面积问题和面积方法
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面积问题和面积方法
一．基本公式和定理
由于平面上的凸多边形都可以分割若干个三角形，
因此在面积公式中，
最基本的是三角形
面积公式。
1
．
常见三角形面积公式
S
ABC
1
1
ah
a
ab
sin
C
pr
p
(
p
a
)(
< br>p
b
)(
p
c
)
2
2
abc
2
R
2
sin
A
sin
B
sin
C
4
R
2
．
常见的面积定理：
1
．
一个图形的面积等于它的各部分面积的和；
2
．
两个全等图形的面积相等；
3
．
等底等
高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底的和相等）的面积
相等；
4
．
等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所对应的高（或底）
< br>的比；
5
．
相似三角形的面积比等于相似比的平方；
6
．
等角或
补角的三角形面积的比，等于夹等角或补角的两边的乘积的比；等角的平行
四边形面积比
等于夹等角的两边乘积的比；
7
．
若
PAB
与
DAB
的公共边所在直线与直线
PD
交于
M
，则
S
PAB
PM
。
S
DAB
DM
二。面积问题
例
1
．设
G
是
ABC
内一点，且
ABC
，
BCG
，
CAG
的面积都相等。证明：
G
是
ABC
的
重心。
例
2
．锐角
ABC
的顶点
A
的
内角平分线交
BC
于
L
，又交三角形的外接圆于
N
，过
L
分
别作
AB
和
AC
边的垂线
KL
和
LM
于
K
< br>和
M
，
求四边形
AKNM
的面积等于
ABC
的面积。
A
M
K
L
C
B
N
例
3
．
三边长为<
/p>
a
,
b
,
c
的
ABC
内切圆，
作三条分别平行于三角形三边的切线，
从
ABC
上
截得三个新的小三角形，求这四个三角形的内切圆的面积和
例
4
．给定半径为
r
的圆上定点
P
的切线
l
，由此圆上的动点
R
引
RQ
⊥
l
，交
l
于
Q
，试确
定面积最大的
PQR
。
例
5
．如图，在
A
BC
中，
P
为边
BC
上任意一点，
PE
∥
AB
，
PF
∥
AC
，若
S
ABC
1
，
4
求证：
S
BPF
,
S
PCE
和
S
AFPE
中至少有一个不小于
9
A
E
F
B
C
P
例
6
．如图，已知其中阴影所示的四个三角
形
AHF
、
BDI
、
CEG
、
GHI
面积均相等。求证：
三个四边形
AHGE
、
BIHF
、
CGID
面积也相等。