2007年考研数学二真题及答案
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2007
年考研数学二真题
一、选择题（
1
10
小题，每小题
4
分，共
40
分。下列每题给出的
四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的。
）
(1)
当
时，与
等价的无穷小量是
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】
B
。
【解析】
当
时
几个不同阶的无穷小量的代数和，
其阶数由其中阶数最低的项来
决定。
综上所述，本题正确答案是
B
。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷
小量
的比较
(2)
函数
在
上的第一类间断点是
(A)0
(B)1
(C)
(D)
【答案】
A
。
【解析】
A
：由
得
所以
是
的第一类间断点；
B
：
C
：
D
：
所以
都是
的第二类间断点。
综上所述，本题正确答案是
A
。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型
(3)
如图，连续函数
在区间
上的图形分别是直
径为
1
的上、下半圆周，在区间
上的图形分别是直径
为
2
的下、上半
圆周，设
,
则下列结论正确的是
(A)
(B)
(C)
(D)
-3
-2
-1
0
1
2
3
【答案】
C
。
【解析】
【方法一】
四个选项中出现的
在四个点上
的函数值可根据定积分的几何
意义确定
则
【方法二】
由定积分几何意义知
,
排除
(B)
又由
的图形可知
的奇函数，
则
为偶函数，
从而
显然排除
(A)
和
(D),
故选
(C)
。
综上所述，本题正确答案是
< br>C
。
【考点】
高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，
定积分的应用
(4)
设函数
在
处连续，下列命题错误
的是
．．
(A)
若
存在，则
(B)
若
(C)
若
(D)
若
存在，则
存在，则
存在
存在，则
存在
【答案】
D
。
【解析】
(A)
：若
存在，因为
,
则
,
又
已
知
函<
/p>
数
在
处
连
续
，
所
以
,
故
,(A)
正确；
(B)
：若
存在，则
,
则
，故
(B)
正确。
(C)
存
在
，
知
，
则
则
存在，故
(C)
正确
(D)
存在
存在，
不能说明
例如
在
处连续，
存在，但是
不存在，故命题
(D)
不正确。
综上所述，本题正确答案是
D
。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
(5)
曲线
渐近线的条数为
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
【答案】
D
。
【解析】
由于
，
则
是曲线的垂直渐近线；
又
所以
是曲线的水平渐近线；
斜渐近线：
由于
< br>一侧有水平渐近线，
则斜渐近线只可能出现在
∞一侧。
则曲线有斜渐近线
，故该曲线有三条渐近线。
综上所述，本题正确答案是
D
。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点
及渐近线
(6)
设
函
数
在
内
具
有
二
阶
导
数
，
且
,
令
,
则下列结论正确的是
(A)
若
,
则
必收敛
(B)
若
,
则
必发散
(C)
若
,
则
必收敛
(D)
若
,
则
必发散
【答案】
D
。
【解析】
【方法一】
图示法：由
，知曲线
是凹的，
< br>显然，图
1
排除选项
(A)
，其中
；图
2
排除选项
(B)
；图
< br>3
排除选项
(C),
其中
；故应选
(D)
< br>。
O
1
2
O
1
2
O
1
2
图
1
图
2
图
3
【方法二】
排除法：
取
,
显然在
，
,
,
但
，排除
A
；
取
在
上
，
且
,
但
,
排除<
/p>
B
；
取
在
上，
，且
,
但
，排除
(C),
故应选
(D)
。
【方法三】
由拉格朗日中值定理知
当
时，
由于
，且
,
则
从而有
则有
<
/p>
综上所述，本题正确答案是
D
。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点
及渐近线
(7)
二元函数
在点
处可微的一个充分条件是
(A)
(B)
,
且
(C)
(D)
,
且
【答案】
C
。
【解析】
由
可得
即
,
同理
从而
根据可微的判定条件可知函数
在点
处可微
综上所述，本题正确答案是<
/p>
C
。
【考点】
高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微
分，全微分存在的必要条件和充分
条件
(8)
设函数
连续，则二次积分
等于
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】
B
。
【解析】
交换积分次序，已知
，
,
则可得
综上所
述，本题正确答案是
B
。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本
性质和计算
(9)
设向量组
线性无关，则下列向量组线性相关
的是
．．．．
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】
A
。
【解析】
(A)
：因为
,
所以向量组
线性相关；
(B)
：
因为
线性无关，所以判断
线性
无关
由于
(C)
：
同理
线性
，
无关；
(D)
：
，同理
线性无关；
综上所述，本题正确答案是
A
。
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关
(10)
设矩阵
,
则
与
,
故知
线性无关；
(A)
合同，且相似
(B)
合同，但不相似
(C)
不合同，但相似
(D)
既不合同，也不相似
【答案】
B
。
【解析】
根据相似的必要条件
:
，易得
和
肯定不相似，
合同的充分必要条件是具有相同的正惯性指数、负惯性指数。
由
知矩阵
的特征值
.
故二次型
的正惯性指数
,
负惯性
指数
,
而二次型
也是正惯性指数
,
负惯性指数
，
所以
和
合同
<
/p>
综上所述，本题正确答案是
B
。
【考点】线性代数—二次型—二次型及其矩阵表示，合同变换与
合同矩阵
二、填空题（本题共
6
小题，每小题
4
分，满分
24
分）
(11)
。
【答案】
。
【解析】
【方法一】
（洛必达法则）
【方法二】
泰勒公式：
【方法三】
综上所述，本题正确答案是
。
【考点】高等数学—函数、极限、
连续—无穷小量的性质及无穷
小量的比较、极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—洛必达法则，泰勒公式
(12)
曲
线
上
对
应
于
的
点
处
的
法
线
斜
率
为
。
【答案】
。
【解析】
切线斜率