高中数学《等比数列前n项和》公开课优秀教学设计
-
课题：等比数列的前
n
项和
一、教材分析
本节课选自《普
通高中课程标准数学教科书·数学（必修
5
）》（北
师大版）第一章第三节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比
数
列的前
n
项和》
是数列这一章中的一个
重要内容，
它不仅在现实生活中
有着广泛的实际应用，如储蓄、
分期付款的有关计算等等，而且公式推导
过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变
换和方程等思想方法，都
是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
二、学情分析
从学生的思维特
点看，很容易把本节内容与等差数列前
n
项和从公式
的形成、
特点等方面进行类比，
这是积极因素，<
/p>
应因势利导。
不利因素是：
本节公式的推
导与等差数列前
n
项和公式的推导有着本质的不同，
这对学
生的思维是一个突破，另外，对于
q
=
1
这一特殊情况，学生往往容易忽
视，
尤其是在后面使用的过程中容易出错。
教学对象是刚进入高中的学生，
虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思
维能力也初步形成，
但由于年龄的原因，
思维尽管活跃、
敏捷，
却缺乏冷静、
深刻，
< br>因此片面、
不严谨。
三、设计思想
本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引
导下，让学
生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，深入探
讨。让学生在“活动”中学
习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，
在“探究”中创新。设计思路如下：
创设情境
布疑激趣
观察实验
建立模型
探寻特例
提出猜想
深入思考
证明猜想
简单应用
总结评估
四、教学目标
1
、掌握等比数列的前
n
项和公式，能用等比数列的前
n
项和公式解决相
关问题。
< br>
2
、通过等比数列的前
n
项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类
讨论的思想方法。<
/p>
3
、通过对等比数列的学习，发展数学
应用意识，逐步认识数学的科学价
值、应用价值，发展数学的理性思维。
五、教学重点与难点
重点：
掌握等比数列的前
n
项和公式，
能用等比数列的前
n
项和公式解决
相关问题。
难点：错位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。
六、教学过程
（一）复习回顾
1
、（提问）等比数列的定义？通项公式？性质？
2
、（提问）等差数列前
n
项和公式是什么？
（二）创设问题情景
引例：“一个穷
人到富人那里去借钱
,
原以为富人不愿意，哪知富人
一口答应了下来
,
但提出了如下条件：在
30
天中，富人第一天借给穷人
1
万元
,
第二天借给穷人
2<
/p>
万元
,
以后每天所借的钱数都比上一天多
1
万
;
但
借钱第一天
,
穷人还
1
分钱
,
第二天还
< br>2
分钱
,
以后每天所还的钱数都
是上
一天的两倍
,30
天后互不相欠<
/p>
.
穷人听后觉得挺划算
,
本想定下来
,
但又想
到此富人
是吝啬出了名的
,
怕上当受骗
,
所以很为难。
”请在座的同学思考
讨论一下<
/p>
,
穷人能否向富人借钱
?
[
设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入
到研究者的角色中来！启发引导学生数学地观察问题，构建数学模型。
]
学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探
求，得出：
(
1
30
)
30
'
1
2
<
/p>
30
465
（万元）
穷人
30
天借到的钱：
S
30
2
穷人需要还的钱：
S
3
0
1
2<
/p>
2
2
2
29
?
[
直觉先行
,
思辨引路
,
在矛
盾冲突中引发学生积极的思维
!]
教师紧接着把如何求
S
30
1
2
2
2
< br>2
29
？的问题让学生探
究：
S
30
1
2
2
2
2
29
①若用公比
2
乘以上面等
式的两边，得到
2
S
30
2
< br>2
2
2
29
2
30
②
若②式减去①式，可以消去相同的项，得到：
(
分
)
≈<
/p>
1073(
万元
)
＞
465
（万元）
S
< br>30
2
30
< br>
1
1073741823<
/p>
答案
:
穷人不能向富人借钱
（三）引导学生用“特例到一般”的研究方法，猜想数学规律。
提
出问题
:
如何推导等比数列前
n
项和公式？（学生很自然地模仿
以上方法推导）
学生
A
：
S
n
a
1<
/p>
a
1
q
a
1
q
2
a
1
q
n
2
a
1
q
n
1<
/p>
(
1
)
qS
n
a
1
q
a
1
q
2
< br>
a
1
q
n
1
a
1
q
n
(
2
)
（
1
）
-
（
2
）有
(
1
q
)
S
n
a
1
a
1
q<
/p>
n
q
1
na
1
,
S
n
a
1
(
1
q
n
)
a
1
a
< br>n
q
,
q
1
1
q
1
q
学生
B
：<
/p>
s
n
a
1
a
1
q
a
1
q
n
2
a
1
q
n
<
/p>
1
a
1
q
a
1
a
1
q
a
1
q
n
2
a
1<
/p>
qs
n
1
a
1
q
s
n
a
n
< br>
a
1
qs
n
a
n
q
<
/p>
s
n
qs
n
a
1
a
n
q
s
n
< br>
a
1
a
n
q
(
q
1
)
1
q
推导等比数列前
n
项和
S
n
的公式，引导学生类比前面的特例完成以
< br>上推导课本上的推导方法后，
教师：还有没有其他推导
方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发
言）
学生
C
：
a
2
a
3
a
n
q
a
2
a
3
a
n
q
即
a
1
a
2
a
n
1
a
1
a
2
< br>
a
n
1
s
n
a
1
a
a
n
q
q
s
n
1
(
q
< br>
1
)
s
n
a
n
1
q
。
[“特例→类比→猜想”是一种常用的科学的研究思路！
<
/p>
教师让学生进行各种尝试，
探寻公式的推导的方法，
同时抓住机会或创设
问题情景调动了学生参与问题讨论的积极性，
培养学生的探究能力，
发挥
了组织者、推进者和指
导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、
成为发现者、创造者！让学生享受成功
的喜悦！
]
【基础知识形成性练习】
1
．
在公比
为
q
的等比数列
{
a
n
}
中
(1)
若
a
1
2
,
q
1
，则
S
n
________
；
3
3
（
2
）若
a
1<
/p>
2
,
q
2
,
n
8
，则
S
n
________
；<
/p>
（
3
）若
a
1
8
,
q
2
,
a
n
1
，则
S
< br>n
________
；
2
2
．判断正误：
1
1
1
n
1
（
1
）
+
+
+
（
）
< br>
1
n
2
4
2
2
1
(
1
2
n
)
（
2)
1
2
4
8
(
2
)
1
<
/p>
2
n
2
3
n
1
(
1
2
)
（
3)
1
< br>2
2
2
2
1
2
n
1
n
c(1
c
)
(4)
c
1
c
2
c
n
< br>
1
c
n
1-
c
(
四
)
新知
应用
1
1
1
1
,
的前<
/p>
8
项的和．
2
4
8
16
1<
/p>
1
1
1
变式
1
：求等比数列
,
,
,
,
的第
6
项到第
10
项的和．
2
4
8
16
例
1
、求等比数列
,
,
,
< br>例
2
、求数列
1
a
a
2
a
3
a
n
<
/p>
1
(
a
0
)
的前
n
项和。
变式
2
：求
1
1
1
1
2
3
< br>
n
的值
x
x
x
x
[
例
1<
/p>
例
2
教师板演示范，强调解题的规范。变
式
1
，变式
2
学生分析解
法，
学生不会时要分析出不会做的症结所在，
然后再由学生板演出解题过
程。
]
（五）课堂小结
等差数列
等比数列
求和公式
推导方法
公式应用
[
由学生完成课堂总结，教师完善，点评
]
（六）布置作业
六、教学反思