<
/p>
b
－
62
的值等
于（
）
A
．
28
B
．
－
28
C
．
32
D
．
－
32
02
．
（同山）若
a20
,
则
2a2+22008<
/p>
的值为
.
03
．
（潍坊）代数式
3x2-46
的值为
9
,
则
x2-
436
的值为
.
【
例６
】
证明代数式
1689-(3-6m)
的
值与
m
的取值无关
.
【
解法指导
】证代数式的值与
m
的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可
.
证明：原式＝
1689-(3-6m)=1689-3+64<
/p>
∴无论
m
的值
为何，原式值都为
4
.
∴原式的值与<
/p>
m
的取值无关
.
【
变式题组
】
01
．已知
2x2+32121
,
且
36B
的值与<
/p>
x
无关，求
a
的
值
.
02
．若代数式
x227-(2-291)
的值与字母
x
的取值无关，求
a
、
b
的值
.
【
例７
】<
/p>
（北京市选拔赛）同时都含有
a
、
b
、
c
，且系数为<
/p>
1
的七次单项式共有（
）
A
．
4
B
．
12
C
．
15
D
．
25
【
解法指导
】
首先写出符合题意的单项式、
y
、
z
都是正整数，再依＝
7
< br>来确定
x
、
y
< br>、
z
的
值
.
解：
为所求的单项式，
则
x
、
y
、
z
都是正整数，
且＝
7.
当
x
＝
1
时，
y
＝
1,2,
3,4,5
＝
5,4,3,2,1.
当
x
＝
2
时，<
/p>
y
＝
1,2,3,4
＝
4,3,2,1.
当
x
＝
3
时，
y
＝
1,2,3
＝
3,2
,1.
当
x
＝
4
时，
y
＝
1,2
＝
2,1.
当
x
＝
5
时，
y
＝
z
＝
1.
所以所求的单项式的个数为
5+4+3+2+1
＝
15
，故选
C
．
【
变式题组
】
01
．已知
m
、
n
是自然数，
3b217a23c4
+11211c
是八次三项式，求
m
、
n
值
.
02
．整数
n
＝时，多项式
52-2x22
是三次
三项式
.
演练巩固·反馈提高
01
．下列说法正确的是（
）
A
．
2
是单项式
B
．
3x2y3z
的次数为
5
C
．
< br>单项式
2
系数为
0
D
．
x4-1
是四次二项式
02
．
a
表示一个两位数，
b
表示一个一位数，
如果把
b
放
在
a
的右边组成一个三位数
.
则这个
三位数是（
）
A
．
100
B
．
10
C
．
D
．
100
03
．若多项式
2y2+3x
的值为
1
，则多项式
4
y2+69
的值是（
）
A
．
2
B
．
17
C
．
－
7
D
．
7
04
．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为
n
元，降低
m
21
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
元后，又降低
20
%
< br>，那么该电脑的现售价为（
）
A
．
1515m
元
B
．
4545m
元
C
．
1-15
m
元
D
．
15
元
05
．若多项式
1x23
是关于
x
的一次多项式，则
k
的值是（
）
A
．
0
B
．
1
C
．
0
或
1
D
．
不能确定
06
．若（
12)3
< br>是
关于
x
、
y
的五次单项式，则它的系数是
.
07
．电影院里第
1
排有
a
个座位，后面每排都比前排多
3
个座位，则第
10
排有个座位
.
08
．若
33+412=71
,
则代数式值为
.
09
．一项工作，甲单独做需
a
天完
成，乙单独做需
b
天完成，如果甲、乙合做
7
天完成工作
量是
.
10
．
(
河北
)
有
一串单项式
2x2,3x34x4,
⋯
10x10,
⋯
(1)
请你写出第<
/p>
100
个单项式；
⑵请你写
出第
n
个单项式
.
11
．
（安
徽）一个含有
x
、
y
< br>的五次单项式，
x
的指数为
3<
/p>
,
且当
x
＝
2
，
y
＝－
1
时，这个单项
式值为
32
，求这个单项式
.
12
．<
/p>
（天津）已知
x
＝
3
时多项式
35
的值为－
1
，则当
x
＝－
3
时这个多项式的值为多少？
13
．
若关于
x<
/p>
、
y
的多项式
2
x223x3y4+(23)x3y5
与多项式
24+3x21
的系数相同，
并且最高
次项的系数也相
同，求
a
－
b
的值
.
14
．某
地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一：计时制：
0.05
元
/
分
B
：
包月制：
50
元
/
月（只限一部宅电上网）
.
此外，每种上网方式都得加收通
行费
0.02
元
/
分
.
⑴某用户某
月上网时间为
x
小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
(2)
若某用户估计
一个月内上网时间为
20
小时，你认为采用哪种方式更合算
.
培优升级·奥赛检测
01
．
（扬州）有一列数
a1
、
a2
、
a3⋯
,
从第二个数开始，每一个数都等于
1
与它前面那个数
22
/
73 <
/p>
(
人教版
)
七年
级数学上册培优辅导讲义
的倒数的差
.
若
a1=2
,
则
a2007
为（
）
A
．
2007
B
．
2
C
．
12
D
．
－
1 <
/p>
02
．
（华师一附高招生）设记号
*
表示求
a
、
b
算术平均数的运算，即
a*2
,
则下列等式中对于
任意实数
a
、
b
、
c
都成立的是（
）
①
**()
②
a**c
③
a**(a*c)
④
a*2+(b*2c)
A
．
①②③
B
．
①②④
C
．
①③④
D
．
②④
<
/p>
03
．已知
中，对任意的 <
br>1 <
br>米，需增加 <
br>4,4,
b
<
br>a
-1
,
那么在代数式
22
a
、
b
，对应的代数式的值最大的
是（
）
A
．
B
．
C
．
2
D
．
a2
<
/p>
04
．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大
米，需增加
m
米长的铁丝，假
设地球的赤
道上一个铁丝箍，同样半径增大
1
n
米长的铁丝，则
m
与
n
大小关系（
）
A
．
m
＞
n
B
．
m
＜
n
C
．
m
＝
n
D
．
不能确定
05
．
（广安）已知
则
421
.
06
．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期
不超过
3
天，每天租
金
a
元，租期超过
3
天，
从第
4
天开始每天另加收
元，
如果租看
1
本书
7
天归还，
那么租
金为元
.
07
．已
知
2.
则
()
＝
.
08
．有理数
、
b
、
c
在数轴上的位置如图所示，化简后的结果是
.
09
．已知
25,
则
5(2n)2+6360
＝<
/p>
.
10
．
（全国初中数学竞赛）设
a
、
b
、
c
的平均数为、
b
的平均数为
N
,<
/p>
又
N
、
c
的平均数为
P
，若
a
＞
b
＞
c
，则
M
与
P
大小关系
.
11
．
(
资阳
)
如图
，对面积为
1
的△逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长，
，至
点
A<
/p>
1
，
B
1
，
C
1
，使得
A
1
B
＝
2
，
B
1
C
＝
2
，
C
1
A
＝
2
，顺次连接
A
1
，
B
1
，
C
1
，得到△
A
1
B
1
C
1
，记其面积
为
S
1
；第二次操作，分别延长
A
1
B
1
，
B
1
C
1
，
C
1
A
1
< br>至
点
A
2
，
B
2
，
C
2
，使得
A
2
B
1
＝
2
A
1
B
1
，
B
2
C
1
＝
2
< br>B
1
C
1
，
C
2
A
1
＝
2
C
1
A
1
，顺次连接
A
2
，
B
2
，
C
2
，得到△<
/p>
A
2
B
2
C
2
，记其面积为
S
2
；
…
；按此
规
律继续下去，可得到△
A
5
B
5
C
5
，则其面积
S
5
＝
．
12
．
（安徽）探索
n
×
n
的正方形钉子板上
(
n
是板每边上的钉子数
)
，连接任意两个钉子所得
到的不同长度值的线段种数：当
n
＝
2
时，钉子板上所连不同线段的长度值只有
1
与
2
，
所以不同长度
值的线段只有
2
种，
若用
S
表示不同长度值的线段种数，
则
< br>S
＝
2
；
当
n
＝
3
时
，
钉子板上所连不同线段的长度值只有
1
，
2
，
2
，
5
，
2
2
五种，
比
n
＝
2
时增加了
3
种，
即
S
＝
2+3
＝
5.
1.
观察图形，填写下表：
2.
写出
(
n
－
1)×
(
n
－
1)
和<
/p>
n
×
n
的两个钉
子板上，
不同长
度值的线段种数之间的关系；
< br>(
用式子或语言表述均
可
)
23
/
73
钉子数
(
n
×
n
)
2×
2
3×
3
4×
4
5×
5
S
值
2
2+3
2
＋
3
＋
(
)
(
)
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
3.
对
n
×
n
的钉子板，写出用
n
表示
< br>S
的代数式
.
13
．<
/p>
（青岛）提出问题：如图①，在四边形中，
P
是边上任意一点，
△
与
△
和
△
的面积之间有
什么
关系？
A
P
D
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
⑴当＝
1
2
时（如图②）
：
B<
/p>
图①
∵＝
1
2<
/p>
，
△
和
△
的高相等，
D
A<
/p>
P
∴
S
△
＝
1
2
S
△
．
B
图②
C
∵＝－＝
1
2
，
△
和
△
的高相等，
∴
S
△
＝
1
2
S
△
．
∴
S
△
＝
S
四边形
－
S
△
－
S
△
＝
S
1
四边形
－
1
2
S
△
－
2
< br>S
△
＝
S
1
四边形
－
2
(
S
四边形
－
S
△
)
－
1
2
(
S
四边形
－
S
△
)
＝
1
2
S
△
＋
1
2
S
△
< br>
．
⑵当＝
< br>1
3
时，探求
S
△
与
S
△
和
S
△
之间的关系，写出求解过程
；
⑶当＝
1
6
时，
S
△
与
S
△
和
S
△
之间的关系式为：
；
⑷一般地，当＝
1
n
（
n
表示正整数）时，探求
S
△
与
S
△
和
S
△
之间的
关系，写出求解过程；
问题解决：当＝
m
m
n
（
0
≤
n
≤1
）时，
S
△
与
S
△
和
S
△
之间的
关系式为：
．
第
05
讲
整式的加减
考点·方法·破译
1
．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算
.
24
/
73
C
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
2
．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算
.
3
．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征
.
经典·考题·赏析
【
例１
】
（济南）如果
1
a
2
3
x
y
和
-
3
x
3
y<
/p>
2
b
1
是同类项，那么
a
、
b
的值分别是（
）
3
B
．
A
．
a
1
< br>b
2
a
0
b
2
C
．
a
2
a
1
D
．
b
1
b
1
【
解法指导
】同类项与系数的大小无关，与字母的排
列顺序也无关，只与是否含相同字母，
且相同字母的指数是否相同有关
< br>.
a
1
a
2
3
解：由题意得
< br>
，∴
b
2
2
b
1
3<
/p>
【
变式题组
】
01.
（
天津）已知
a
＝
2
＝
3,
则（
）
A
．
3
y
2
与
b
m
3
n
2
< br>是同类项
B
．
3
3
与
3
y
3
是同类项
＋
＋
C
．
2
a
1
y
4
与
5
1
是同类项
D
< br>．
5
m
25
a
与
6
n
25
a
是同类项
02
．若单项式
2
X
与－
2
1
3
是同类项，则
m
＝，
n
＝
.
3
03
．指出下列哪些是同类项
< br>2
2
2
2
2
⑴
a
b
与－
⑵
与
3
y
x
(3)
m
－
n
与
5
（
n
－
m
）
⑷
5
与
6
a
b
【
< br>例２
】若多项式合并同类项后是三次二项式，则
m
应满足的条件是
.
【
解法指导
】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果
作为系数，
字母和字母的指
数不变
.
3
解：因为化简后为三次二项式，而
5
x
＋
3
已经为
三次二项式，故二次项系数为
0
，即－
2
m
－
2
＝<
/p>
0,
∴
m
＝－<
/p>
1
【
变式题组
】
2
2
2
01.
计算：－（
2
x
－
3
x
－
1
)
－
2(
x
－
3
x
＋
5)<
/p>
＋
(
x
＋
4
x
＋
3)
02
．
(<
/p>
台州）
1
（
2<
/p>
x
－
4
y
）＋
2
y
03<
/p>
．
（佛山）
m
－
n
－
(
m
＋
n
)
3
2
2
【
例３
】
（泰州）
求整式
3
x
－
5
x
＋
2
与<
/p>
2
x
＋
x
－
3
的差
.
【
解法指导
】在求两个多项式的差时，应先将
这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，
而去括号可以用口诀：去括号，看符号，是
“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了
括号后，有同类项再合并同类项．
2
2
2
2
2
解：
（
3
x
－
5
< br>x
＋
2)
－（
< br>2
x
＋
x
－
3)
＝
3
x
－
5
x
＋<
/p>
2
－
2
x
－
x
＋
3
＝
x
－
6
x
＋
5
【
变式题组
】
2
2
01
．一
个多项式加上－
3
x
＋
2
得
x
－
3
＋
y
,
则这个多项式是．
2
02
．减去
2
－
3
x
等于
6
x
－
3
x
－
< br>8
的代数式是．
25
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
【
例４
】当
a
＝
-
3
1
2
2
，
b
＝
时，求
5
（
2
a
＋
b
)
－
3(3
a
＋
2
b
)
< br>＋
2(3
a
＋
< br>2
b
)
的值
.
2
4
2
【
解法指导
】将（
2
a
＋
b
)
，
（
3
a
＋
2
b
)
分别
视为一个整体，因此可以先合并“同类项”再代
入求值，对于多项式求值问题，通常先化
简再求值
.
2
2
2
解：
5
（
2
a
＋
b
)
－
3(3
a
＋
2
b
)
－
3(2
a
＋
b
)
＋
2(3
a
＋
2
b
)
＝
(5
－
3)(2
a
＋
b
)
＋
(2
－
3)(3
a
＋
2
b
)
＝
2(2
a
＋
b
)
－
(3
a
＋
2
b
)
∵
a
＝
-
2
3
1
13
，
b
＝
∴原式＝
2
4
4
【
变式题组
】
2
01
．
（江苏南京）先化简再求值：
（
2<
/p>
a
＋
1)
－
2(2
a
＋
1)<
/p>
＋
3,
其中
a<
/p>
＝
2.
<
/p>
2
2
2
2
02
．已知
a
＋＝<
/p>
14
－
2
＝－<
/p>
6,
求
3
a
＋
4
b
－
5
．
【
例５
】证明四位数的四个数字之和能被
9
整除，因此四位数也能被
9
整除
< br>.
【
解法指导
】可用代数式表
示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被
9
整除
.
证明：设此四位数为
1000
a
＋
100
b
＋
10
c
＋
d
,
则
< br>1000
a
＋
100
b
＋
10
c
＋
d
－（
a
＋
b
＋
c
＋
d
)
＝
999
a
＋
99
b
＋
9
c
＝
9(111
a
＋
11
b
＋
c
)
∵
111
a
＋
11
b
＋
c
为整数，∴
1000
a
＋
100
b
＋
10
c
＋
d
＝
9(111
a
＋
11
b
＋
c
)
＋（
a
＋
b
＋
c
＋
d
)
∵
9(111
a
＋
11
b
＋
c
)
与（
< br>a
＋
b
＋
c
＋
d
)
均
能被
9
整除
∴
1000
a
＋
100
b
＋
10
c
＋
d
也
能被
9
整除
【
变式题组
】
01
．已知
a
＜
b
＜
c
,<
/p>
且
x
＜
y
＜
z
,
下列式子中值
最大的可能是（
）
A
．＋＋
B
．＋＋
C
．＋＋
D
．＋＋
0
2
．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为
9
的倍数
.
2
6
12<
/p>
11
2
【
例６<
/p>
】将（
x
－
x<
/p>
＋
1)
展开后得
a
12
x
＋
a
11
x
＋……＋
a
2
x
＋
a
1
x
＋
a
0
,
求
a
12
＋
a
10
＋
a
8
＋……＋
a
4
＋
a
2
＋
a
0
的值
.
【
解法指导
】要求系数之和，但原式展开含有
x
项，如何消
去
x
项，可采用赋特殊值法
.
解：令
x
＝
1
得
a
12
＋
a
11
＋……＋
a
1
＋
a
0
＝
1
令
x
＝－
1
得
a
12
－
a
11
＋
a
10
－……－
a
1
＋
a
0
＝
729
两式相加得<
/p>
2
（
a
12
＋
a
10
＋
a
8
＋……＋
a
2
＋
a
0
）＝
730
∴
a
12
＋
a
10
＋
a
8
＋……＋<
/p>
a
2
＋
a
0
＝
365
【
变式题组
】
5
5
4
3
2
01.
已知（
2
x
－
1)
＝<
/p>
a
5
x
＋
a
4
x
＋
a
3
x
＋
a
2
x
＋
a
1
x
＋
a
0
(1)
当
x
＝
0
时，有何结论
< br>;
(2)
当
x
＝
1
时，
有何结论
;(3)
当
x
＝－
1
时，有何结论
;(4)
求
a
5
＋
a
3
＋
a
1<
/p>
的值
.
4
3
2
4
02.
已知
＋
＋
＋＋
e
＝
(
x
－
2)
(1
)
求
a
＋
b<
/p>
＋
c
＋
d
＋
e
. (2)
试求
a
＋
c
的
值
.
26
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅
导讲义
3
2
2
3
【<
/p>
例７
】
(
希望杯
培训题）已知关于
x
的二次多项式
a<
/p>
(
x
－
x
＋
3
x
)
＋
b
(2
x
＋
x
)
＋
< br>x
－
5,
当
x
＝
2
时的值为－
17.
求当
x
＝－
2
时，该多项式的值
.
【
解法指导
】设法求出
a
、
b
的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多
项式的次数等
概念，挖掘隐含
a
、
b
的等式
.
3<
/p>
2
2
3
3
2
解：原式＝
－
＋<
/p>
3
＋
2
＋＋
x
－
5
＝
(
a
＋
1)
x
＋
(2
b
－
a
)
x
＋
(3
a
＋
b
)
x
－
5
∵原式中的多项式是关于
x
的
二次多项式∴
∴
a
< br>＝－
1
又当
x
< br>＝
2
时，原式的值为－
17.
∴
(2
b
＋<
/p>
1)
2
＋
3
（
-
1
）
b
2
< br>
5
＝－
17,
∴
b
＝－
1
2
a
1
0
2
b
a<
/p>
0
∴原式＝－
x
－
4
x
－<
/p>
5
∴当
x
＝－<
/p>
2
时，原式＝－（－
2
< br>）
－
4
（－
2
）－
5
＝－
1
【
变式题组
】
3
3
01
．<
/p>
（北京迎春杯）当
x
＝－
2
时，代数式
－＋
1
＝－
17.
则
x
＝－
1
时，
12
－
3
－
5
＝．
7
5
3
3
02
．
(
吉林竞赛题）已知
y
＝<
/p>
＋
＋
＋＋
e
,
其中
a
、
b
、
c
、
d
、
e
为常数，当
x
＝
2
＝
2
＝－
2
＝
－
35,
则
e
为（
）
A
．－
6
B
．
6
C
．－
12
D
．
12
2
2
演练巩固·反馈提高
01
．
（荆州）若－
3
x
2
与
2
x
是同类项，则
m
<
/p>
n
的值是（
）
A
．
0
B
．
1
C
．
7
D
．－
1
2
2
2
2
02<
/p>
．一个单项式减去
x
－
< br>y
等于
x
＋
y
,
则这个单项式是（
）
A
．
2
x
2
B
．
2
y
2
C
．－
2
x
2
D
．－
2
y
2
03
．若
M
和
N
都是关于
x
的二次三项式，则
M
＋
N
一定是（
）
A
．二次三项式
B
．一次多项式
C
．三项式
D
．次数不高于
2
的整式
5
3
04
．当
x
＝
3
时，多项式
＋
＋－
10
的值为
7.
则当
x
＝－
3
时，这个多
项式的值是（
）
A
．－
3
B
．－
27
C
．－
7
D
．
7 <
/p>
2
2
2
2
2
2
05
．已知多项
式
A
＝
x
＋<
/p>
2
y
－
z
＝－
4
x
＋
3
y
＋
2
z
,
且
A
< br>＋
B
＋
C
＝
0,
则多项式
c
< br>为（
）
A
．
5
x
2
－
y
2
－
z
2
<
/p>
B
．
3
x
2
－
y
2
－
3
z
2
C
．
3
x
2
－
5
y
2
－<
/p>
z
2
D
．
3
x
2
－
5
y
2
＋
z
2
< br>06
．已知
3
4
y
3
x
y
4
3
，则
等于（
）
A
．
x
x
3
B
．
1
C
．
2
3
D
．
0
07
．某人上山的速度为
a
千米
/
时，
后又沿原路下山，
下山速度为
b
千米
/
< br>时，
那么这个人上
山和下山的平均速度是（
）
A
．
a
b
千米
/
时
2
2
2
2
B
．
ab
a
b
千米
/
时
C
．
千米<
/p>
/
时
2
2
ab
2
2
2
D
．
2
ab
千米
/
时
a
b
< br>08
．使（
－
2
＋
y
)
－
(
－
＋＋
2
y
)
＝
6
x
－
9
＋
成立的
a
、
b
、
c
的值分别是（
）
A
．３，７，１
B
．－３，－７，－１
C
．３，－７，－１
D
．－３，７，－１
09
．
k
＝时，多项式
3
x
2
－
2
＋
3
y
2
＋
1
xy
< br>－
4
中不含
ｘ
< br>y
项．
2
27
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
1
0
．
(
宿迁）若
2
a
－
b
＝
2,
则
6
＋<
/p>
8
a
－
4
b
＝
11
某项工程，甲单独做需
m
天完成，甲乙合作需<
/p>
n
天完成，那么乙独做需要天完成．
<
/p>
2
2
2
2
12
．
x
－＝－
3,2
－
y
＝－<
/p>
8,
则
2
x
－
y
＝．
13
．设
ａ
表示一个
两位数，
ｂ
表示一个三位数，现在把
ａ
放
ｂ
的左边组成一个五位数，
设为
ｘ
，
再把
ｂ
放
a
的左边，
也组成一个五位数，
设为
y
< br>,
试问
x
－
y
能被
9
整除吗？请说明理由
.
2
2
14
．若代数式
（
x
＋－
2
y
＋
7)
－
(<
/p>
－
2
x
＋
9
y
－
1)
的值与字母
x
的取值无关，求
< br>a
、
b
的值
.
2
2
2
2
2
2
15
．设
A
＝
x
－
2
－
y
＝－
2
x
＋－
y
＝－
2
x
＋－
y
,
当
x
＜
y
＜
0
时，比较
A
与
B
的值的大小
.
培优升级·奥赛检测
01
．
A
是一个三位数，
b<
/p>
是一位数，如果把
b
置于
a
的右边，则所得的四位数是（
）
A
．
B<
/p>
．
a
＋
b
C
．
1000
b
＋
a
D
．
10
a
＋
b
02
．一个两位数的个位
数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大
9
，这样的
两位
数中，质数有（
）
A
．
1
个
B
．
3
个
C
．
5
< br>个
D
．
6
个
0
3
．有三组数
x
123123123<
/p>
,
它们的平均数分别是
a
、
b
、
c
，那么
x
1
＋
y
1
－
z
12
＋
y
2
－
z
23
＋
y<
/p>
3
－
z
3
的平均
数是（
）
A
．
a
b
-
c
a
b
c
B
．
C
．
A
＋
b
－
c
D
．
3(<
/p>
a
＋
b
－
c
)
3
3
04
．
如果对于某一特定范围内
x
的任何允许值
P
＝
1
2
x
＋
1
-
3
< br>x
＋……＋
1
-
9
x
＋
1
-
10
x
的值恒为一常数，则此值
为（
）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
5
05
．
（江苏竞赛）已知
a
＋
b
＝
0
≠
0,
则化简
b
< br>(
a
1
)
a
(
b
1
)
得（<
/p>
）
a
b
A
．
2<
/p>
a
B
．
2
b
C
．
2
D
．－
2
0
6
．如果
a
个同学在
< br>b
小时内共搬运
c
块砖
,
那么
c
个同学以同样
速度搬
a
块砖，所需的小
时数（
）
c<
/p>
2
A
．
2
a
b
07
．如果单项式
3
ab
c
2
B
．
C
．
2
ab
c
＋
2
－
2
a
2
b
D
．
2
c
3
＋
2
与
5
x
3
＋
2
的和为
8
x
,
那么
a
b
b
a
＝．
2
4
3
2
08
．
（第１６届“希望杯”邀请赛试题）如果<
/p>
x
＋
2
x
＝
3
则
x
＋
7
x
＋
8
x
－
13
< br>x
＋
15
＝．
< br>
09
．将
1,2,3
……
100
这
100<
/p>
个自然数，任意分为
50
组，每组两个数
，现将每组的两个数中
28
/
73
(
人教版
)
七
年级数学上册培优辅导讲义
任一数值记作
a
,
另一个记作
b
,
代入代数式
1
（
a
b
a
b
）中进行计算，求出其
结果，
2
50
组数代入后可求的
50
个值，则这
50
个值的和的最大值时．
＋
4
3
－
3
＋
4
4
3
2
< br>10
．已知两个多项式
A
和
B
，
A
＝
＋
x
n
－
x
＋
x
－
< br>3
＝
3
－
x
＋
x
＋
－
2
x
－
1,<
/p>
试判断是否存
在整数
n
< br>,
使
A
－
B
为五次六项式．
11
．设都是整数，且
11
整除
7
x
＋
2
y
－
< br>5
z
.
求证：
< br>11
整除
3
x
< br>－
7
y
＋
12
z
.
12
．
(<
/p>
美国奥林匹克竞赛题）
在一次游戏中，
魔
术师请一个而你随意想一个三位数
abc
(
a
、
b
、
c
依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出
5<
/p>
个数
acb
，
b
ac
，
bca
，
cab
与
cba
的和
N
，把
N
告诉魔术师，于是魔
术师就可以说出这个人所想的数
abc
，现在设
N
＝
3194
，请你当魔术师
，求出
abc
来
.
13
．
(
太原市竞
赛题）将一个三位数
abc
的中间数去掉，成为一个两位数
ac
，且满足
abc
＝
9
ac
＋
4
c
（如
155
＝
9
15
＋
4
5
）<
/p>
.
试求出所有这样的三位数
.
第
06
讲
一元一次方程概念和等式性质
考点·方法·破译
1
．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析．
2
．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用．
经典·考题·赏析
【
例１
】
下面式子是方程的是
(
)
A
．
x
＋
3
B
．
x
＋
y
＜
3
C
．
2
x
2
＋
3
＝
0
D
．
3
＋
4
＝
2
＋
5
29
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅
导讲义
【
解法指导
< br>】判断式子是方程，
首先要含有等号，
然后看它是否含有
未知数，只有同时具有
这两个条件的就是方程．
2
x
2
＋
3
＝
0<
/p>
是一个无解的方程，但它是方程，故选择
C
．
【
变式题组
】
01
在①
2
x
＋
3
y
－
1
．
②
2
＋
5
＝
1
5
－
8
，
③
1
－
< br>1
x
＝
x
＋
1
，
④
2
x
＋
y
＝
3
中方程的个数是
(
)
3
A
．<
/p>
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
02
．
（安徽合肥）在甲处工作的有
272
人，在乙处工作的有
196
人，如果要使乙处
工作的人
数是甲处工作人数的
方程正确的是
(
)
A
．
<
/p>
272
＋
x
＝<
/p>
1
，
应从乙处调多少人到甲处？若设应从
乙处调多少人到甲处，
则下列
3
1
1
(19
6
－
x
)
B
．
(272
－
x
)
＝
196
–
x
3
3
C
．
1
1
×
272
＋
x
＝
196
－
x
D
．
(272
＋
x
)
＝<
/p>
196
－
x
<
/p>
2
3
03
．根据
下列条件列出方程：
⑴
3
与
x
的和的
2
倍是
14
⑵
x
的
2
倍与
3
的差是
5
⑶
x
的
【
例２
】下
列方程是一元一次方程的是
(
)
A
．<
/p>
x
－
2
x
－
3
＝
0
B
．
2
x
－
3
y
＝
4
C
．
2
1
与
13
的差的
2
倍等于
1
5
1
＝
3
D
．
x
＝
0
x
【
解法指导
】判断
一个方程是一元一次方程，
要满足两个条件：①只含有一个未知数；
②未
知数的次数都是
1
，只有这样
的方程才是一元一次方程．故选择
D
．
【
变式题组
】
01
．以下式子：①－
2
＋
10
＝
8
；②
5
x
＋
3
＝
17
；③；④
x
＝
2
；⑤
3
x
＝
1
；⑥
⑦（
a
＋
b
）
c
＝＋；⑧＋
b
其
中等式有个；一元一次方程有个．
02
．
（
江油课改实验区
）若（
m
－
2
）
x
m
2
< br>3
x
3
＝
4
x
；
x
＝
5
是一元一次方程，则
m
的值为
(
)
A
．±
2
B
．－
2
C
．
2
D
．
4
03
．
（
天津
）下
列式子是方程的是
(
)
A
．<
/p>
3
×
6
＝
18
B
．
3
x
－
8
c
．
5
y
＋
6
D
．
y
÷
5
＝
1
【例
3
】若
x
＝
3
是方程－＋
x
＋
5
＝
0
的解，则
k<
/p>
的值是
(
)
A
．
8
B
．
3
C
．
8
8
D
．
3
3
30
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
【
解法指导
】
方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，
所以－
3
k
＋
3
＋
5
＝
0<
/p>
，
k
＝
故选择<
/p>
D
．
【
变式题组
】
01
．
（
海口
）
x
＝
2
是下列哪个方程的解
(
)
A<
/p>
．
3
x
＝
2
x
－
1
B
．
3
x
－
2
x
＋
2
＝
0
C
．
3
x
－
1
＝
2<
/p>
x
＋
1
D
．
3
x
＝
2
x
－
2
02
．
（
自贡
）方程
3
x
＋
6
＝
0<
/p>
的解的相反数是
(
)
A
．
2
B
．－
2
C
．
3
D
．－
3
0
3
．
（
上海
）
如果
x
＝
2
是
方程
8
3
1
x
a
1
的根，那么
a
的
值是
(
)
2
A
．
0
B
．
2
C
．－
2
D
．－
6
0
4
．
（
徐州
）
根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解：
(
1)
某数的
3
倍比
这个数大
4
；
< br>(2)
小明年龄的
3
倍比他的爸
爸的年龄多
2
岁，
小明爸爸
40
岁，
问小明几岁？
(3)
一个商店今年
8
月份出售
A
型电机
300
台，比去年同期增加
50%
，问去年
8
月份出售
A
型电机
多少台？
【例<
/p>
4
】
（太原）
c
为任意有理数，对于等式
等式的是
(
) <
/p>
A
．两边都减去－
3
c
B
．两边都乘以
1
a
＝
2
×
0.25
a
进入下面的变形，其结果仍然是
2
1
C
．两边都除以
2
c
< br>
D
．左边乘以
2
右边加上
c
c
【
解法指导
】
等式的性质有两条：
①等式两边都加
（或减）
同一个数
（或式子）
< br>结果仍相等；
②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为
0
的数，结果仍相等，故选择
A
．<
/p>
【
变式题组
】
01
．
（青岛）如果＝
，那么下列等式不一定成立的是
(
) <
/p>
A
．＋
1
＝＋<
/p>
1
B
．
−
3
＝
−
3
C
．
1
1
＝
D
．
a
＝
< br>b
2
2
02
．
（大连）由等式
3
a
−
5
＝
2
a
＋
< br>b
得到
a
＝
11
的变形是
(
)
A
．等式两边都除以
3
B
．等式
两边都加上（
2
a
－
5
）
C
．等式两边都加上
5
D
．等式两边都减去（
2
a
－
5
）
03
．
（昆明）下列变形符合等式性质的是
(
)
A
．如果
2
x
−
3
＝
7
，那么
2
x
＝
7
−
x
B
．如果
3
x
−
2
＝
x
＋
1
，那么
3
x
−
x
＝
1
−
2 <
/p>
C
．如果－
2
x
＝
5
，那么
x
＝－
5
＋<
/p>
2
D
．如果－
【例
5
】
利用等式的性质解下列方程：
1
x
＝
1
，那么
x
＝－<
/p>
3
3
31
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
⑴
x
＋
7
＝
19
⑵－
5
x
＝
30
⑶
－
1
x
−
5
＝
4
3
⑴解
：两边都减去
7
得
x
＋
7 −7
＝
19
−7
合并同类项得
x
＝
12
⑵
解：两边都乘以
1
得
x
＝
－
6
5
1<
/p>
1
x
−
5
＋
5
＝
4
＋
5
合并同类项得－
x
＝
9
3
3<
/p>
⑶解：两边都加上
5
得－
两边都乘以－
3
得
x
＝－
27
【
解法指导
】
要使方程
x
＋
7
＝
19
转化为
x
＝
a
（常数）的形式，要去掉方程左边的
7
，因
此要减
7
，类似地考虑另两个方程如何转化为
x
＝
a
的形式．
【
变式题组
】
01
．
（黄冈）某人在同一路段上走完
一定的路程，去的速度是
v
1
，回来的
速度是
v
2
，则他的
< br>平均速度为
(
) <
/p>
A
．
2
v
v
v
v
2
v
v
v
1
v
2
B
．
1
2
C
．
1
D
．
1
2
v
1
v
2
2
v
1
v
< br>2
v
1
v
2
2
02
．
（杭州）已知
< br>x
1
是方程
< br>2
x
−
＝
3
的一个解，那么
a
的值是
(
)
y
<
/p>
1
A
．
1
B
．
3
C
．－
3
D
．－
1
0
3
．
（郑州）下列变形正确的是
(
)
A<
/p>
．由
x
＋
3
＝
4
得
x
＝
7
B
．由
a
＋
b
＝
0
，得
a
＝
b
C
．由
5<
/p>
x
＝
4
x
－
2
得
x
＝
2
D
．由<
/p>
x
＝
0
，得
x
＝
0
6
04
．
（南京）解方程
2
3
x
(
)
3<
/p>
2
A
．同乘以
2
3
3
3
B
．同除以
C
．同乘以－
D
．同除以
3
2
2
2
【例
6
】
根据所给出的条件列出方程：小华在银行存了一笔钱，月利率为
2%
，利息税为
20%
，
< br>5
个月后，他一共取出了本息
1080
< br>元，问他存人的本金是多少元？（只列方程）
【
解法指导
】
生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，
应正确理解利息税的含
义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的
关键．题中的利息税是把利息的
20%
扣
除作为税上交国家．
解：设他存入的本金是
x
元，则
5
个月的利息是
2%
×
5
x
＝
0.1
x
元，需交
利息税
0.1
x
×
20%
＝
0.02
x
元，根据题意得：
x
＋
0. 1
x
−
0.02
x
＝
1080
．
【
变式题组
】
01
．
（甘肃）商场在促销活动中，将
标价为
200
元的商品，在打八折的基础上，再打八折销
32
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
售，则该商品现在售价是
(
) <
/p>
A
．
160
元<
/p>
B
．
128
元
C
．
120
元
D
．
8
元
02
．
（辽宁）
根据下列条件，
列出方程并解之：
< br>(1)
某数的
5
倍减去
4
等于该数的
6
倍加上
7
，
求某数；
(2)
长方形的周长是
50
厘米，长与
宽之比为
3
∶
2
，求长方形面积，
【例<
/p>
7
】
（
“希望杯
”
邀请赛试题）
已知
p
、
q
都是质数，
并且以
x
为未知数的一元一次方程
＋
5
q
＝
97
的解是
1<
/p>
．求代数式
40
p
＋
101
q
＋
4
的值．
【
解法指导
】用代入法可得到
p
、
q
的关系式，再综
合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、
奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数．
解：把
x
＝
1
代入方程
＋
5
q
＝
97
，得
p
＋
5
q
＝
97
，故
p
与
5
q
中必有一个数是
偶数：
(1)
若
p
＝
2
，则＝
95
，
q
＝
19
，
40
p
＋
l
0
1
q
＋
4
＝
40
×
2
＋
10
1
×<
/p>
19
＋
4
＝
2003
；
(2)
若
5
q
为偶数，则
q
＝
2
，
p
＝
87
，但
87
不是质数，与题设矛盾，舍去．∴
< br>40
p
＋
l
01
q
＋
4
的值为
2003.
【
变式题组
】
01
．
（广东省竞赛题）已知
x
＝
3
x
＋
1
，则（
64
x
2
＋
48
x
<
/p>
＋
9
）
2009
＝．
02
．
（第
18
届
“
希望杯”
竞赛题）
对任意四个有理数
a
、
b
、
c
、
d
，
定义新运算
：
a
b
c
d<
/p>
＝
−
，
已知
2
x
4
x
1
＝
18
，则
x
＝
(
)
A
．－
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
演练巩固
反馈提高
01
．下面四个式子是方程的是
(
)
A
．
3
＋
2
＝
5
B
．
x
＝
2
C
．
2
x
−
5
D
．
a
2
＋
2
≠
b
2
02
，下列方程是一元一次方程的是
(
) <
/p>
A
．
x
2
−
2
x
−
3
＝
0
B
．
2
x
−
3
y
＝
3
C
．
x
2
−
x
−
1
＝
x
2
＋
1
D
．
03
．
“
x
的一半比省的相反数大
7
< br>”用方程表达这句话的意思是
(
)
A
．
1
1
0
x
1
1
1
< br>1
x
＝
7
−
x
B
．
x
＋
7
＝
−
x
C
．
＋
7
＝
x
D
．
＝
x
＋
7
2
2
2
2
04
．
（石家庄）把
1200
g
洗衣粉分别装入
5
个大小相同的瓶
子中，除一瓶还差
15
g
外，其余
四瓶都装满了，
问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每
个瓶子有洗衣粉，
列方
程为
(
) <
/p>
A
．
5
x
＋
15
＝
1200
B
．
5
x
－
15
＝
1200
C
．
4
x
＋
15
＝
1200
D
．
4
（
x
＋
15)
＝
1200
05
．在方程①
3
x
−
4
＝
7
；②
x
＝
3
；③
5
x
−
2
＝
3
；④
3
（
x
＋
1
）＝<
/p>
2
（
2
x
＋
1
）中解为
x
＝
1
的
2
33
/
73
(<
/p>
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义<
/p>
方程是
(
)
A
．①②
B
．①③
C
．②④
D
．③④
0
6
．如果方程
2
n
＋
b
＝
n
−
1
的解是
n
＝－
4
，那么
b
的值是
(
)
A
．
3
B
．
5
C
．－
5
D
．－
13
07
．若“△”是新规定的某种运算符号，设
a
△
b
＝
a
2
＋
b
则（－
2
）△<
/p>
x
＝
10
中
x
为
(
)
A
．－
6
B
．
6
C
．
8
D
．－
8
0
8
．
（武汉）小刚每分钟跑，用
6
分钟可以跑完
3000
m
< br>，如果每分钟多跑
l
0
m
，则可以提前
1
分钟跑完
3000
m
，下列等式不正确的是
(
)
A
．
(
a
＋
10)(
b
－<
/p>
1)
＝
B
．
（
a
−
10)(
b<
/p>
＋
l
)
＝
3000
C
．
3000
3000
＝
a
＋
10
D
．
＝
b
−
1
b
1
a
10
09
．已知关于
x<
/p>
的方程
(
m
＋<
/p>
2)
＋
4
＝<
/p>
2
m
－
1
是一元一次方程，则
x
＝．
< br>
10
．在数值
2
，－
3
，
4
，－
5
中，是方程
4
x
−
2
＝
10
＋
x
的解是．
11
．
（福州）已知
< br>3
3
m
−
1
＝
n
，试用等式的性质比较
m
、
n
的大小．
4
4
12.
（西宁）已知方程
a
−
2
x
＝－
4
的解为
x
＝
4
，求式子
a
3
−
a
2
−
a
的值．
13<
/p>
．三个连续自然数的和是
33
，求这三个
数．
14
．某班有
70
人，其中会游泳的有
52
人，会滑冰的有
< br>33
人，这两项都不会的有
6
人
，这
两项都会的有多少人？
15
．甲
车队有司机
80
人，
乙车队有
50
人，
要使两个车队的司机人数一样多，
应该从甲车队
调多少个司机到乙车队？
培优升级
奥赛检测
01
．下列判断中正确的是
(
)
A
．方程
2
x
－
3
＝
1<
/p>
与方程
x
(2
x
－
3)
＝<
/p>
x
同解，
B<
/p>
．方程
2
x
－
3
＝
1<
/p>
与方程
x
(2
x
－
3)
＝<
/p>
x
没有相同的解．
C
．方程
x
(2
< br>x
－
3)
＝
x
的解是方程
2
x
－
3
＝
1
的解．
D
．方程
2
x
−
3
＝<
/p>
1
的解是方程
x
(2
x
－
3
)
＝
x
的解．
34
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅
导讲义
02
．方程
< br>x
x
x
•••
2009
的解是
(
)
1<
/p>
2
2
3
2009
201
0
A
．
2008
B
．
2009
C
．
2010
D
．
2011
03
．
（江苏省竞赛题）已知
a
是任意有理数，在下面各题中
(1)
方程
＝
0
的解是
x
＝
1
(2)
方程
＝
a
的解是
x
＝
1
(3)
方程
＝
1
的解是
x
＝
1
<
/p>
(4)
a
x
<
/p>
a
的解是
x
＝±
1
结论正确的
a
的个数是
(
)
A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．
3
04
．
（
“希望杯”邀请赛）已知关于
x
的一元一次方程
(3
a
＋
8
b
)
x
＋
7
＝
0
无解，则是
(
)
A
．正数
B
．非正数
C
．负数
D
．非负数
05
．
（第十一届“希望杯”邀请赛试题）已知
a
是不为
0
的整数，并且关于
x
的方程＝
2
a
3
−
3
a
2
−
5
a
＋
4
有整数解，
则
a
的值共有
(
) <
/p>
A
．
1
个
B
．
3
个
C
．
6
个
D
．
9
个
06
．
（
“祖冲之杯”
邀请赛）方程
x
5
< br>＋（
x
−
5
）＝
0
的解的个数为
(
)
A
．不确定
B
．无数个
C
．
2
个
D
．
3
个
07
．
若
x
＝
9
是方程
1
1
x
2
a
的解，
则
a
＝；
又若当
a
＝
1
时，
则方程
x
2
a
的解是．
3
3
x
1
3
< br>1
的解是．
08
．方程
y
2
2
y
< br>
0
的解是，方程
3
x
1
3
5
5
09
．
（北京市“迎春杯”竞赛
试题）已知
3990
x
1995
＝
1995
，那么
x
＝．
<
/p>
10
．
（
“希望
杯”邀请赛试题）已知
x
x
2
，那么
19
x
99
＋
3
x
＋
27
的值为．
11
．
（广西竞赛）解关于
x
的方程
12
．
a
为何值，方程
x
a
b
x
b
c
x
a
c
<
/p>
＝－
3
．
c
a
b
a
x
1
x
a
< br>
x
6
有无数个解．
3
2
6
13
．
（
“五羊杯
”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人
m
本，则余
14
本；每人
9
本，则最后
一人只得
6
本，问小朋友共有几人？有
多少本书？
35
/
73
(
人教版
)
七年级数学上册培优辅导讲义
14
．
（上
海市竞赛题）甲队原有
96
人，现调出
16
人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队
人数的
k
（是不等于
1
的正整数
）倍还多
6
人，问乙队原有多少人？
第
07
讲
一元一次方程解法
考点·方法·破译
1
．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用．
2
．会用一元一次方程解决实际问题
经典·考题·赏析
【
例１
】解方程：
5
x
＋
2
＝
7
x
－
8
【
解法指导
】
当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移
到方程的右边，注意移项要变号．
解：移项，得
5
x
< br>－
7
x
＝－
8
－
2
合并同类项，得
－
2
x
＝－
10
系数化为
1
，得
x
＝
5
【
变式题组
】
01
．
(
广东
)
关于
x
的方
程
2(
x
－
1
)
－
a
＝
0<
/p>
的根是
3
，则
a
的值是（
）
A
．
4
B
．
－
4
C
．
2
D
．
－
1 <
/p>
02
．
（陕西）如果
a
、
b
是已知数，则－
7
x
＋
2
a
＝－
5
x
< br>＋
2
b
的解是（
）
A
．
a
－
b
B
．
－
a
－
b
C
．
b
－
a
D
．
b
＋
a
03
．解下列方程：
⑴
2
x
＋
< br>3
x
＋
4
x
＝
18 (2)3
x
＋
5
＝
4
x
＋
1
【
例２<
/p>
】解方程：
11
－
2(
x
＋
1)
＝
3
x
＋
4(2
x
－
3)
【
解法指导
】
此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括
号前是“＋”号不变号；括号前是“－”
，各项均要变号，有数字因数使用乘
法分配律时，
不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为
1
，从而求出方程的解．
解：
去括号，得
11
－
2
x
－
2
＝
3
x
＋
8
x
－
12
移项，
得
－
2
x
－
3
x
－
8
x
＝－
12
－
11
＋
2
合并同类项，
得
－
13
x
＝－
21
系数化为
< br>1
，得
x
21
<
/p>
13
【
变式题组
】
01
．
（
广州）下列运算正确的是（
）
A
．
－
3
（
x
－
1
）＝－
3
x
－
1
B
．
－
3(
x
－
1)
＝－
3
x
＋
1
C
．
－
3(
x
－
1)
＝－
3
x
－
3
D
．
－
3(
x
－
1)
＝－
3
x
＋
3
36
/
73