考研数学历年真题(2008-2017)年数学二_最新修正版
-
最新修正版
201
7
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：
1~8
小题，每小题
4
分，共
32<
/p>
分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的
.
1
c
os
x
,
x
0
（
1
）若函数
f
(
x<
/p>
)
在
x=0
连续，则
a
x
b
,
x<
/p>
0
(A)
ab
1
1
(B)
ab
(
C)
ab
0
2
2
(D)
ab
2
（
2
）设二阶可到函数
f
(
x
)
满足
f<
/p>
(1)
f
(<
/p>
1)
1,<
/p>
f
(0)
<
/p>
1
且
f
(
x
)
0
，则
(A)
(C)
1
1
0
f
< br>(
x
)
dx
0
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
0
1
(B)
(D)
1
2
1
f
(
x
)
dx
0
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
0
1
1
< br>1
（
3
）设数列
x
n
收敛，则
(A)
当
limsin
x
n
0
时，
lim
x
n
0
n
n
(B)
当
lim
x
n
(
x
n
n
x
n
)
0
时，则
lim
x
n
0
n
< br>n
(C)
当
lim(
x
n
x
n
)
< br>
0
,
lim
< br>
0
n
n<
/p>
2
x
2
(D)
当
lim(
x
n
sin
x
n
)
0<
/p>
时，
lim
x
n
0
n
k
（
4
）微分方程
y
<
/p>
4
y
8
y
e
(1
cos
2
x
)
的特解可设为
y
(A)
Ae
(C)
Ae
2
x
e
2
x
(
B
cos
2
x
C
sin
2
x
)
xe
2
x
(
B
cos
2
x
C
sin
2
x
)
(B)
Axe
2
x
e
2
x
(
B
cos
2
x
C
sin
2
x
)
xe
2
x
< br>(
B
cos
2
< br>x
C
sin
< br>2
x
)
2
x
(D)
Axe
< br>2
x
（
5
）设
f
(
x
,
y
)
具有一阶偏导数，且在任意的<
/p>
(
x
,
y
)
，都有
(A)<
/p>
f
(0,0)
f
(1,1)
(C)
f
(
0,1)
f
(1,0)
< br>f
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
)
0
,
0
,
则
x
x
< br>(B)
f
(0,0)
f
(1,1)
(D)
f
(0,1)
f
(1,0)
（
< br>6
）
甲、
乙两人赛跑，
计时开始时，
甲在乙前方
10
< br>（单位
:m
）
处
,
图中，
实线表示甲的速度曲线
v
v
1
t
（单位
:m/s
）
虚线表示乙的速度曲线
v
v
2
t
，三块阴影部分
面积的数值依次为
10,20,3
，计时开始后乙追上甲的时刻
记为
t
0
（单
位
:s
）
,
则
(A)
t
0
10
(B)
15
t
0<
/p>
20
(C)
t
0
25
(D)
t
0
25<
/p>
最新修正版
0
0
0
1
（
7
）设
A
为三阶矩阵，
P
(
1
,
2
,
3
)
为可逆矩阵，使得
<
/p>
P
AP
0
1
0
，则
A
(
1
,
2
,
3
)
0
0
2
<
/p>
(A)
1<
/p>
2
(B)
2
2
3
(C)
2
3
(D)
1
2
2
2
0
0
< br>
2
1
0
1
0
0
（
8
）已知矩阵
A
0
2
1
，
B
0
2
0
，
C
< br>
0
2
0
，则
<
/p>
0
0
1
0
0
1
0
0
0
(A) A
与
C
相似，
B
与
C
相似
(C) A
与
C
不相似，
B
与
C
相似
二、填空题：
9~14
题，每小题
4
分，共
24<
/p>
分
.
（
9
）曲线
y
x
1
arcsi
n
(B) A
与
C
相似，
B
与
C
不相似
(D) A
与
C
不相似，
B
与
C
不相似
2
的斜渐近线
方程为
x
x
t
e
t
d
2
y
（
10
）设函数
y
y
(
x
)
由参数方程
确定，则
dx
2
y
sin
t
（
11<
/p>
）
t
0
ln(1
<
/p>
x
)
0
1
x
2
dx
=
（
12
）设函数
f
x
,
y
具有一阶连续偏导数，且
df
x
,
y
ye
y
dx
x
1
y
e
y
dy
,
f
0,0
0
，则
f
x<
/p>
,
y
=
（
13
）
1
0
dy
1
tan
x
y
x
dx
4
1
2
1
（
< br>14
）设矩阵
A
1
2
a
< br>
的一个特征向量为
1
，则
a
3
1
1
2
< br>三、解答题：
15~23
小题，共
94
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
（
15
）（本题满分
10
分）
求
lim
x
0
x
0
x
te
t
dt
x
3
（
16
）（本题满分
10
分）
dy
设函数
f
u
,
v
具有
2
阶连续偏导数，
y
f
e
,
cosx
,
求
d
x
x
d
2
y
,
d
x
2
x
0
x
0
（
17
）（
本题满分
10
分）
最新修正版
求
lim
k
k
ln
1
n
n
2
n
k
1
n
（
18
）（本题满分
10
分）
已知函数
y
(
x
)
由方程
x
y
3<
/p>
x
3
y
2
0
确定，求
y
(
x
)
的极值
（
19
）（本题满分
10
分）
3
3
l
im
设函数
f
(
x
)
在
0
,1
上具有
2
阶导数，
f
(1)
0,
x
0
< br>
f
(
x
)
0
，证明
x
（
1
）
方程
f
(
x
)
0
在区间
(
0,1)
内至少存在一个实根；
（<
/p>
2
）方程
f
(<
/p>
x
)
f
(
x
)
[
f
(
x
)]
< br>在区间
(0,1)
内至少存在两个不同的实根
.
（
20
）（本题满分
11
分）
已知平面区域
D
2
x
,
y
x
2<
/p>
y
2
2
y
，计算二重积分
x
1
dxdy
2
D
（
21
）（本题满分
11
分）
设
y
(
x
)
是
区间
(0,
)
内的可导函数，且
y
(1)
0
，点
P
是曲线
L
:
y
y
(
x
)
上的任意一点，
L
在点
P
处的
切线
与
y
轴相交于点
< br>(0,
Y
P
)
< br>，法线与
x
轴相交于点
(
X
P
,0)
，若
X
p
Y
P
，求
L
上点的坐标<
/p>
(
x
,
y
)
满足的方程。
（
22
）（
本题满分
11
分）
< br>三阶行列式
A
(
1
,
< br>2
,
3
)
有
3
个不同的特征值，且
3
1
2
< br>2
（
1
）证明
r
(
A
)
2
（
2
）如果
1
2
3
求方程组
Ax
b
的通解
（
23<
/p>
）（本题满分
11
分）
< br>
2
2
设二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
<
/p>
2
x
1
x
2
ax
3
2
x
1
x
2
< br>8
x
1
x
3
2
x
2
x
3
在正交变换
x
Qy
下的标准型为
1
y
1
< br>
2
y
2
3
2
2
2
2
求
a
的值及一个正交矩阵
Q
.
2016
年全国硕士研究生入学统一
考试数学二试题
最新修正版
一、选择：
1~8
小题，每小题
4
分，
共
32
分
.
下
列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的
.
（<
/p>
1
）设
a
1
x
(cos
x<
/p>
1)
，
a
2
高阶拓排序是（
）
（
A
）
a
1
,
a
2
,
a
3
.
（
C
）
a
2
,
a
1
,
a
3
.
（
B
）
a
2
,
a
3
,
a
1
.
（
D
）
a
3
,
a
2
,
a
1
.
x
l
n(1
3
x
)
，
a
3
<
/p>
3
x
1
1
.
当
x
0
时，以上
3
个无穷小量按照从低阶到
< br>
2(
x
1),
x
1,
< br>（
2
）已知函数
f
(
x
)
< br>
则
f
(
x
)
的一个原函数是（
）
ln
x
,
x
1,
(
x
1)
2
,
x
1.
（
A
< br>）
F
(
x
)
x
(ln
x
1
),
x
1.
(
x
1)
2
,
x
1.
（
C
）
F
(
x
)
< br>
x
(ln
x
1)
1,
x
1.
0
(
x
1)
2
,
x
1.
（
B
）
F
(
< br>x
)
x
(ln
x
1)
1,
x
1.
(
x
1)
2
,
x
1.
（
D
）
F
(
x
)
x
(ln
x
1)
1,
x
1.
1
+
< br>
1
1
1
x
e
dx
，
②
e
x
dx
的敛散性为（
）
（
3
）反常积分
①
2
2
x<
/p>
0
x
（
A
）
①
收敛，
②
收敛
.
（
C
）
①
收敛，
②
收敛
.
（
B
）
①
收敛，
②
发散<
/p>
.
（
D
）
①
收敛，
②
发散<
/p>
.
（
4
）设函
数
f
(
x
)<
/p>
在
(
,
)
内连续，求导函数的图形如图所示，
则
（
A<
/p>
）函数
f
(
x<
/p>
)
有
2
个极值点
，曲线
y
f
(
x
)
有
2<
/p>
个拐点
.
（
B
）函数
f
(
x
)
有
2
个极值点，曲线
y
f
(
x
)
有
3
个拐点
.
（
C
）函数
f
(
x
)
有
3
个极值点，曲线
y
f
(
x
)
有
1
个拐点
.
（
D
）函数
f
(
x
)
有
3
个极值点，曲线
y
f
(
x
)
有
2
个拐点
.
x
0<
/p>
)
0
(
i
1
,
2
)
，
若两条曲线
y
f
i
(
x
)(
i
1,
2)
在点
(
x
0
,
y
0
)
处
（
5
）
设函数
f
i
(
x
)(
i
1,
2)
具有二阶连续导数，
且
f
i
(
具有公切线
y
g
(
x
)
，
且在该点处曲线
y
f
1
(
x
)
的曲率大于
曲线
y
f
2
(
x
)
的曲率
，
则在
x
0
的
某个领域内，
有
（
）
（
A
）
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
< br>g
(
x
)
（
C
）
f
1
(
x
)
g
(
x
)
f
2
(
x
)
（
B
）
f
2
(
x
)
f
1
(
x
)
< br>g
(
x
)
（
D
）
f
2
(
x
)
g
(
x
)
f
1
(
x
)
< br>e
x
（
6
）已知函数
f
(
x
< br>,
y
)
，则（
）
x
y
（
A
）
f
x
f
y
0
'
'
< br>
（
B
）
f
x
f
y
0
'
< br>'
最新修正版
（
C
）
f
< br>x
f
y
f
'
'
（
D
）
f
x
f
y
f
'
'
（
< br>7
）设
A
，
B
是可逆矩阵，且
A
与
B
相似，则下列结论错误的是（
）
（
A
）
A
T
与
B
T
相似
（
C
）
A
A
T
与
B
B
T
< br>相似
（
B
）
A
1
与
B
1
相似
（
D
）
A
A
1
与
B
B
1<
/p>
相似
2
2
2
（
8
）设二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
a
(
x
1
< br>
x
2
x
3
)
2
x
1
x
2
2
x
2
x
3
2
x
1
x
3
< br>的正、负惯性指数分别为
1,2
，则（
< br>
）
（
A
）
a
1
（
B
）
a
< br>
2
（
C
）
2
a
1
二、填空题
：
9~14
小题，每小题
4
分，共
24
分。
（
D
）
a
1
与
a
2
x
3
arctan(1
x
2
)
的斜渐近线方程为
____________.
（
9
）曲线
y
2
1
x
（
10
）极限
li
m
1
1
2
(s
in
2sin
n
n
2
n
n
2
x
2
n
n
sin
)
____________. <
/p>
n
（
11
）以<
/p>
y
x
e
和
y
x
为特解的一阶非齐次线性微分方程为
_____
_______.
（
12
）
已知函数
f
(
x
)
在
(
,
)
上连续，
且
f
(
x
)
(
x
1)
2
3
2
x
0
f
(
t
)d
t
，
则当
n
2
时，
f
(
n
)
(0)
____________.
（<
/p>
13
）已知动点
P
在曲线
y
x
上运动，记坐标原点与点
P
间的距离为
l
.
若点
P
的横坐标时间的变化率为常数
v
0
，<
/p>
则当点
P
运动到点
(1,1)
时，
l
对时间的变化率是
_______.
a
1
1
1
1
0
<
/p>
（
14
）设矩阵
1
a<
/p>
1
与
0
1
1
等价，则
a
_________.
1
1
a
<
/p>
1
0
1
解答题：
15~23
小题，共
94
分
.
解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤
.
（
15
）（本题满分
10
分）
求极限
lim
(cos
2
x
2
x
sin
x
)
.
x
0
1
x
4
（
16<
/p>
）（本题满分
10
分）
< br>
设函数
f
(
< br>x
)
1
0
t
2
x
2
dt
(<
/p>
x
0)
，求<
/p>
f
'
(
x
)
并求
f
(
x
)
的最小值
.
（
17<
/p>
）（本题满分
10
分）
< br>
已知函数
z
z
(
x
,
y
)
由方程
(
x
y
)
z
ln
z
2(
x
y<
/p>
1)
0
确定，求
z
z<
/p>
(
x
,
y
)
的极值
.
2
2
最新修正版
（
18
）（本题满分
< br>10
分）
x
< br>2
xy
y
2
设
D
是由直线
y
1
，
y
x
，
y
x
围成的有界区域，计算二重积分
dxd
y
.
2
2<
/p>
x
y
D
（
19
）（本题满分
10
分）
x
x<
/p>
x
1)
y
'
y
2
的
0
两
个
解
，
若
< br>u
(
1)
e
，
已
知
y
1
(
x<
/p>
)
e
，
y
2
(
x
)
u
(
x
)
e
是
二
阶
微
分
方
程
(
2
x<
/p>
1)
y
(
2
n
u
(0)
1
，求
u
(
x
)
，并写出该微分方程的通解。
（
20
）（
本题满分
11
分）
< br>3
x
cos
t
2
设
D
是由曲线
y
1
x
(0
x
1)
与<
/p>
0
t
围成的平面区域，求
D
绕
x
轴旋转一周所得旋转体
3
2
y
sin
t
的体积和表面积
。
（
21<
/p>
）（本题满分
11
分）
< br>
3
3
cos
x
的一个原函数，且
f
(0)
0
。
]
上连续，在<
/p>
(0,
)
内是函数
2
2
2
x
3
3
（Ⅰ）求
f
(
x<
/p>
)
在区间
[0,
]
上的平均值；
2
< br>已知
f
(
x
)
在
[0,
（Ⅱ）证明
f
(
x
)
在
区间
(0,
（
22
）（本题满分
11
分）
3
)
内存在唯一零点。
2
1<
/p>
1
a
1
0
0
a
，
1
设矩阵
A
1
，且方程组
Ax
无解。
< br>
a
1
1
a
1
2
a
2
（Ⅰ）求
a
的值；
最新修正版
（Ⅱ）求方程组
< br>A
Ax
A
的通解。
（
23<
/p>
）（本题满分
11
分）
< br>
T
T
0
1
1
已知矩阵
A
2
<
/p>
3
0
0
0
0
（Ⅰ）求
A
99
（Ⅱ）
设
3
阶矩阵
B
(
1
,<
/p>
2
,
3
)
满足
B
BA
。记
B
2
100
(
1
,
2
,
3
< br>)
，将
1
,
2
,
3
分别表示为
1
,
2
,
3
的线性
组合。
201
5
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题
:1
～
8
小题，每小题
4
分，共
32
分
.
下列每题给出的四个选项中，
只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题
纸
指定位置上
.
．．．
(1)
下列反常积分中收敛的是（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
最新修正版
sin
< br>t
x
t
)
在
(
,
)
内（
）
(2)
函数
f
(
x<
/p>
)
lim(1
t
0
x<
/p>
（
A
）连续
（
C
）有跳跃间断点
（
B
）有可去间断点
(D)
有无穷间断点
2
1
x
cos
,
x
0
(
0,
0)
，若
f
(
x
)
在
x
0
处连续，则
（
）
(3)
设
函数
f
(
x
)
x
0,
x
0
（
A
）
1
(C)
2
(B)
0
1
(D)<
/p>
0
2
(4)
设函数
f
(
x
)
在
(
,
)
连续，其二阶导函数
f
(
x
)
的图形图所示，则曲线
y
f
(
x
)
的拐点
个数为（
）
（
A
）
0
(B)1
(C)2
(D)3
(5).
设函数
f
(u
，
v)
满足
f
(
x
y
,
)
x
2
y
2
，则
y
x
f
f
与
u
u
1
v
v
1
依次是（
< br>
）
u
1
v
1
（
A
）
1
,0
2
(B)0
，
1
2
（<
/p>
C
）
-
1
,0
2
(D)0
,-
1
2
(6).
设
D
是第一象限中曲线
2
xy
1,4
xy
1
与直线
y
x
,
y
3
x
围成的平面区域，函数
f
(
x
,
y
)
在
D
上连续
，则
f
(
x
,
y
)
dx
dy
=
（
）
D
2
d
（
A
）
4
1
sin
2
1
2sin
2
f
(
r
cos
,
r
sin
)
dr
（
B
）
< br>
d
2
4
1
sin
2
1
2sin
2
1
sin
2
1
2sin
2
f
(
r
cos
,
r
sin
)
dr
（
C
）
d
3
4
1
sin
2
1
2sin
2
f
(
r
cos
,
r
sin
)
dr
（
D
）
< br>
d
3
4
f
(
r
cos
,
r
sin
)
dr
最新修正版
1
1
1
1
(7)
．
设矩阵
A
=
1
2
a
，
则线性方程组
Ax
b
有无穷多个解的充分必要条件为
（<
/p>
）
b
=
d
,
若集合
Ω
=
1
,2
，
1
4
a
2
d
2
（
A<
/p>
）
a
,
d
(B)
a
,
d
(C)
a
,
d
(D)
a
,
d
2
2<
/p>
2
e
1
,
e
3
,
e
2
)
，
(8)
设二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
x
3
< br>)
在正交变换
x
Py
下的标准形为
2
y
1
y
2
y
3
,
其中
P=(e
1
,e
2
,e
3
)
，
若
Q
(
则
f
(
< br>x
1
,
x
2
,
x
3
)
在正交变换
x
Qy
下的标准形为（
）
2
2
2
(A):
2
y
1<
/p>
y
2
y
3
2
2
2
(C)
2
y
1
y
2
<
/p>
y
3
2
2
2
(B)
2
y
1
y
2
y
3
2
2
2
(D)
2
y
1
y
2
y
3
二、填空题：<
/p>
9
～
14
小题<
/p>
,
每小题
4
分<
/p>
,
共
24
分
.
请将答案写在答题纸
指定位置上
.
．．．
x
arctan
t
d
2
y
,
则
2
(9) <
/p>
设
3
dx
y
3
t
t
t
1
2
x
< br>（
10
）函数
f
(
x
)
x
2
在
x
0
处的
n
阶导数
f
(
n
)
(0)
（
11
）设函数
f
(
x
)
连
续，
(
x
)
x
2
0
''
xf
(
t
)
dt
,
若
(1)
1
，
'
(1)
5
，则
f
(1)
'
（
12
）设函数
y
y
(
x
)
是微分方程
y
y
2
y
0
的解，且在
x
0
处
y
(
x
)
取值
3
，则
y
(
x
)
=
（
13
）若函数
z
z
(
x
,
y
)
由方程
e
x
2
y
3
z
xyz
1
确定，则
dz
(0,0)
=
2
（
14<
/p>
）设
3
阶矩阵
A
的特征值为
2
，
-2,1
，
B
A
A
E
，其中
E
为
3
阶单位矩阵，则行列式
B
=
三、解答题：
15
～
23
小题
,
共
94
分
.
请将解答写在答题纸
指定位置上
.
解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤
.
．．．
15
、（本题满分
10
分）
<
/p>
设函数
f
(
x<
/p>
)
x
ln(1
x
)
bx
sin<
/p>
x
，
g
(
x
)
kx
，若
f
(
x
)
与
g
(
x
)
在
x
0
时
是等价无穷小，求
a
,
b
,
k
的值。
16
、（本题满分
< br>10
分）
设
< br>A
0
，
D
是由曲线段
y
< br>A
sin
x
(0
x
2
2
)
及直线
y
o
,
x
2
所形
成的平面区域，
V
1
，
V
2
分别表示
D
绕
x
轴与绕
y
轴旋转所成旋转体的体积，若
V
< br>1
V
2
，求
A
的值。
最新修正版
17
、（本题满分
10
分）
(
x
,
y
)
2(
y
<
/p>
1)
e
x
，
f
x
(
x
,0)
(
x
1)
e
x
，
f
(
0
,
y
)
y
2
y
求
f
(
x<
/p>
,
y
)
的极值。
已知函数
f
(
x
,
y
)<
/p>
满足
f
xy
2<
/p>
18
、（本题满分
10
分）
计算二重积分
2
2
2
，其中
。
D
(
x
,
y
< br>)
x
y
2,
y
x
x
(
x
<
/p>
y
)
dxdy
D
19
、（本题满分
< br>10
分）
已知函数
f
(
x
)
1
x
1
t
dt
2
x
2
1
1
tdt
，求
f
(
x<
/p>
)
零点的个数。
20<
/p>
、（本题满分
11
分）
< br>
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化率与该时
刻物体和介质的温差成正比，现将
一初始温度为
120
C
的物体在
20
C
恒温介质中冷却，
30min
后该物体温度
降至
30
C
，若要使物体的温度继续降
至
21
C
，还
需冷却多长时间？
21<
/p>
、（本题满分
11
分）
< br>
已知函数
f
(
x
)
在区间
a
,
< br>上具有
2
阶导数，
f
(
a
)
0,
f
(
< br>x
)
0,
f
(
x
)
0
设<
/p>
b
a
,
曲线
y
f
(
x
)
在点
0
0
0
0
(
b
,
f
(
b
))
处的切线与
x
轴的交点是
(
x
0
,0)
，证明：
a<
/p>
x
0
b
。
最新修正版
22
、（本题满分
< br>11
分）
< br>a
1
0
3
设矩阵
A
1
a
1
,
且
A
O
.
0
1
a
（
1
）求
a
< br>的值；（
2
）若矩阵
X
满足
X
XA
AX
AXA
E
,
E
为
3
阶单位矩阵，求
X<
/p>
。
23
、（本题满分
< br>11
分）
2
< br>2
0
2
3
1
2
0
设矩阵
A
1
3
3
，相似于矩阵
B
0
b
0
，
1
2
a
0
3
1
<
/p>
（
1
）求
a
,
b
的值（
2
）求可逆矩阵
P
，使
P
AP
为对角矩阵。
1
2014
年全国硕士研究生入学统一考试数学
(
二
)
试题
一、选择题
:1
8
小题
,
每小题
4
< br>分
,
共
32
分
.
下列每题给出的四个选项中
,
只有一个选项符合题目要求的
.
(1)
当
时，若
，
均是比
高阶的无穷小，则
的取值
范围是：
（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
最新修正版
(2)
下列曲线中有渐近线的是：
（
）
(A)
(B)
(C)
(3)
设函数
(A)
当
(C)
当
(D)
，则在区间
上：
（
）
具有二阶导数，
时，
时，
(B)
当
时，
时，
(D)
当
(4)
曲线
上对应于
的点处的曲率半径是：
（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)
设函数
，若
，则
（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
(6)
设函数
在有界闭区域
上连续，在
的
内部具有
2
阶连续偏导数，且满足
及<
/p>
，则：
（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
的最大值和最小值都在
的最大
值和最小值都在
的最大值在
的最小值在
的边界上取得
的内部上取得
的边界上取得
的边界上取得
的内部取得，最小值在
的内部取得，最大值在
(7)
行列式
(A)
（
）
(B)
(C)
(D)
最新修正版
(8)
设
均为
3
维向量，则对任意常数
，向量组
线
性无关是向量组
线性
无关的：
（
）
(A)
必要非充分条件
(C)
充分必要条件
二、填空题：
9
(B)
充分非必要条件
(D)
既非充分也非必要条件
14
小题
,
每小题
4
分
,
共
24
分
.
请将答案
写在答题纸指定位置上
.
(9)
(10)
设
__________.
是周期为
的可导奇函数，且
，则
__________.
(11)
设<
/p>
是由方程
确定的函数，则
_______
___.
(12)
曲线
L
的极坐标方程是
，则
在点
上
,
若其线密度
处的切线的直角坐标
方程是
__________.
,
则
该细棒的质心坐标
______
(13)
一根长为
1
的细棒位于
轴的区间<
/p>
____.
(14)
设二次型
的负惯性指数为
1
，则
的取值范围为
_______.
三
、解答题：
15
～
23
小题
,
共
94
分
.
将解答写在答题纸指定位置上
.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤
.
(15)(
本题满分<
/p>
10
分
)
求极
限
(16)(
本题满分
10
分
)
已知函数
满足微分方程
，且
，求
的极大值与极小值
.
最新修正版
(17)(
本题满分
10
分
)
设平面区域
(18)(
本题满分
10
分
)
计算
.
设函数
求
具有二阶连续导数，
的表达式
.
满足
，若
，
(19
)(
本题满分
10
分
< br>)
设函数
的区间
上连续，且<
/p>
单调增加，
.
证明：
(I)
,
(II)
(20)(
本题满分
11
分
)
.
设函数
，记
，定义函数列
是由曲线
，直线
及
轴所围成平面图
形的面积，求极限
.
最新修正版
(21)(
本题满分
11
分
)
已知函数
满足
，且
求
曲线
线
旋转所成的旋转体的体积
.
(22)(
本题满分
11
分
)
设矩阵
，
为
3
阶单位矩阵
.
(I)
求方程
组
的一个基础解系；
(II)
求满足
的所有矩阵
B
.
(
23)(
本题满分
11
分
)
证明
阶矩阵
与
相似
.
2013
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题
1
—
8
小题．每小题
4
分，共
32
分．
１．设
cos
< br>x
1
x
sin
(
x
),
(
x
)
2<
/p>
，当
x
0
时，
x
（
）
（
A
）比<
/p>
x
高阶的无穷小量
.
（
B
）比
x
低阶的无
穷小量
.
（
C
）与
x
同阶但不等价无穷小量
.
（
D
）与
x
等价无穷小量
.
2
．已知函数
y
f
x
是由方程
< br>cos
xy
ln
y
< br>x
1
确定，则
lim
n
f
2
n
n<
/p>
1
（
（
A
）
2
（
B
）
1
（
C
）
-1
（
D
）
-2
所围成的图形绕直
）
最新修正版
３．设函
数
，
F
(
x
)
x
0
f
(<
/p>
t
)
dt
则（<
/p>
）
（Ｂ）
x
是函数
F
(
x
)
的可去间断点．
（Ｄ）
F
(
x
)
在
x
处可导．
（Ａ）<
/p>
x
为
F
(
x
)
的跳跃间断点．
<
/p>
（Ｃ）
F
(
x<
/p>
)
在
x
处连续但不可导．
1
,
1
x
e
1
(
x
1
)
４．设函数
f
(
x
)
，且反常积分
f
(
x
)
dx
收敛，则（
）
1
1
,
x
e
1
x
< br>ln
x
（
A
）
2
（<
/p>
B
）
a
2
５．设
z
（
C
）
2
a
0
（
D
）
0
2
x
z
z
y
< br>
（
）
f
xy
，其中函数
f
可微，则
y
x
y
x
2
2
f
(
xy<
/p>
)
（
D
）
f
(
xy
)
x
x
(
x
,
y
)
|
x
2
y
2
1
的第
k
象
限的部分，记
I
k
< br>
(
y
x
)
dxdy
6
< br>．设
D
k
是圆域
D
，则（
）
（
k
1
,
2
,
3
,<
/p>
4
）
（
A
）
2
yf
'
(
xy
)
（
B
）
2
yf
'
< br>(
xy
)
（
C
）
D
k
（
A
）
I
1
0
（
B
）
I
2
0
（
C
）
I
3
0
（
D
）
I
4
0
7
．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为
n
阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（
A
）矩阵
C
的行向量组与矩阵
A
的行向量组等价．
（
B
）矩阵
C
的列向量组与矩阵
A
的列向量组
等价．
（
C
）矩阵
C
的行向量组与矩阵
B
的行向量组等价．
（
D
）矩阵
C
的列向量组与矩阵
B
的列向量组等价．
1
a
1
2
0
0
8
．矩阵
a
b
a
< br>
与矩阵
0
< br>b
0
相似的充分必要条件是<
/p>
1
a
1
0
0
0
（
A
）
a
0
,
b
<
/p>
2
（
C
）
a
2
,
b
0
（
B
）
a
0
，
b
为任意常数
（
D
）
a
2
，
b
为任意常数
二、填空题（本题共
6
小题，每小题
4
分，满分
24
分
.
把答案填在题中横线上）
9
．
lim
2
x
0
ln(
1
x
)
．
x
1
x
10
．设函数
f
(
x
)
x
1
1
e
t
dt
，则
y
f
(
x
< br>)
的反函数
x
f
1
(
y
)
在
y
0
处的导数
dx
|
y
0
．
dy
11
．设封闭曲线
L
的极坐标方程为
r
cos
3
，则
L
所围成的平面图形的面积
为
．
6
6
x
arctan<
/p>
t
12
．曲线上
上对应于
t
1
的点处的法线方程为
．
2
y
ln
1
t
最新修正版<
/p>
3
x
2
x
x
2
x
2
x
13
．已知
y
1
e
xe
,
y
2
e
xe
,
y
3
xe
是某二阶常系数非齐次线性
微分方程三个解，则该方程满足条
件
的解为
y
．
14<
/p>
．设
A
a
ij
是三阶非零矩阵，
A
< br>为
A
的行列式，
A
ij
为元素
a
ij
的代数余子式，
若
，则
．
三、解答题
15
．（本题满分
10
分）
当
x
0
时，
1
cos
x
cos
2
x
cos
3
x
与
ax
是等价无穷小，
求常数
a
与
n
的值．
16
．（本题满分
10
分）
设
D
< br>是由曲线
y
x
，
直线
x
< br>a
(
a
0
)
及
x
轴
所转成的平面图形，
V
x
,
V
y
分别是
D
绕
x
轴和
y
轴旋转一周所形成
的立体的体积，若
10
V
x
V
y
，求
a
的值．
17
．（本题满分
< br>10
分）
设平面区域
D
是由直线
x
3
y
,
y
3
x
,
x
y
8
所围成，计算
18
．（
本题满分
10
分）
< br>设奇函数
f
(
x
)
在
1
,
1
上具有二阶导数，且
f
(
1
)
1
，证明：
（
1
）存在
(
0
,
1
)
，使得
f
'
< br>
1
；
（
2
）存在
(
1
,
1
)
，使得
f
(
)
f
(
)
1
< br>．
19
．（本题满分
10
分）
求曲线
x
xy
y
1
(
x
0
,
y
0
)
上的点到坐标原点的最长距离和最短距离．
3
3
n
1
3
2
x
dxdy
．
D