(浙江专用)2020高考数学第2讲数学归纳法、数列的通项公式与数列求和教案
-
第
2
讲
数学归纳法、数列的通项公式与数列求和
数学归纳法
[
核心提炼
]
用数学归纳法证明与自然数有关的数学命题
,
证明步骤：
(1)
证明当
n
取第一个值
n
0
(
n
0
∈
N
)
时
,
命题成
立．
(2)
假设当
< br>n
＝
k
(
k
∈
N
,
且
k
≥
n
0
)
时命题成立
,
证
明当
n
＝
k
＋
1
时命题也成立．
< br>由
(1)(2),
可知命题对于从
n
0
开始的所有正整数都成立．
[
典型例题
]
(2019·宁波市九校联考
)
已知
n
∈
N
,
S
n
＝
(
n
＋1)·(
n
＋2)…(
n
＋
n<
/p>
),
T
n
＝
2
×
1
×
3
×…×
(2
n
－
1)
．
(1)
求
S
1
,
S
2
,
S
3
,
T
< br>1
,
T
2
,
T
3
；
(2)
猜想
S
n
与
T
n
的关
系
,
并用数学归纳法证明．
【解】
(1)
S
1
＝
T
1
＝
2,
S
2<
/p>
＝
T
2
＝
12,
S
3
＝
T
3
＝
120. <
/p>
(2)
猜想：
S
n
＝
T
n
(<
/p>
n
∈
N
)
．
证明：①当
n<
/p>
＝
1
时
,
S
1
＝
T
1
；
②假设当
n
＝
k
(
k
≥1
且
k
∈
N
)
时
,
S
k
＝
T
k
,
即
(
k
＋
1)(
k
＋2)…(
k
＋
k
)
＝
2
×
1
×
3
×…×
(2
k
－
1)
,
则当
n
＝
k
＋
1
时
,
k
*
*
*
*
*
n
S
k
＋
1
＝
(
k
＋
1
< br>＋
1)(
k
＋
< br>1
＋2)…(
k
＋
1
＋
k
－
< br>1)(
k
＋
1
< br>＋
k
)(
k
＋
1
＋
k
＋
1)
＝
(
k
＋
2)(
k
＋3)…(2
k
)(2
k
＋
1)(2
k
＋
2)
2
×
1
×
3
×…×（
2
k
－
1
）
＝
×
(2
k
＋
1)(2
k
＋
2)
k
＋
1
＝
2
k
＋
< br>1
k
×
1
×
3
×…×
(2
k
－
1)(2
k
< br>＋
1)
＝
T
k
＋
1
.
即
n
＝
k
＋
1
时也成立
,
由①②可知
,
n
∈
< br>N
,
S
n
＝
T
n
成立．
利用数学归纳法时应注意以下两点
(
1)
这两步合为一体才是数学归纳法
,
缺一不可．其中第一步是基础
,
第二步是递推的依
据．
(2)
用数学归纳法
证明与不等式有关的命题
,
在由
n
＝
k
证明
n
＝
k
＋
1
时
,
要准确利用证明
不等
式的基本方法：比较法、分析法、综合法、放缩法等．
[
对点训练
]
(20
19·高考浙江卷
)
设等差数
列
{
a
n
}<
/p>
的前
n
项和为
S
n
,
a
3
＝
4,
a
4
＝
S
3
.
数列
{
b
n
}
满足：
对每个
*
n
∈
N
*
,
S
n
＋
b
n
,
S
n
＋
< br>1
＋
b
n
,
S
n
＋
2
＋
b
n
成等比
数列．
(1)
求数列
{
a
n
},{
b
n
}
的通项公式；
(2)
记
c
n
＝
a
n
*
*
,
n
< br>∈
N
,
证明：
< br>c
1
＋
c
2
＋…＋
c
n
<2
n
,
n
∈
N
.
2
b
n
解：
(1)
设数列
{
a
n
}
的公差为
d
,
由题意得
a
1
＋
2
d
＝
4,
a
1
＋
3
d
＝
3
a
1
＋
3
d
,
解得
a
1
＝
0,
d
＝
2.
从而
a
n
＝
2
n
－
2,
n
∈
N
.
所以
S
n
＝
n
－
n
,
n
∈
N
.
由
S
n
＋
b
n
,
S
n
＋
1
＋
b
n
,
S
n
＋
2
＋
< br>b
n
成等比数列得
(
S
n
＋
1
＋
b
n
)
＝
(
S
n
＋
b
n
)(
S
n
＋
2
＋
b
n
)
．
1
2
解得
b
n
＝
(
S
n
＋
1
－
S
n
S
n
＋
2
)<
/p>
．
2
2
*
*
d
所以
b
n
＝
n
＋
n
,
n
< br>∈
N
.
(2)
证明：
c
n
＝
2
*
a
n
＝
2
b
n
2
n
－
2
＝<
/p>
2
n
（
n
＋
1
）
n
－
1
*
,
n
∈
N
.
< br>n
（
n
＋
1
）
我们用数学归纳法证明．
①当
n
＝
1
时
,
c
1
＝
0<2,
不等式成立；
②假设
n
＝
k
(
k
∈
N
)
时不等式成立
,
即
*
c
1<
/p>
＋
c
2
＋…＋<
/p>
c
k
<2
k
,
那么
,
当
n
＝
k
＋
1
时
,
c
1
＋
c
2
＋…＋
c
k
＋
c
k
＋
1
<2
k
＋
2
k
＋
2(
k
＋
1
－
k
)<
/p>
＝
2
k
＋
1,
k
（
k
＋
1
）（
k
＋
2
）
<2
k
＋
1
2
<2
k
＋
＝
< br>k
＋
1
k
＋
1
＋
k
即
当
n
＝
k
＋<
/p>
1
时不等式也成立．
< br>根据①和②知
,
不等式
c
1
＋
c
2
＋…＋
c
n
<2
n
对任意
n
∈
N
成立．
由递推式求数列通项公式
[
核心提炼
]
利用递推法解题的一般步骤
(1)
确定初始值；
(2)
建立递推关系；
(3)
利用递推关系求通项．
[
典型例题
]
*
(1
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
若
S
n
＝
2<
/p>
n
－
a
n
,
则数列
{
a
n
}
的通项公式为
_
_______
．
(2)
在数列
{
a
n
}
中
,
若
a
1
＝
1,
< br>a
n
＋
1
＝
2
a
n
＋
3(
n
≥1)
,
则该数列的通项公式
a
n
＝
________
．
(3)
设
S
n
是正项数列
{
a
n
}
的前
n
项和
,
且
a
n
和
S
n
满足：
4
S
n
＝
(
a
n
＋
1)
(
n
＝
1,2,3,
…
),
则<
/p>
S
n
＝
____
____
．
【解析】
(1)
由于
S
n
＝
2
n
－
a
n
,
所以
S
n<
/p>
＋
1
＝
2(
n
＋
1)
－
a
n
＋
1
,
后式减去前式
,
得
S
n
＋
1
－
S
n
＝
2
－
2
a
< br>n
＋
1
＋
a
n
,
即
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
1,
变形为
a
n
＋
1
－
2
＝
(
a
n
－
2),
则数列
{
a
n
－
2}
是以
a
1
－
2
为首项
,
为公比
1
2
1
2
1
2
1
的等比数列．又
a
1
＝
2
－
a
1
,
a
1
＝
1,
则
a
n
－
2
＝
(
－
1)·
2
(2)
法一：
(
递推法
)
n
< br>－
1
1
,
所以
a
n
＝
2
－
<
/p>
2
n
－
1
.
a
n
＝
2
a
n
－
1
< br>＋
3
＝
2(2
< br>a
n
－
2
＋
3)
＋
3
＝
2
2
·
a<
/p>
n
－
2
＋2×3
＋
3
＝
2
a
n
－
3
＋
2
×
3
＋2×3＋
3
＝…
＝<
/p>
2
＝
2
n
－
1
3
2
·
a
1
＋
2
＋
3(2
n
－
2
·
3
＋
2
n
－
3
n
－
3
·<
/p>
3
＋…＋
3
n
＋
1
n
－
1
n
－
2
＋
2
＋…＋
1)
＝
2
－
3.
法二：
(
构造法
)
设
a
n
＋
a
＝
2(
a
n
－
1
＋
a
),
即
a
n
＝
2
a
n
－
1
＋
a
,
所以
a
＝
3.
所以
a
n
＋
3
＝
2(
a
n
－
1
＋
3),
所以
{
a
n
＋
3
}
是公比为
2
的等比数列．
所以
a
n
＋
3
＝
(
< br>a
1
＋3)·2
又
a
1
＝
1,
所以
a
n
＝
< br>2
n
＋
1
n
－
1
.
－
3.
2
a
n
1
(3)
由题知
S
n
＝
＋
,
当
n
＝
1
时
,
易得
a
1
＝
1.
2
2
a
n
1
a
n
－
1
1
a<
/p>
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
＋
－
＋
2
2
2
2<
/p>
a
n
a
n
－
1
＋
1
·
a
n
－
a
n
－
1
＝
＋<
/p>
2
2
2
2
a
n
－
a
n
－
1
＋
a
n
－<
/p>
a
n
－
1
,
＝
4
2
< br>2
整理得
2
< br>a
n
＋
a
n
－
1
a
2
n
－
a
n
－
1
2
2
2
2
2
＝
4
⇒
a
n
< br>－
a
n
－
1
＝
2.
2
所以
a
n
＝
2
n
－
1.
所
以
S
n
＝
n<
/p>
.
1
【答案】
(1)
a
n
＝
2
－<
/p>
2
n
－
1
(2)2
n
＋
1
－
3
(3)
n
2
由递推式求数列通项公式的常见类型
(1)
形如
a
n
＋
1
＝
a<
/p>
n
＋
f
(
n
)
的数列
,
求解此类数列的通项公式一般先通过变形为
a
n
＋
1
－
a<
/p>
n
＝
f
(
n
),
再利用累加法
a
n
＝
(
a<
/p>
n
－
a
n
－
1
)
＋
(
a
n
－
1
－
a
n
－
2
)
＋…＋
(
a
2
－
a
1
)
＋
a<
/p>
1
,
代入相应的关系式
< br>,
再加
以合理的分析与求解．同理
,
形如
a
n
＋
1
＝
f
(<
/p>
n
)
a
n
型数列可转化为用累乘法求解．
(2)
形如
a
n
＋
1
＝
ca
n
＋
d
(
c
≠0
,1)
的数列
,
求解此类线性关系的数列的通项公式一般可用待定
系数法
,
通过化归、转化为新的等比数列
a
n
＋
1
＋
λ
＝
c
(
a
n
＋
λ
),
求出
λ
后
,<
/p>
结合新等比数列的公
式或性质来求解与转化．
(3)
由
a
n
与
S
n
的递推关系求数列通项公式的步骤
第一步：令
n
＝
1,
由
< br>S
n
＝
f
(
a
n
)
求
出
a
1
；
<
/p>
第二步：
令
n
≥
2
,
构造
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
,
用
a
n
代换
S
n
－
S
n
－
1
(
或用
S
n
－
S
n
－
1
代换
a
n
,<
/p>
这要结合题目
的特点
),
由递推关系求通项公式；
第三步：验证当
n
＝
1
时的结论是否适合
当
n
≥2
时的结论．
< br>
如果适合
,
则统一“合写”；
如果不适合
,
则应分段表示．
[
对点训练
]
(2019·浙江省重点中学高三联考
)
已知数列
{a
n
}
满足：
2
∈
N
.
(1)
求
a
1
,
a
2
及数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
b
n
}
满足
b
1
＝
1,
解：
(1)
n<
/p>
＝
1
时
a
1
＝
1,
*
n
－
1
a
1
＋
2
n
－
2
a
2
< br>＋…＋
2a
n
－
1
＋
a
n
＝
n,n
b
n
＋
1
－
b
n
n
＝
2
,<
/p>
求数列
{
b
n<
/p>
}
的通项公式．
a
n
n
＝
2
时
2
a
1
＋
a
2
＝
2
⇒
a
2
＝
0
2
2
n
－
1
a
1
＋
2
n
－
2
a
2
＋…
＋
2
a
n
－<
/p>
1
＋
a
n
＝
n
①
a
1
＋
2
n
－
3
a
2
＋…＋
a
n
－
1
＝
n
－
1(
n
≥2)②
n
－
2
①－2×②
⇒
a
n
＝
2
－
n
(
n
≥2)
,
a
1
＝
1
满
足上式
,
故
a
n
＝
2
－
n<
/p>
.
(2)
b
n
＋
1
－
b
n
＝
(2
－
n
)2
,
有
n
b
－
b
＝0×2
…
b
－
b
＝（
< br>3
－
n
）×2
< br>2
3
2
b
2
－
b
1
＝
1×2
1
累加整理得
,
（
n
≥2）
n
－
1
n
n
< br>－
1
b
n
＝
1
＋1×2
1
＋0×2
2
＋…＋
(3
－
n
)×2
n
－
1
(
n
≥2)①
,
2
b
n
＝
2
＋1×2
＋0×2
＋…＋
(3
－
n
)×2
(
n
≥2)②
,
2
3
n
1
－
2
n
n
②－①得
b
n
＝
2
－
1
－1×2
＋
2
＋
(3
－
n
)2
＝
(4
－
n
)2
－
5(
n
≥2)
,
1
－
2
1
2
n
－
2
b
1
< br>＝
1
满足上式
,
故
b
n
＝
(4
－
n
)2
n
－
5.
数列求和
[
核心提炼
]
几种数列求和的常用方法
(1)
分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的
,
则
求和时可用分组求和法
,
分别求和而后相加减．
(2)
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差
,
在求和时中间的一些项可以相互抵消
,
从而
求得前
n
项和．
(3)
错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对
应项之积构
成的
,
那么求这个数列的前
n
项和即可用错位相减法求解．
(4)
倒序相加法：如果一个数列
{
a
n
}
与首末两端等
“距离”的两项的和相等或等于同一个
常数
,
< br>那么求这个数列的前
n
项和即可用倒序相加法求解．
[
典型例题
]
(1)(2018·高考浙江卷
)<
/p>
已知等比数列
{
a
n
}
的公比
q
>1,
且
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝
28,
a
4
＋
2
是
a
3
,
a
5
的等差中项．数列
{
b
n
}
满足
b
1
＝
1,
数列
{(
b
n
＋<
/p>
1
－
b
n
)
a
n
}
的前
n
项和为
2
n
2
＋
n
.
①求
q
的值；
②求数列
{
b
n
}
的通项公式．
< br>1
2
2
(2)
< br>已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
< br>＝
1,
且
a
n
＋
1
＋
a
n
＝
2(
a
n
＋
1
a
n
＋
a
n
＋
1
－
a
n
－
)
．
< br>
2
①求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
1
1
7
②求证：
2
＋
2
＋…＋
2
<
.
a
1
a
2
a
n
4
< br>【解】
(1)①由
a
4
＋
2
是
a
3
,
a
< br>5
的等差中项得
a
3
＋
a
5
＝
2
a
4
＋
4,
所以
a
3
< br>＋
a
4
＋
a
5
＝
3
a
4
＋
4
＝
28,
解得
a
4
＝
8.
1
由
a
3
＋
a
5
＝
20
得
8
q
＋
＝
20,
q
1
解得
q
＝
2
或
q
＝
,
2
因为
q
>1,
所以
q
＝
< br>2.
②设
c
n
＝
(
b
n
＋
1
－
b
n
)
a
n
,<
/p>
数列
{
c
n
}
前
n
项和为
S
n
.
S
1
，
n
＝
1
，
由
c
n
＝
解得
c
n
＝
4
n
－
1.
S
n
－
S
n
－
1
，
n<
/p>
≥
2
，
由①可知
a
n
＝
2
n
－
1
,
1
所以
b
n
＋
1
－
b
n
< br>＝
(4
n
－1)·
2
< br>
1
故
b
n
－
b
n
－
1
＝
(4
n
－5)·
2
n
－
1
,
n
－
2
,
n
≥
2,
b
n
－
b
1
＝
(
b
n
－
b
n
－
1
)·(
b
n
－
1
－
b
n<
/p>
－
2
)
＋…＋<
/p>
(
b
3
－
b
2
)
＋
(
b
2
－
b
1
)
< br>1
＝
(4
n
－5)·
< br>
2
n
－
2
1
＋
(4
n
－9
)·
2
n
－
3
1
＋…＋7·
＋
3
.
2
1
2
1
n
－
2
1
设
T
n
＝
3
＋7·
＋11·
＋…＋
(4
n
－5)·
,<
/p>
n
≥
2,
2<
/p>
2
2
1
2
1
n
－
2
1
n
－
1
1
1
T<
/p>
n
＝3·
＋7·
＋…＋
(4
n
－9)·
＋
(4
n
－5)·
,
2
< br>2
2
2
2
1
2
1
n
－
2
1
n
－
1
1
1
< br>
所以
T
n
＝
3
＋4·
＋4·
＋…＋4·
－
(4
n
－5)·
,
2
2
2
< br>2
2
1
因
此
T
n
＝
14
－
(4
n
＋3
)·
2
n
－
2
,
n
≥
2,
1
又
b
1
＝
1,
所以
b
n
＝
15
－
(4
n
＋3)·
2
n
－
2
.
1
2
< br>2
(2)①
a
1
＝
1,
且
a
< br>n
＋
1
＋
a
n
＝
2(
a
n
＋
1
a<
/p>
n
＋
a
n
＋
1
－
a
n
－
),
2
可得
a
n
＋
1
＋
a
n
< br>－
2
a
n
＋
1
a
n
－
2
a
n
＋
1
＋
2
a
n
＋
1
＝
0,
即有
(
a
n
＋
1
－
a
n
)
－
2(
a
n
＋
1
－
a
n
)
＋
1
＝
0,
即为
(
a
n<
/p>
＋
1
－
a
n
－
1)
＝
0,
可得
a
n
＋
1
－
a
n
＝
1,
则
a
n
＝
a
1
＋
n
－
1
＝
n
,
n
∈
N
.
1
1
②证明：由
2
＝
2
<
*
2
2
2
2
a
n
1
1
1
＝
－
,
n
>2.
n
n
（
n
－
1
）
n
－
1
n
1
1
1
1
1
1
则
2
＋<
/p>
2
＋…＋
2
＝<
/p>
1
＋
＋
2
＋…＋
2
a
1
a
2
a
n
4
3
n
1
1
1
1
1
1
1
7
1
7
<1
＋
＋
－
＋
－
＋…＋
－
＝
－
<
,
4
2
3
3
4
n
－
1
n
4
n
4
故原不等式成立．
数列求和方法选择的依据是该数列的通项公式的特征
,
所以准确求解通项公式是解决此
类问题的基础
,
更要熟记数列求和方法与通项公式之间
的对应
,
记住基本步骤和关键点
,
如错
位相减法中
,
两式作减法后所得式子的项数以及对应项之间的关系
,
求和时注
意等比数列的确
定；裂项相消法的关键在于准确裂项
,
把握相消后所剩式子的结构特征．
[
对点训练
]
1
．(2019·绍兴一中高三期末考试
)
< br>已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
a
< br>1
＝
1,
当
n
≥2
时
,
a
n
＋
2
S
n
－
1
＝
n
,
则
S
2 017
＝
(
)
A
．
1
006
C
．
1
008
B
．
1 007
D
．
1 009
解析：
选
D.
a
< br>n
＋
2
S
n
－
1
＝
n
⇒
a
n
＋
1
＋
2
S
n
＝
n
＋
1
⇒
a
n
< br>＋
1
－
a
n
＋
2
a
n
＝
1
⇒
a
n
＋
1
＋
a
n
＝
1
⇒
S
2
017
＝
a
1
＋
(
a
2
＋
a
3
)
＋…＋
(
a
2
016
＋
a
2
017
)
＝1
008×1＋
1
＝
1
009,
故选
D.
2
．
(2019
·杭州市高三期末考试
< br>)
设数列
{
a
< br>n
}
的前
n
项和为
S
n
.
若
S
n
＝
2
a
n
－
n<
/p>
,
则
8
＋
16
＝
________
．
2
a
1
a
2
a
2<
/p>
a
3
＋
4
＋
a
3
a
4
a
4
a
5
解析：因为
S
n
＝
2
a
n
－
n
,
所以
< br>n
≥2
时
,
a
n
＝
S
n
－
S
n
－<
/p>
1
＝
2
a
n
－
n
－
[2
a
n
－
1
－
(
n
< br>－
1)],
所以
a
n
＝
2
a
n
－
1
＋
1,
化为：
a
n
< br>＋
1
＝
2(
a
n
－
1
＋
1),
n
＝
1
时
,
a
1
＝
2
a
1
－
1,
解得
a
1
＝
1.
所以数
列
{
a
n
＋<
/p>
1}
是等比数列
,
首项为
2,
公比为
2.
所
a
n
＋
1
＝
2
,
即
a
n
＝
2
－
1,
2
1
1
所以
＝
＝
n
－
n
＋
1
.
n
n
＋
1
a
n
a
n
＋
1
（
2
－
1
）（
2
－
1
）
2
－
1
2
－
1
所以
2<
/p>
2
n
n
n
n
a
1
a
2
＋
4
a
2
a
3
＋
8
a
3
a
4
＋
16
a
4
a
5
＝
1
－
2
1
＋
2
1
－
3
< br>1
＋…＋
< br>4
1
－
5
1
＝
1
－
2
－
1
2
－
1
2
－
1
2
< br>－
1
2
－
1
2
－
1
1
30
＝
.
2
－
1
31
5
30
答案：
31
专题强化训练
< br>1
1
1
127
< br>*
1
．用数学归纳法证明不等式
1
＋
＋
＋…＋
n
－
1
>
(<
/p>
n
∈
N
)
成立
,
其初始值至少应取
2
4
2
64
(
)
A
．
7
C
．
9
B
．
8
D
．
10
1
1
×
1
－
n
2
127
n
解析：选
B.
据已知可转化为
>
,
整理得
2
>128,
解得
n
>7,
故原不等式的初始
1
64
1
－
2