-

2021年2月21日发(作者：囫囵吞枣的寓意)

二维线性空间

陈祥科

1

、线性空间

.......... .................................................. .................................................. ...... 2

1.1

、

线性空间的代数定义

.................. .................................................. ................... 2

1.2

线性空间的基和维度

.................. .................................................. ..................... 2

2

、线性变换

.......... .................................................. .................................................. ...... 2

2.1

、变换的定义

....... .................................................. .............................................. 2

2.2

、线性变换的定义

..... .................................................. ......................................... 2

2.3

线性变换的性质

.

................................. .................................................. ............... 3

2.4

、线性变换下的 坐标变换

................................... .................................................. . 3

2.5

、线性变换的矩阵表示：

................................................. ..................................... 3

3

、二维图形的几何变换

< p>
.

................................ .................................................. ................ 4

3.1

平移变换

....................... .................................................. ................................... 4

3.2

缩放变换

......... .................................................. .................................................. 5

3.3

旋转变换

....... .................................................. .................................................. .. 5

3.4

对称变换

.... .................................................. .................................................. ..... 5

3.5

错切变换

. .................................................. .................................................. ........ 5

3.6

复合变换

......... .................................................. .................................................. 6

4

、二维线性变换的应用实例

< /p>

.

............................ .................................................. ............. 7

1

、线性空间

1.1

、

线性空间的代数定义

一个定义了加法 与数乘运算，且对这些运算封闭，空间中任意向量都属于数域

P

，并满足八条算律的集合

为数域

P

上的 线性空间。

1.2

线性空间的基和维度

对于一个数域上 的线性空间

R

，由

n

< br>个属于

R

的元素组成的一个线性无关组，如果

< p>
R

中的任意一个元素都

是这

n

个元素的线性组合，那么这个线性空间的维度为

n

，且这个线性无关组为

R

的一组基。显然，二维 空间的

基有

2

个元素组成。二维线性空 间的的两组基分别为

(

0

，

< p>
1

和

(1,0)

。

2

、线性变换

2.1

、变换的定义

变换是广义概念的函数，它是这样定义的，如果存 在

2

个非空集合

A

、

B

，

α

是

A

中的任意元素，如果

在集合

B

中必定有一个元素

β

与集合

A

中的

α

元素对应，则称这个对应关系是集合

A

到集合

B

的一个变换，变

换也称为映射，记为

T

，即有等式

β=T(α)

称

< br>β

为

α

在

T

变换下的象，称

α

为

β

在

T

变换下的源，集合< /p>

A

称为变换

T

的 源集，

A

在变换

T

下的所有象称为

象集，显然象集是

B

的子集。

2.2

、线性变换的定义

< p>
R

是数域

F

上的线性空间 ，

σ

是

R

的一 个变换，并且满足





a



b



< br>





a









b







ka< /p>





k





a



< p>
其中

a,b

∈

R

，

k

∈

F

则称

σ

是

R

的一个线性变换（这是由

R

到

R

自身的一个映射）。线性变换定义的意义

是，将

R

的任意

2

个元素的和进行 变换等同于将这

2

个元素分别进行变换后再求和，将

< p>
R

的任意元素的数乘进

行变换等同于将这个元素先 进行变换再数乘。下面是线性变换的另一种表述方式：



(

k





l



)



k



(



< br>)



l



(



)





,





R

,

k

,

l



F

2.3

线性变换的性质

如果线性空间

R

上的一个线性变换

σ

，

σ

有如下性质

σ(a)=a

，称

< br>σ

为线性恒等变换

σ(a)= 0

，称

σ

为线性零变换

σ

的象集是

R

的一个子集，称为象空间，也就是说是

R

的一个线性 子空间。

线性变换的基本性质

σ(0)=0,σ(

-a)=-

σ(a)< /p>

线性变换不改变线性组合和线性关系

线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量

组

< p>

由第一条性质可以看出，线性变换将零向量依然变成零向量，所以平移变 换（即向量的位置发生变化）不

是线性变换（这也是计算机图形为何要引入仿射变换的目 的，仿射变换是线性变换的超集）。性质

2

和下面这种

描述是等价的：

如果

σ

是线性空间

R

上的一个线性变换，那 么

σ

满足：如果

β

是

(α1,α2..αn)

的线性组合，那么

σ(β)

依然是

(σ(α1),σ(α2)..σ( αn))

的线性组合。

性质

3

指出线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组，但线性变换 不一定可以把线性无关的向

量组变为线性无关的向量组，例如上面所说的线性零变换，即 线性变换可能将一个向量变为零向量，而包含零向

量的向量组必定线性相关。

< p>

2.4

、线性变换下的坐标变换

R

是数域

F

上的线 性空间，

σ

是

R

某一组基

X

下的线性变换，

其矩阵为

A

，

v

是

R

中的任意向量，

v

在基

X

下的坐标为

(x1,x2.. xn)

T

，

v

经过线性变换

σ

的坐标为

(y1,y2 ..yn)

T

，那么有

（

y1,y2..yn)T=A(x1,x2..xn)T

或用行向量表示为

（

y1,y2..yn)=(x1,x2..xn)A

T

也就是说，线性变换

σ

对于

R

中任意向量

v

的效果等同于

< br>σ

的矩阵与

v

的乘积。上面这个 公式称为线性变

换下的坐标变换公式，证明方法与基变换下的坐标变换公式类似

。

线性变换下的坐标变换公式是向量空间中对 向量进行线性变换变换的基本方法，基本的线性变换有旋转、

缩放、镜像（也称反射）、 切变等，对于旋转，由于线性变换不会发生平移，所以在二维空间中是绕原点旋转，

在三 维空间中是绕过原点的直线旋转，

这些线性变换都是可逆的。有一种特殊的线性变换

-

正交投影，投影是降维

变换，例如三维到 二维的投影，由于变换丢失了一维的信息，所以正交投影是不可逆的，即正交投影的线性变换

矩阵的行列式为

0

。

2.5

、线性变换的矩阵表示：

线性变换矩阵的定义

设

{

α

1

，

< br>α

2

，

…

，

α

n}

是数域

F

上的

n

维线性空间

V

的一个基，

σ

∈

L(V)

．

基向量的象可由基线性表示：





(



1

)



a

11

< p>


1



a

21



2



< br>



a

n

1



n







(



2

)



a

12



1



a

< p>
22



2







a

n

< br>2



n



















(



n

)



a

1

n



1



< br>a

2

n



2







a

nn



n

我们 把（

1

）写成矩阵等式的形式

(

σ

(

α

1),

σ

(

α

2), …,

σ

(

α

n)) =(

α

1,

α

2, …,

α

n) A

其中

A

为：



a

11

< /p>

a

21

A







M





a

n

1

a

12

a

22

M

a

n

2

< br>







a

1

n





a

2

n



M





a

nn



矩阵

A

称为线性变换

σ

在基

{

α

1

，

α

2

，

…

，

α

n}

下的矩阵．< /p>

3

、二维图形的几何变换

< p>
正如我们在附录中提到的那样，

用齐次坐标表示点的变换将非常方便，

因此在本节中所有的几何变换都将采用

齐次坐标进行运算。二维齐次 坐标变换的矩阵的形式是：

这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。



a



d

其中



b





c









e



f

可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换；





是对图形进行平移变换；

[g h]

是对图形作

投影变换；

[i]

则是 对图形整体进行缩放变换。

3.1

平移变换

-

-

-

-

-

-

-

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