《等比数列》教案正式版
-
《等比数列》教案
教学目标︰
1
、通过实例，理解等比数列的概念
通过从丰富实例中抽象出等比数列的模型，使学生认识到这一类型数列也是现实世界中<
/p>
大量存在的数列模型
;
同时经历由发现几
个具体数列的等比关系，归纳等比数列的定义的过
程。
2
、
探索并掌握等比数列的通项公式
通过
等差数列的通项公式的推导过程的类比，探索等比数列的通项公式，通过与指数函
数的图
象类比，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数之间的关系。
3
、
通过等比数列与指数函数的关系体会数列是一种特殊的函数。
教学重点
：理解等比数列的概念，认
识等比数列是反映自然规律的重要的数列模型之一，
探索并掌握等比数列的通项公式。<
/p>
教学难点
：等比数列与其对应函数的关
系。
教学过程
：
一、
创设情境
,
引入新课
在前几节课中
,
我们学习了等差数列的定义、等差数列的通项公式及等差中项的定义，
今
天我们就来学习另外一种特殊的数列，首先看实例
1
。
实例分析
1
：在《数学
3<
/p>
》
(
必修
)
中，我们认识了二进制数。它是一串由
“
0
”
和
“
1
”
构成
的数。计算机存储数据时就是以二进
制数的形式储存的。计算机存储的最基本单位是
“
位
(bit)
”
，每一位只能存储一个
“
0
”
或一个
“
1
”
，所以
1
个位可以存储
0
、
1
两种不同的
信息
.
如果有
2
个位，就可以存储
00
、
01
、
10
、
11
四种不同的信
息
.
我们记
n
个位共能
储存的不同信息
a
n
种，写出
{
a
n
}
的前
5
项。
【老师】首先请一位同学读题，最后一句话说的是什么含义呢？老师引导学生分析本题的含<
/p>
义，并画出树状图形象的表示。
【学生】通过观察，分析，理解题意，从而得到
{
a
n
}
的前
5
项为
2,4,8,16,32
。
①
实例分析
2
：公元前
5
至前
3
世纪，中国战国时，
《庄子》一书中有“一尺之棰，日
取其半，万世不竭”的关于物质无限
可分的观点。你能解释这个论述的含义吗？
【学生】思考、讨论，用现代语言叙述。
【老师】
(
用现代语言叙述后
)
如果把
“
一尺之棰
”
看成单位
“
1”
，
那么得到的数列是什么样的呢？
【学生】发现等比关系，写出一个无穷等比数列：
1
，
1
1
1
1
，
，
，
，
…
。
②
2
4
8
16
【老师】大家知道计算机病毒的传播
是非常快的，速度大的惊人，那么让我们看一个这样的
实例。
实例分析
3
：
一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过邮件进行
传播。如果
把病毒制造者发送病毒称为第一轮，
邮件接收者发送
病毒称为第二轮，
依此类推。
假
设每一
轮每一台计算机都感染
20
台计算机，那么在不重复的情况下，
这种病毒每一
轮感染的计算机数构成的数列是什么？
【学生】合作讨论
,
得出什么为第一轮，第二轮
。从而得到种病毒每一轮感染的计算机数构成
的数列是
1,20
,20
，
20
,
…。③
【老师】回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观
察上面的数列①②③，说说它们有什么
共同特点？
引导学生类比
等差关系和等差数列的概念，发现等比关系。我们可以发现：
数列①从第
2
项起
,
< br>每一项与它前一项的比都等于
____
；
数列②从第
2
项起
,
每一项与它前一项的比都等于
____
；
数列③从第
2<
/p>
项起
,
每一项与它前一项的比都等于
____
；
也就
是说这个数列有一个共同的特点：从第
2
项起
< br>,
每一项与它前一项的比等于同一个常数。
我们把这样的数列称为等比数列。这就是我们今天要研究的课题，等比数列。
【设计意图】
目的是让学生明白等比数列是来源于生活中的
例子，观察所给各个数列的共同
特点，进一步归纳出等比数列的定义。
< br>
二、探究新课
1
、等比数列的定义
探究
1
：类比等差数列的定义，大家能否给等比数列下
个定义？
【设计意图】学会类比的思想。
【学生】独立思考，类比等差数列的定义。给等比数列下定义。
如果一个数列从第
2
项起，每一项与它
的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就
叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的
公比。公比通常用字母
q
表示。
【老师】用数学符号语言怎样表示等比数列的定义呢？如果我们第
n
项用
a
n
表示
，那么它的
2
3
前一项该怎么表示，那
么比怎么表示？这里的
n
的取值范围呢？
【学生】讨论，交流。
a
q
(
n
2
)
或
a
q
(
n
1
)
a
a
n
n
<
/p>
1
n
n
1
【老师】请同学们打开课本，看看课本上是怎样给等比数列下定义的
，和刚才那位同学下的
定义一样吗？有什么不同？
【学生】阅读课本，仔细对比，找出不同。学生发现课本中有
q
≠
0
这个条件
.
思考：等比数列的定义中，可否去掉“
q
≠<
/p>
0
”的条件？为什么？能否将“
a
n
”的条
q
a
n
1
件改写成“
a
n
a
n
1
q
”？为什么？
【设计意图】引导学生对等比数列内涵再认识和进一步理解。
【学生】讨论，辨析，得到结论，不能去掉“
q
≠
0
”的条件，因为如果
q=
0,
则分子为
0,
而每
q
一个分子都可能出现在分母中
,
则分母为
0
无意义
;
a
n
表达式说明在等比数列中的任意项
n
1
a
都不能为
0.
感悟
:
等比数列中
q
≠
0,
a
n
0
.
【老师】那么是否存在既是等差又是等比的数列呢？
【学生
1
】常数列。
【老师】是吗
?
有不同意见吗
?
【学生
2
】非零的
常数列既是等差又是等比数列。
练习
1
：判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比
q
。
（
1
）
1,2, 8
，
32
< br>，
128,
…
。
---
不
是
（
2
）
-1,
－
5
，－<
/p>
25
，－
125,
…
。
--
是
q =5
（
3
）
2
，
2
，
2
，
2
，…
。
---
是
q =1
（
4
）
1
，
-0.5
，<
/p>
0.25
，
-0.125
，…
。
---
是
q = - 0.5
（
5
）
1, 2
，
1, 2,1,
2
…。
---
不是
【老师】思考
< br>:
公比
q
的取值范围是什么呢？
【学生】正数、负数，但是不能为零。
练习
2
：求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。
（
1
）
1
，
____
，
9
（
2
）
-1
，
____
，
-4
（
3
）
-12
，
_
___
，
-3
（
4
）
1
，
_____
，
1
< br>【学生
1
】根据等比数列的定义，得出插入
3
后，构成等比数列。
【
学生
2
】补充插入
-3
后，也能构成等比数列。学生思考，得到两个都符合题意
.
。
下面三个小题可根据（
1
）
，顺利得到答案。
【老师】在学习等差数列的定义后，我们也做过这样的题目，在两数中间插入一个数，使三
< br>数成等差数列，那么我们把中间这个数称为等差中项。类比等差中项的概念，我们把刚才插
入的那个数称为等比中项。
2
、等比中项
探究
2
：
前面的等差数列一节里我们
有等差中项的定义，
你能仿照等差中项，
给出等比中项的
定义吗？等差中项与等比中项有何差异？
【老师】类比等差中项的概念，大家给等比中项下个定义吧。
【学生】如果在
a
与
< br>b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，那么
G
叫
做
a
与
b
的等
比中项。学生思考得结论：任何两个数都有等差中项，有且只有一个，而只有同号的两个
数
才有等比中项，而且有两个，且互为相反数。
3
、等比数列的通项公式
我们继续来研究一下情境中的这三个数列。
< br>探究
3
：试着写出上面三个数列的通项公式，并猜想等比
数列的通项公式。
【
设计意图】体现
由特殊到一般的思想，先写出具体实例的通项公式，使学生经历观察，归
纳，猜想的过程
。
1
①
a<
/p>
2
②
a
2
n
n
n
n
1
③
a
20<
/p>
n
n
1
【学生】通过观察，看出这三个数列的通项公式，并寻找这三个公式
中共性的地方，把①改
写成
a
n
2
2
n
1
1
，②
a
n
< br>1
2
n
1
n
1
，③
a
n
<
/p>
1
20
，观察
，发现都有
n-1
次幂的形式，
而且乘
号前面的数字
2,1,1
都是首项
a<
/p>
1
，乘号后面的数字
2
< br>，
,
20
都是各项的公比，所以
猜
想等比数列的通项公式是
a
n
=
a
1
q
n
-1
。
【老师】这位同学猜想的很好，那我们就来推导一下等比数列的通项公式，看看和这位同学
猜想的一致吗？
探究
4
：
<
/p>
类比等差数列通项公式的推导过程，请你写出首项为
a1
，公比是
q
的等比数列的通
1
2