2017年考研数学二真题与解析
-
2017
年考研数学二真题
一、选择题
1
—
8
小题．每小题
4
分，共
32
分．
1
cos
x
,
x
0
1
．若函数
f
(
x
< br>)
在
x
0
处连续，则
< br>
ax
b
,
x
0
1
1
（
B
）
ab
（
C
）
ab
0
（
D
）
ab
2
2
2
1
x
1
cos
x
1
2
【
详解
】
lim
，
lim
f
(
x
)
b
< br>
f
(0)
，要使函数在
x
0
处连续，
f
(
x
)
lim
lim
x
0
x
0
x
0
< br>
ax
ax
2
< br>a
x
0
1
1
必须满足
b
ab
．所以应该选（
A
）
2
a
2
< br>（
A
）
ab
2
．设二阶可导函数
f
(
x
)
满足
f
(1)
f
(
1)
1
，
f
(0)
1
，且
f
(
x
)
0
，则（
）
（
A
）
（
C
）
1
1
0
f
< br>(
x
)
dx
0
（
B
）
f
(
x
)
dx
0
1
1
1
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
（
D
）
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
< br>0
1
0
1
0
1
【
详
解
】注意到条件
f
< br>
(
x
)
0
，则知道曲线
f
(
x
)
在
1
,0
,
0,1
上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然
当
< br>x
1,0
时，
f
(
x
)
2
x
1<
/p>
，当
x
0,1
时，
f<
/p>
(
x
)
2
x
1
，而且两个式子的等号不是处处成立，
否则不满足二阶可导．所以
1
1
f
(
x
)
< br>dx
(
2
x
1)
dx
(2
x
1)
dx
0
．所以选择（
B
）
．
1
0
2
0
1
当
然
，<
/p>
如
果
在
考
场
上
，
不
用
这
么
详
细
考
虑
，
可
以
考
虑
代
一
个
特
殊<
/p>
函
数
f
(
x
)
2
x
1
，
此
时
1
1
1
，可判断出选项（
A
）
，
（
C
）
，
（
D
）都是错误的，当然
选择（
B
）
．希望同
< br>f
(
x
)
dx
,
f
(
x
)
dx
1
0
3
3
0
学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选
择题的技巧．
3
．设数列
x
n
收敛，则
（
A
）当
limsin
x
n
0
时，
lim<
/p>
x
n
0
（
B
）当
lim(
x
n
n
<
/p>
n
n
<
/p>
x
n
)
0
时，
lim
x
n
0
n
n
(C
）当
lim(
x<
/p>
n
x
n
)
0
时，
lim
x
n
0
（
D
）当
lim(
x
n
sin
x
n
)
0
时，
lim
x
n<
/p>
0
n
n
n
2
【
详解
】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（
D
< br>）是正确的．
其实此题注意，设
lim
x
n
A
，则
n
limsin
x
n
sin
A
,lim(
x
n
n
n
x
n
)
A
2
A
,lim(
x
n
x
n
)
A
A
2
,lim(
x
n
sin
x
n
)
A
sin
A
n
n
分别解方程
sin
A
0,
A
A
0,
A
A
2
0,
A
sin
< br>A
0
时，发现只有第四个方程
A
sin
A
0
有唯
一解
A
0
，也就
是得到
lim
x
n
0
．
n
４．微分方程
y
4
y
89
e
(1
cos
2
x
)
的特解可设为
y
*
< br>（
）
（
A
）
Ae
（
C
）
Ae
2
x
2
x
e
2
x
(
B
< br>cos
2
x
< br>C
sin
2
x
< br>)
（
B
）
Axe
2
x
xe
2
x
(
B
cos
2
x
C
sin
2
x
)
xe
2
x
(
B
< br>cos
2
x
< br>C
sin
2
x
< br>)
（
D
）
Axe
2
x
xe
2
x
(
B
cos
2
x
C
sin
2
x
)
2
2
x
【
详解
】微分方程的特征方程为
r
4
r
8
0
，有一
对共轭的复数根
r
2
2
i
．
2
x
2
x
所以
1
2
不是特征方程的根，所以对应方程
y
4
y
89
e
的特解应该设为
y
1
*
Ae
；
2
x
而
2
2
2
i
是
方
程
的
< br>单
根
，
所
以
对
应
方
程
y
4
y
89
e
cos
2
x
的
特
解
应
该
设
为
x
y
2
*
xe
2
x
(
B
cos
2
x
C
s
in
2
x
)
；
从
而
微
分
方
程
y
4
y
8
9
< br>
2
e
(
1
c
o
x
s
2
特
)
解
可
设
为
的
y
*
y
1
*
< br>y
2
*
Ae
2
x
xe
2
x
(
B
cos
2
x
C
sin
2
x
)
，应该选（
C
）
．
5
．
设
f
(
x
,<
/p>
y
)
具有一阶偏导数，且对任意的
(
x
,
y
)
都有
f
(
x
,
y
< br>)
f
(
x
,
y
)
0,
0
，则
（
）
x
y
（
A
）
f
(0,0)
f
(1,0)
（
B
）
f
(0,0)
f
(1,1)
（
C
）
f
(0,1)
f
(1,0)
（
D
）
f
(0,1)
f
(1,0)
【
详解
】由条件对任意的
(
x
,
y
)
都有
f
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
)
<
/p>
0,
0
可知<
/p>
f
(
x
,
y
)
对于
x
是单调增加的，
x
y
对
y
就单调
减少的．
所以
f
(1,1)
f
(1,0)
f
(0,0),
f
(
1,1)
f
(0,1)
f
(0,0),
f
(0,1)
f
(0
,0)
f
(1,0)
，
只有第三个不等式可得正确结论（
D
）
，应该选（
D
）
．
6
．
甲、
乙两人赛跑，
计时开始时，
甲在乙前方
10
（单位：
米）
处，
如图中，
实线表示甲的速度曲线
v
v
1
(
t
)
（单位：米
/
秒）
，虚线表示乙的速度曲线
v
v
2
(
t
)
（单位：米
/
秒）
，三块阴影部分的面积分别为
< br>10,20,3
，
计时开始后乙追上甲的时刻为
t
0
，则（
）
（
A
）
t
0
10
（
B
）
15
t
0
20
（
C
）
t
0
< br>25
（
D
）
t
0
25
【
详解
】
由定积分的物理意义：
当曲线表示变速直线运动的速度函数时，
S
(
t
)
< br>T
2
T
1
v
(
t
)
d
t
表示时刻
T
1
,
T
2
内所走的路程．本题中的阴影面积
S
1
,
S
2
,
S
3
分别表示在
时间段
0,10
< br>,
10,25
,
25,30
内甲、乙两人所
走路程之差，显然应该在
t
25
时乙追上甲，应该选（
C
）
．
0
0
0
1
7
．
设
A
为三阶矩阵，
P
1
,
2
,
3
为可逆矩阵，
使得
P
AP
0
1
0
，
（
）
2
3
)
则
A
(
1
< br>
0
0
2
（
A
）
1
2
（
B
）
2
2
3
（
C
< br>）
2
3
（
D
）
1
2
3
【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目．可知
0
0
0
< br>
0
0
0
A
(
1
,
2
,
3
)
AP
P
0
1
0
1
,
2
,<
/p>
3
0
1
0
0,
2
,
2
< br>3
0
0
2
0
0
2
所以
A
(
1
2
3
)
A
1
A
2
<
/p>
A
3
2
2
3
，
所以可知选择（<
/p>
B
）
．
2
0
0
2
1
0
1
0
0
<
/p>
8
．已知矩阵
A
0
2
1<
/p>
，
B
0
2
0
，
C
0
2
0
，则
0
0
1
0
0
1
0
0
2
< br>（
A
）
A
,
C
相似，
B
,
C
相似
（
B
）
A
,
C
相似，
B
,
C
不相似
（
C
）
A
,
C
不相似，
B
,
C
相似
（
D
）
A
,
C
不相似，
B
,
C
不相似
【
详解
】矩阵
A
,
B
的特征值都是
1
2
<
/p>
2,
3
1
．是否可对解化，只需要关心
2
的情况．
0
0
0
对于矩阵
A
，
2
E
A
< br>0
0
1
，
秩等于
1
，
也就是矩阵
A
属于特征值
2
存在两个线性
无关的特
0
0
1
征
向量，也就是可以对角化，也就是
A
~
C
．
0<
/p>
1
0
对于矩阵
B
，
2
E
B
0
0
0
，
< br>秩等于
2
，
也就是矩阵
A
属于特征值
<
/p>
2
只有一个线性无关的特
0
0
1
< br>
征向量，也就是不可以对角化，当然
B
,
C
不相似故选择（
B
）
．
二、填空题（本题共
6
小题，每小题
4
分，满分
24
分
.
把答案填在题中横线上）
9
．曲线
y
x
(1
arcsin
)
的斜渐近线为
．
2
x
2
x
(1
arcsin
)
y
x
1
，
lim(
y
<
/p>
x
)
lim<
/p>
x
arcsin
2
2
，所以斜渐近线为
y
x
2
．
解：
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
< br>t
e
t
d
2
y
10
．设函数
y
y
(
x
)
由参数方程
< br>
确定，则
2
|
t
0
．
dx
y
sin
t
cos<
/p>
t
d
t
1
e
d
2
y
1
dy
< br>cos
t
d
2
< br>y
(1
e
t
)sin
t
< br>e
t
cos
t
< br>dt
|
【
详解
】
，所以
< br>．
,
t
0
dx
dx
2
8
dx
1
<
/p>
e
t
dx
2
(1
e
t
)
3
dt
11
0
ln(1<
/p>
x
)
dx
.
(
1
x
)
2<
/p>
【
详解
】
0
ln(
1
x
)
1<
/p>
ln(1
x
)
1
d
x
ln(1
x
)
d
|
0
dx
1
2
2
0
0
(1
x
)
1
< br>x
1
x
(1
x
)
12
．设函数
f
(
x
,
y
)
具有一阶连续的偏导数，且已知
df
(
x
,
y
)
<
/p>
ye
dx
x<
/p>
(1
y
)
e
dy
，
f
(0,0)
0
，则
y
y
f
(
x
,
y
)
【
详解
】
df
(
x
,
y
)
ye
dx
x
(1
y
)
e
dy
d
(
xye
)
，
所以
f
(
x
,
y
)
xye
C
，
由
f
(
得
C
0<
/p>
，
0
,
0
)
0
，
所以
f
(
x
,
y
)
< br>xye
．
13
．
y
y
y
y
y
1
0
dy
tan
x
dx
．
y
x
1
1
x
tan
x
1
tan
x
1
dy
dx
dx
dy
tan
xdx
l
n
cos
x
ln
cos1.
< br>
0
y
x
0
0
x
0
0
1
1
【
详解
】交换二重积分的积分次序得：
4
1
2
1
< br>
14
．设矩阵
A
< br>
1
2
a
的一个特征向量为
1
，则
a
．
3
1
1
2
< br>【
详解
】根据特征向量的定义，有
4
1
2
1
<
/p>
1
1
A
< br>
1
2
a
1
1
<
/p>
3
2
a
，解得
a
1
．
3
1
1
2
< br>
2
2
<
/p>
三、解答题
15
．
（本题满分
10
分）
求极限
lim
x
0
x
0
x
< br>
te
t
dt
< br>x
3
【
详解
】令
x
t
u
，则
t
x
u<
/p>
,
dt
du
，
x
0
x
te
t
dt
x
0
ue
x
u
du
x
0
lim
x
0
x
te
t
dt
x
3
lim
x
0
e
x
x<
/p>
0
ue
u
du
x
3
lim
x
0
x
0
ue
u
du
x
3
xe
x
2
lim
x
< br>0
3
x
3
2
16
．
（本题满分
10
分）