《等差数列、等比数列的综合应用》教案
-
《等差数列、等比数列的综合应用》教案
一、教学内容：
必修
5
：等差数列、等比数列的综合应用
二、教学目标
1
、熟练地掌握等差、等比数列的相关知识及其性质，并利用这些知识解决相关数列
的综合
性问题。
2
< br>、利用等差数列、等比数列知识建立实际问题的数学模型。
3
、充分利用方程的数学思想、函数的数学思想、分类讨论的数学思想、等价转化的
数学思
想等解决数列的综合问题。
三、知识要点分析
1
、等差数列、等比数列相关知识的类比与总结
a
n
1
q
（
1
）等差数列、等
比数列的定义：
a
n
1
a
n
d
（
d
为常数）
a
n
（
q
0
）
n
1
a
a
(
n
1)
d
a
a
q
n
1
n
1
（
2
）
等差数列、
等比数列的通项公式：
（等差数列）
，
（等
,
比数列）
2
2
a
a
a
a
n
n
1
n
1
（
3<
/p>
）等差数列、等比数列的中项：
，
（等差
）
，
n
a<
/p>
n
1
a
n
1
,
(
n
2
)
（
4
）等差数列、等比数列的前
n
项
和公式：
(
n
1)
na
1
n
S
a
(1
<
/p>
q
)
n
1
n
(
a
1
a
n
)
1
S
n
na
1
n
(
n
1)
d
1<
/p>
q
,(
n
2)
2
2
，
（
5
）等差数列与等比数列的性质比较：
（<
/p>
a
）数列
{
a<
/p>
n
}
，
{
b
n
}
成等差数列，
则数列
{
pa
n
qb
n
}
成等差数列。数列
{
a
n
},{
b
n
}
成
等比数列，则数列
{
a<
/p>
n
b
n
},{<
/p>
a
n
}
成等比数
列
b
n
（<
/p>
b
）数列
{
a<
/p>
n
}
成等差数列且
m+n=p+q,
则
a
m
a
n
a
p
a
q
，数列
{
a
n
}
成等比数列且
m+n=p+q
,
则
a
m
<
/p>
a
n
a
p
a
q
（
c
）
s
n
是等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和，则
s
k
,
s
2
k
s
k
,
s
3
k
s
2
k
成
等差数列
,
等比数列也有类似的性质
<
/p>
（
d
）数列
{<
/p>
a
n
},{
b<
/p>
n
}
分别成等差、等比数列，则数列
{
a
mk
t
},
{
b
mk
t
},
(
m
,
k
,
t
N
< br>)
分别
成等差、等比数列。
<
/p>
2
、建立等差等比数列模型解决实际问题（等差、等比数列的应用
）
（
1
）解
答数列实际问题的基本步骤：审题；建模（建立数列模型
,
分清
是等差还是等比数
列）
；求解；还原。
（
2
）常见的类型：
< br>（
a
）等差模型：在实际问题中，若增加或减少的是固定
的量，该模型
是等差模型
（
b
）等比模型：在实际问题中，如果增加或减少的量是固定的百分数，则
该模型是等比
模型
（
c
）混合模型：在实际问题中，涉及等差等比数列知识的则是数列的混合模型。
（
d
）递推
模型：由已知找出数列的递推关系，转化为等差、等比求解。
【典型例题】
考点一：等差数列、等比数列的基本知识的综合使用
2
{
a
},{
b
}
a
,
b
,
a
n
< br>
1
成等差
n
< br>n
n
n
例
1
：设数列
是各项都是正数的数列，且对任意的正整数
n,
都有
数列，
<
/p>
2
2
2
2
2
b
b
2
b
,(
p
,
q
< br>
N
,
p
q
)
b
n
,
a
n
1
,
b
n
p
q
p
1
成等比数列。求证：
p
q
【
思路分析
】
要证明的结论与数列
{
a
n
}
无关，
故可由已知条件推出数列
{
b
n
}
是等差数列，
然后利用等差数列的性质证明。
2
2
b
n
a
n
a
n
1<
/p>
(1)
2
2
2
a
b
b
n
1
n
n
1
<
/p>
(2)
，由（
2
）得
：
解：
由等差中项、等比中项的定义
知：
a
n
1
b
n
b
n
1
2
a
b
b
,(
n
2)
a
< br>,
a
2
b
b
n
b
n
1
b
n
b
n
1
,(
n
2)
n
n
n
1
n
< br>n
n
1
故有
把
的表达式代入
（
1
）
得：
b
p
2
b
n
b
n
1
<
/p>
b
n
，即数列
{
b
n
}
是等差
数列。
2
b
p
b
p
<
/p>
q
b
p
q
故有：
b
2
p
q
b
p
q
b
p
q
2
2
b
2
p
q
2
b
b
2
p
2
p
< br>q
b
2
p
q
2
(
b
p
q
b
p
q
2
)
b
2
< br>2
p
q
b
2
p
q
2
2
b
p
q
2
b
p
q
b
p
< br>
q
b
p
q
1
(
b
p
q
b
p
q
)
2
0
2
< br>。故结论成立
例
2
：试判断能否构造一个实数等比数列
{
a
n
}
，使其满足下列三个条件
< br>.
（
1
）
a
1
a
6
11,
（
2
）
a
3
a
4
32
9
（
3
）至少
存有一个自然数
m,
使
2
4
2
a
< br>m
1
,
a
m
,
a
m
1
3
9
依次成等差数列，若能，请你写出数列
的通项公式，若不能，请说
明理由。
【
思路分析】
这是一道探索性的命题，先假设存有满足条件的等
比数列，由（
1
）
（
< br>2
）可
确定数列的通项公式，然后利用其验证是否满足条
件（
3
）
。
解：
假设存有等比数列
{
a
n
}
满足题设条件，数列
的公比是
q
，首项是
a
1
1
32
< br>
a
a
a
1
a
6
11
1
3
1
3
或
32
< br>a
32
a
1
a
a
1<
/p>
6
9
6
6
3
3
根据等比数列的性质：
a
3
a
4
a
1
a
6
，
故
解得：
32
1
a
1
a
1
3
3
或
1
1<
/p>
n
1
1
6
n
q
2
q
a
2
或
a
2
n<
/p>
n
2
3
3
故
，即所求数列
的通项公式是
1
1
< br>2
2
1
4
1
4
a
n
2
n
1
a
m
2
m
1
,
a
m
< br>
1
2
m
2
,
a
m
1
2
m
3
3
3
3
3
< br>9
3
9
（
i
）当
时，
1
2
1
1
4
2(
2
m<
/p>
1
)
2
2
m
2
2
m
2
2
m
7
2
m<
/p>
8
0
3
3
3
9
由条件（
3
）得：
3
1
n
1
a
2
m
m
n
< br>2
8
或
2
1(
舍去）
m
3
3
解之得：
，故当
< br>时，存有题设要求的
m.
1
a
n
2
6
n
6
m
2
6
m
4
< br>(2
)
11
< br>
2
8
0
，
此
时
3
（
ii
）<
/p>
当
时
，
同
理
有
：
11
2
16
8
249
不是完全平方数。即符合条件的
m
不存有。
1
a
n
2
n
1
3
综合（
i
）
（
ii
）能构造出满足条件的等比数列，通项公式是
。
考点二：等差
、等比数列与函数、不等式、平面向量等知识点综合使用。
例
3
：
已知函数
f
(
x
),
g
(
x
)
对任意
实数
x,y
分别满足：
（
i
）
f
(
< br>x
1)
3
f
(
x
),
且
f
(0)
1
3
（
i
i
）
g
（
x+
y
）
=g
（
x
）
+2y,
且
g
（
6
）
=1
5, n
为正整数，求数列
{
f
(
n
)},{
g
(
n
)}
的通项公
式，
（
2
）设
c
n
g
[<
/p>
f
(
n
)],<
/p>
求
{
c
n
}
的前
n
项和。
【
思路分析】
由
条件（
1
）能够证明数列
{
f
(
n
)}
是等比数列，在条件（
2
）中，给
< br>x,y
赋值，
即令
x=n,y=
1
可证数列
{
g
(
n
)}
是等差数列。
根据
（
1
）
求数列
{
c
n
}
的通项公式最后求前
n
项和
。
解：
（
1
）由已知函数
f
(
x
),
g
(
x
)
对任意的实数
x,y
成立，故对任意的正整数也成立。
f
(
x
1)
3
f
(
< br>x
),
f
(
n
1)
3
f
(
n
),(
n
N
)
又
f
（
1
）
=f
（
1+0
）
=3f
（
0
）
=1
f
(
n
1)
3
f
(
n
)
n
< br>1
故数列
{
f
< br>(
n
)}
是以
< br>1
为首项，
3
为公比的等比数列
，即
f
(
n
)
3
由
g
（
x+y
）
=g
（
x
）
+2y
令
x=n,y=1
得：
g
(
n
1)
g
(
n
)
2<
/p>
,
故数列
{
g<
/p>
(
n
)}
是公差
为
2
的等差数列。
< br>
g
(
n
)
g
(6)
(
n
6
)
2
2<
/p>
n
3
n
1
c
g
[
f
(
n
)]
< br>2
3
3
{
c
}
T
n
n
n
设数列
的前
n
项和
是
，
T
n<
/p>
c
1
c
2
A
(
n
,
a
),
B
< br>(
n
,
b
),
C
(
n
1,0)
(
n
N
)
，
n
n
n
n
例
4
：
已知三个点列
满足
A
n
A
n
1
与
B
n
C
n
共线，
且点列
B
n
(
n
,
b
n
)
在斜率为
6
的一条直
线上。
c
n
2(3
0
3
1
<
/p>
3
n
1
)
3
n
3
n
3
n
1
（
1
）试用
a
1
,
b
1
与
n
表示
a
n
。
（
2
）设
a
1
a
,
b
1
a
且
12
a
< br>15
求数列
{
a
n
}
中的最小
项。
【
思路分析】
（
1
）
本题是数列与向量的综合试题，
由点列
B
n
(
n
,
b
n
)
在斜率为
6
的直线上，<
/p>
可证明数列
{
b
n
}
是等差数列，
再利用两向量共线找
出数列
{
a
n
}
的递推关系。
（
2
< br>）
把
a
n
表示为
关于
n
的二次函数，求出最值
。
解：
（
1
）由点列
B
n
(
n
,
b
n<
/p>
)
在斜率为
6
的
直线上
点列
B
n
(
n
,
b
n
),
B
n<
/p>
1
(
n
1
,
b
n
1
)
在斜率
b
n
1
b
n
6
b
n
1
b<
/p>
n
6
(
n
1)
n
为
6
的直线上，即<
/p>
，即数列
{
b
n
}
是公差为
6
的等差数列。
b
< br>n
b
1
(
n
1
)
6
又<
/p>
A
n
A
n
1
(1
,
a
n
1
a
n
< br>),
B
n
C
n
(
1
,
b
n<
/p>
)
且两向量共线，
1
(
b
n
)
(<
/p>
1)(
a
n<
/p>
1
a
n
)
0
故有：
a
n
1
a
n
b
n
a
n
1
a
n
<
/p>
b
n
n
2
时
，
a
n
a
1
(
a
2
a
1
)
(
a
3<
/p>
a
2
)
(
a
n
a
n
1
)
a
1
b
1
b
2
<
/p>
b
n
1
a
1
(
n
1)
b
1
< br>
3(
n
1)(
n
2)
< br>
当
2
a
a
,
b
a
,
a
3
n
(9
a
)
n
6
2
a
n
1
1
（
2
）把
代入上式得：
，
7
9
a
12
< br>
a
15,
< br>
4,
2
6
即
n=4
时，
a
n
取得最小值，最小值是<
/p>
a
4
18
2
a
。
1
(
a
1
,
b
< br>1
),
P
2
(
a
2
,
b
2
),
例
5
：已知点
P
P
n
(
a
n
,<
/p>
b
n
),(
n<
/p>
N
)
都在函数
y
log
1
x
2
的图像
上
（
1
）若
数列
{
b
n
}
是等差数列，求证数列
{
a
n
}
是等比数列。
（
2
）若数列
{
a<
/p>
n
}
的前
n
项和
S
n
1
2
n
，
过
点
P
n
,
P
n
1
的
直
线
与
两
坐<
/p>
标轴
围
成
的
三
角
形
的面
积为
c
n
，
求
使
c
n
t
（
< br>n
N
）恒成立的实数
t
的范围。
【
思路分析】
（
1
）利
用定义证明，
（
2
）先求
b
n
从而确定直线
P
n
P
n
1
的直线方程，然后确
定直线与两坐标轴的坐标，
进而用
n
表示三角形的面积。
根据
c
n
t
恒成立确定
t
的取值范
围。
解：
（
1
）设等差数列
{
b
< br>n
}
的公差是
d,
即
b
n
< br>1
b
n
d
（常数）
1
b
n
a
n
1
1
b<
/p>
n
1
b
n
1
d
b
log
a
a
(
)
(
)
(
)
=
常数（不为零）
由题意：
n
1
n
n
2
a
n
2
< br>2
2
故数列
{
< br>a
n
}
是等比数列。
1
1
n
（
2
）当
n=1
时，
a
1
S
1
，当
< br>n
2
时，
a
n
S
n
S
n
<
/p>
1
(
)
，
n=1
时也适合此式。
2
2
1
n
b
log
1
a
n
b
n<
/p>
n
故
有
：
即
数
列
{
a
n
}
的
通
项
公
式
是
a
n
(
)
，<
/p>
由
n
2
2
1
1
1
P
n
(
n
,
n
),
P
n
< br>
1
(
n
1
,
n
1)
，过这两点的直线方程为：
y
n
2
n
1
(
x
n
< br>)
2
2
2
此
直
线
与
两
坐
标
轴
的
交
点
坐
标
分
别
为
A
n
(
n
< br>
2
,0),
B
n
(0,
n
2)
，
2
n
< br>
1
(
n
2
)
2
1
c
n
|
OA
n
|
|
OB
n
|
n
2
2
2
< br>要使
c
n
t
恒成立，只要
(
c
n
)
max
t
成立，下面求数列
{
c<
/p>
n
}
的最大值：
c
n
c
n
1
(
n
2)
2
(
n
3)
2
2(
n
2)
2
(
< br>n
3)
2
n
2
2
n
1
<
/p>
0
c
c
n
n
1
2
n
2
2
n
3
2
n
3<
/p>
2
n
3
9
8
即数列
{
c
n
}
递减，
c
n
c
n
1
,
又
9
[
,
)
故所求
t
的取值范围是
8
考点三：建立等差、等比数列模型解决实际问题
例
6
：流行性感冒是呼吸道传染病，据资料记载从<
/p>
2008
年的
11
月
1
号起，某市流感感染者
有
20
人，以后每天新的感染者平均比前一天的感染者增加
50
人，因为该市医疗部门采取紧
急的医疗措施，使
病毒传播得到控制，从某天起每天新的感染者平均比前一天减少
30
人，到
11
月
30
号为止该市在这
30
天内的感染患者有
8670
人，问
11
月几号感
染的人数最多？并求
这个天的新患者的人数。
【
思路分析
】根据题意知：本题是等差数列模型，假设
11
月内的第
k
号，感染流感的人
数最多，由
30
天
内流感的总人数是
8670
人，建立关于
k
的方程，求
k
。
< br>
解：
设
11
< br>月内第
k
号新增的流感人数最多。
则从
11
月
1
号到
11
月
k
号的流感人数
+
从
11
月（
k+1
）号到
11
月
30
号流感人
数
=8670
从
11
月
1
号到
11
月
k
号患者的人数构成首项为
20
，公差为
50
的等差数列
{
a
n
}
a
n
< br>
20
(
k
1)
50
50
k
30
，
故从
11
月
1
号到
11
月
k
号患者的总人数是：
是
b
1
a
k
30
，公差是－
30
S
1
a
1
a
2
a
k
< br>(50
k
10)
k
2
从
< br>11
月的第
k+1
号到
11
月
30
号患者的人
数构成等差数列
{
b
n
}
，
项数是
（
30
－
k
）
,
首项
b
30
k
b
1
(30
k
1)
d
50
k
60
(29
k
)
(
30)
80
k
30
3
1
从
11
月第
k+1
号到
11
月
30
号患者的总人数是：
S
2
b
1
b
2
b
< br>30
k
50
k
60
80
k
30
31
130
< br>k
30
33
(30
< br>k
)
(30
k
)
2
2
故由已知得：
S
1
S
2
8670
< br>(50
k
10)
k
130
k
30
33
(30
k
)
8670
2
2
2
k
61
k
< br>
588
0
< br>
(
k
12)(
k
49)
0,
k
< br>30,
k
< br>12
，即
11
月
12
号
整理得：
新患者的人数
最多，有
a
12
50
12
30
=570
人。
答：
11
月
12
号新患者的人数最多，是
570
人。
例
7
< br>：某汽车销售公司为了促销，在
2009
年
5
月
1
号采用了灵活的付款
方式，对购买
10
万
元一辆的汽车在一
年内将款全部付清的前提下，提供了如下两种分期付款的方案。
方案（一）
：分
3
次付清，购买后第
4
个月的月末第一次付款，再过
4
个月的月末第二次
付款，再过
4
个月的月末第三次付款
方案（二）
：分
12
次付清，购买后第一个月的月末第一次付款
，再过一个月的月末第二
次付款，……，购买后第
12
个月的月末付款。
规定：每月付款的数额相同
，月利率是
8%
，复利计算。
（
1
）试比较上述两种方案哪一种付款的总额
最少？
（
2
）若汽车销售公司将收回的售车款实行再投资，可获月增长
2%
的效益，为此，决定
对一次性付清车款的顾客给予降价
p%
的优惠，为保证一次性付款经一年后的本息低于方案
（一）
、方案（二）中较少一种的付款总额，且售车款再投资一年后的本息要高于车价款一年
后的本息，试确定
p
的取值范围。
【
思路分析】
对于（
1
）
（
2
）是分期付款的问题，是等比数列的模型，比较两种方案的付
款总额的大小
，是等比数列求和问题。对于（
2
）
，
直接根据已知条件建立关于
p
的不等式组。
解：
（
1
）对方案（一）
，设每次付款
x
元，
则第一次付款
x
万元到结束的本息和是
x
(1
<
/p>
8%)
1.008
x
（万元）
4
< br>4
x
(1
8%)
1.008
x
（万元）
第二次付款
x
万元到结束的本息和是
8
8