等比数列前n项和教案
-
教育实习教案
学院
数学与计算机科学学院
专业
数学与应用数学
实习生
林彩虹
学号
本校指导教师
柯跃海
实习学校指导教师
陈丹
原任课教师
陈丹
2014
年
10
月
日
（星期
）
第
节课
（本人本次实习第
1
个教案）
课题：§2．
5
等比数列的前
n
项和
课标要求：
（
1
）探索并掌握等比数列的前
n
项和公式．
知识与技能：
（
1
）引导学生探究进而导出等比数列的前
n
项和公式；
（
2
）
引领学生合理而又准确地运用等比数列
的前
n
项和公式求解一些简单的相关问题，
过程与方法：
（
1
）
在等比数列前
n
项和公式
的导出过程中，
引领学生体会“类比”、
“转化”、
“分
三维
目标
情感、态度与价值观：
（
1
）
引导学生在等比数列前
n
项和公式的导出过程中，
体验知识的“横”“纵”关联，<
/p>
进而形成认识世界、认识事物所必须的科学世界观；
（
2
）引导学生在公式的应用过程中，体验“观察”、“比较”、“抽象”、“概括”
等逻辑
方式的价值，
进而产生学习数学、
运用数学所必须的积极情感和
态度，
正确地认识数
学知识与数学学习的价值所在．
教学重点：
（
1
）理解等比数列前
n
项和公式的导出；
（
2
）掌握等比数列前
n
项和公式的初步应用．
教学难点：
等比数列前
n
项和公式的导出．
教学辅助手段：
多媒体辅助教学工具
类与整合”以及“特殊与一般”等数学思维方式和思想方法．
课时安排：第一课时（共两课时）
教学过程：
一、温故知新
首先回忆一下前两节课所学主要内容：
1
．等比数列的定义
：如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等比数列
.
这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q
表示
(
q
0)
，即：
a
2
a
3
a
4
< br>a
n
q
,
(
q
0
)
a
1
a
2
a
3
a
n
1
< br>
2.
等比数列的通项公式
:<
/p>
a
n
a
1
q
n
1
,
(
a
1
q
0
)
，
a
n<
/p>
a
m
q
m
n
,
(
a
1
q
0
)
3
．
性质
：若
m
n
p
q<
/p>
，
a
m
a
n
a
p
a
q
处理方式：
个别提问，教师完善并板演．
二、引入新课
国际象
棋起源于古代印度。
相传国王要奖赏国际象棋的发明者。
问他想
要什么。
发明者说：
“请
在棋牌的第一
个格子里放上
1
颗麦粒，第
2
个格子里放上
2
颗麦粒，第
3
个格子里放上
4
颗麦粒。
依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的
2<
/p>
倍，直到第
64
个格子。请给
我足够的麦粒以实现上述要求。
”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。
那么这位发明者到底需
要多少颗麦粒
那么，同学们，你们知道发明者要的是多少粒小麦吗
处理方式：
教师朗读题干的同时，强调需要注意的要点，将情景抽象化帮
助学生理解，引导
63
2
2
?
）
1
2
2
学生写出麦粒总数
1
2
2
2
…
< br>
2
．并板书要求解的等式（
…
．
2
3
63
，
2
，
2
，，
2
…
，
2
是什么数列呢有什么特征
< br>
师生互动，探究问题
1
求
1
2
2
2
…
2
< br>应归结问什么数学问题呢
2
3
63
探讨
1
：
设
S
64
1
2
2
2
…
2
，记为（
1
）式，注意观察每一项的特征，有何联系
2
3
63
2
3
63
（引导学生发现后一项都是前一项的
2
倍）
探讨
2
：如果我们把每一项都乘以
2
，就变成了后一项，
（
1
）式两边同乘以
2
，则有
2
S
64<
/p>
2
2
2
2
3
…
2
63
+2
64
，记为（
2
）式．比较（
1
）
（
2
）式，你有什么发现
留出时间给学生做充分的比较，经过比较、研究，引导学生发现把两式相减
，相同的项就消
去
了，得到
(1
2)
S
64
=1
2
．
教师指出，这就是“错位相减法”，并要求
学生纵观全过程，反思：为什么（
1
）式两边要乘以
2
呢
三、问题解决
思考
< br>1
：对于一般的等比数列，我们可不可以像等差数列一样求出等比数列的前
n
项和
设等比数列
{
a
n
}
，首项
a
1
，公比
q
，如何求前
n
项和
S
n
类比特殊的
1
2
2
2
…
2
的
求解
过程。这里让学生自主完成，对个别学生进行指导，最后教师规范证明过程：
n
1
<
/p>
a
n
a
1
q
；
64
2
3
63
如果记
S
n
a
1
a
2
a
3
…
a
n
，
根据等比数列的通项公式，得
S
n
a
1
a
1
q
a
1
q
< br>2
…
a
1
q
n
1
2
n
1
n
那么
qS
n
a
1
q
a
1
q
…
< br>
a
1
q
a
1
q
．
n
两式相减就可以得到：
(1
q
)
S
n
a
< br>1
(1
q
)
a
1
(1
q
n
)
思考
2
：
由<
/p>
(1
q
)
S
n
a
1
(1
q
)
直接得
S
n
对不对这里
q
能不能取
1
等比数列中
1
q
n
的公比能不能为
1
如果
q
1
，该数列变成什么数列
a
1
(1
q<
/p>
n
)
如果
q
1
，则有
S
n
．
如果
q
1
，那么
S
n
a
1
a
1
…
< br>a
1
=
na
1
．
1
q
q
1<
/p>
na
1
,
即
S
n
a
1
(1
q
n
)
1
q
，
q
1
n
<
/p>
1
思考
3
：
根据等比数列的通项公式
a
n
a
1
q
< br>(
q
0)
，
在
q
1
的情况下，
其前
n
< br>项和公式又可
改写为
S
n
a
1
a
n
q
，所以整理等比数
列的前
n
项和公式得
1
q
na
1
,
q
1
S
n
a
1
(1
q
n
)
a
1
a
n
q
或
,
q
1
1
q
1
q
<
/p>
处理方式：
通过通项公式的导入，形成等比数列的前
n
项和公式的另一种形式．
对比公比
q
1
的情形的等比数列前
n
项和公式，我们会发现两个公式分别
适用于不同的已知
条件下，如
a
1
(1
q
n
)
适用于
a
1
，
q
，
n
已知的情况下；
S<
/p>
n
1
q
S
n
a
1
a
n
q
适用于
a
1
，
a
n
，
q
已知的情况下．以后求等比数列的前
< br>n
项和就用公式法来求．
1<
/p>
q
教师引导学生对比等差数列的前
n
项和公式，并结合等比数列的通项公式，从方程角度认识等
比数列的前
n
项和公式，以便正确灵活地运用
它．在等比数列的通项公式及前
n
和公式中共有
a
1
,
a
n
,
n
,
q
,
S
n
五个
量，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程（组）等手段，求出其余两
个量．<
/p>
问题
1
【课本例题
1
】求下列等比数列前
8
项和：
（
1
）
1
1
1
，
，
，…；
2
4
8
< br>1
，
q
0
．
243
（
2
）
a
1
< br>
27
，
a
9
解：
（
1
）因为
a
1
1
1
，
q
，所以当
n
8
时，
2
2
1
1
[1<
/p>
(
)
8
]
255
2
S
n
2
；
1
256
1
2
（
2
）由
a
1
27
，
a
9
1
，可得
243