六年级奥数-面积计算
-
面积计算（一）
专题简析：
计算平面图形的面积时，
有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联
系，会使你感到无从下手。这
时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以
深化，
再运用我们已有的基本几何知识，
适当添加辅助线，
搭一座
连通已知条件与所求问题
的小
“桥”
，
就会使你顺利达到目的。
有些平面图形的面积计算必须借助于图
形本身的特征，
添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理
的变形，
再经过分
析推导，方能寻求出解题的途径。
例题
1
。
<
/p>
2
已知图
18
－
1
中，三角形
ABC
< br>的面积为
8
平方厘米，
AE
＝
ED
，
BD=<
/p>
BC
，求阴影部
3
分的面积。
A
F
E
B
C
D
18
－
1
【思路导航】
阴影部分为两个三角形，但三角形
AEF
的面积无法直接计
算。由于
AE=ED,
连接
DF
，可知
S
△
AEF<
/p>
=S
△
EDF
（
等底等高）
，采用移补的方法，将所求阴影部分
转化为求三角形
BDF
的面积。
2
因为
BD=
BC
，
所以
S
△
BDF
＝
2S
△
DCF
。
又因为
< br>AE
＝
ED
，
< br>所以
S
△
ABF
＝
S
△
BDF
＝
2S
△
DCF
。
3
因此，
S
△
ABC
＝
5 S
△
DCF
。
由于
S
△
ABC
＝
8
平方厘米，
所以
S
△
DCF
＝
8
÷
5
＝
1.6
（
平方厘米）
，
则阴影部分
的面积为
1.6
×
2
< br>＝
3.2
（平方厘米）
。
练习
1
1
、
如图<
/p>
18
－
2
所示，
AE
＝
ED
，
BC=3BD
，
S
△
ABC
＝
30
< br>平方厘米。求阴影部分的面积。
1
2
、
如图
18
－
3
所示，
AE=ED
，
DC
＝
BD
，
S
△
ABC
＝
21
平方厘米。求阴影部分的面积。
3
1
3
、
如图
18
－
4
所示，
DE
＝
AE
，
B
D
＝
2DC
，
S
△
EBD
＝
5
平方厘米。求三角形
ABC
的面
2
积。
B
A
A
F
E
C
B
A
F
E
C
B
E
F
C
D
18
－
2
D
18
－
3
D
18
－
4
例题
2
。
<
/p>
两条对角线把梯形
ABCD
分割成四个三
角形，如图
18
－
5
< br>所示，已知两个三角形的面
积，求另两个三角形的面积各是多少？
A
D
O
6
12
C
B
18
－
5
【思路
导航
】已知
S
△
BOC
是
S
△
DOC
的
2
倍，且高相等，可知：<
/p>
BO
＝
2DO
；
从
S
△
ABD
与
S
△
ACD
相等（等底等高）可知：
S
△
ABO<
/p>
等于
6
，而△
A
BO
与△
AOD
的高相等，底是△
AOD
的
2
倍。所
以△
AOD
的面积为
6
÷
2
＝
3
。
因为
S
△
ABD
与
S
△
ACD
等底等高
所以
S
△
ABO<
/p>
＝
6
因为
S
△
BOC
是
S
△
DOC
的
2
倍
所以△
ABO
是△
AOD
的
2
倍
所以△
AOD
＝
6
÷
2
＝
3
。
答：△
AOD
的面积是
3
。
练习
2
1
、
两条对
角线把梯形
ABCD
分割成四个三角形，
（如图
18
－
6
所示）
，已知两个三角形的
面积，求另两个三角形的面积是
多少？
1
2
、
已知
AO
＝
OC
，求梯形
ABCD
的面积（如图
18
－
7
所示）
。
3
3
、
已知三角形
AOB
的面积为
15
平方厘米，
线段
OB
的长度为
OD
的
3
倍。
求梯形
ABCD
< br>的面积。
（如图
18
－
8
所示）
。
D
A
A
A
D
O
D
4
O
O
4
8
8
C
C
B
C
B
B
18
－
7
18
－
8
18
－
6
例题
3
。
<
/p>
四边形
ABCD
的对角线
BD
被
E
、
< br>F
两点三等分，且四边形
AECF
的面积为
15
平方厘
米。求四边形<
/p>
ABCD
的面积（如图
18
－
9
所示）
。
D
A
F
E
B
18
－
9
C
【思路导航】
由于
E
、
F
三等分
BD
，所以三角形
ABE
、
AEF
、
AFD
是等底等高的三角形，
它们的面积相等。
同理，
三角形
BEC
、
CEF
、
CFD
的面积也相
等。由此可知，
三角形
ABD
的面积是
三角形
AEF
面积的
3
倍，三角形
BCD
的面积是三角形
CEF
面积的
3
倍，
从而得出四边形
ABCD
的面积是四边形
AECF
面积的
3
倍。<
/p>
15
×
3
＝
45
（平方厘米）
答：四边形
ABCD
的面积为
45
平方厘米。<
/p>
练习
3
1
、
四边形
ABCD
的对角线
BD
被
E
、
F
、
G
三点四等分，且四边形
AEC
G
的面积为
15
平
方厘米。求四边形
ABCD
的面积（如图
< br>18
－
10
）
< br>。
2
、
已知四
边形
ABCD
的对角线被
E
、
F
、
G
三点四等分，
且阴影部分面积为
15
< br>平方厘米。
求四边形
ABCD
的
面积（如图
18
－
11
所示）
。
3
、
如图<
/p>
18
－
12
所示
，求阴影部分的面积（
ABCD
为正方形）
。
D
6
D
D
A
A
E
E
G
A
F
4
F
·
G
E
C
C
B
C
B
B
18
－
12
18
－
11
18
－
10
例题
4
。
<
/p>
如图
18
－
13
所示，
BO
＝
2DO
，阴影部分的面积是
4
平方厘米
。那么，梯形
ABCD
的
面积是多少平
方厘米？
D
A
O
E
B
C
18
－
13
【思路导航
】因为
< br>BO
＝
2DO
，取
BO
中点
E
，连接
AE
。根据三角形等底等高面积相等的性
质，可
知
S
△
DBC
＝
S
△
CDA
；
S
△
COB
＝
S
△
DOA
＝
4
，类推可得每个三角形的面积。所
以，
S
△
CDO
＝
4
÷
2
＝
2
（平方厘米）
S
△
DAB
＝
4
×
3
＝
12
平方厘米
S
梯形
ABCD
＝
12+4+2
＝
18
< br>（平方厘米）
答：梯
形
ABCD
的面积是
18
平方厘米。
练习
4
1
、
如图<
/p>
18
－
14
所示
，阴影部分面积是
4
平方厘米，
OC<
/p>
＝
2AO
。求梯形面积。
2
、
已知
OC
＝
2AO
，
S
△
BOC
＝
14
平方厘米。求梯形的面积（如图
18
－
15
所示）
。
3
、
已知<
/p>
S
△
AOB
＝<
/p>
6
平方厘米。
OC
＝
3AO
，求梯形的面积（如图
18
－
16
所示）
。
D
D
A
D
A
A
O
O
O
C
C
B
B
C
B
18
－
16
18
－
15
18
－
14
例题
5
。
<
/p>
如图
18
－
17
所示，长方形
ADEF
的面积是
16
，三角形
ADB
的面积是
3
，三角形
ACF
的面积是
4
，求三角形
A
BC
的面积。
F
F
A
A
C
C
E
E
D
D
B
18
－
17
【思路导航
】连接
AE
。仔细观察添加辅助线
A
E
后，使问题可有如下解法。
由图上看出：三角形
ADE
的面积等于长方
形面积的一半（
16
÷
2
）＝
8
。用
8
减去
3
得到
三角形
ABE
的面积为
5
。同
理，用
8
减去
4
得到三角形
AEC
的面积也为
4
。
因此可知三角形
AEC
< br>与三角形
ACF
等底等高，
C<
/p>
为
EF
的中点，
而三角形
ABE
与三角形
BEC
等底，高是三角形
BEC
的
< br>2
倍，三角形
BEC
的面积为<
/p>
5
÷
2
＝
2.5
，所以，三角形
ABC
的面积为
16
－
3
－
4
－
2.5
＝
6.5
。
练习
5
1
、
如图<
/p>
18
－
18
所示
，长方形
ABCD
的面积是
20
平方厘米，三角形
ADF
的面积为
5
平
方厘米，三角形
AB
E
的面积为
7
平方厘米，求三角形
AEF
的面积。
2
、
如图<
/p>
18
－
19
所示
，长方形
ABCD
的面积为
20
平方厘米，
S
△
AB
E
＝
4
平方厘米，
S
△
AFD
＝
6
平方厘米，求三角形
AEF
的面
积。
3
、
如图
18
－
2
0
所示，长方形
ABCD
的面积为
24
平方厘米，三角形
ABE
、
AFD
的面积
均为
4
平方厘米，求三角形
AEF
的面积。
A
A
D
A
D
D
F
F
F
C
C
C
B
B
B
E
E
E
18
－
19
18
－
20
18
－
18
答案：
练
1
1
、
30<
/p>
÷
5
×
2
＝
12
平方厘米
2
、
21<
/p>
÷
7
×
3
＝
9
平方厘米
2
1
3
、
5
×
3
÷
＝
22
平方厘米
3
2
练
2
1
、
4
÷
2
＝
2
8
÷
2
＝
4
2
、
8
×
2
＝
16
16+8
×
2+4
＝
36
3
、
15
×
3
＝
45
15+5+15+45
＝
80
练
3
1
、
15<
/p>
×
2
＝
30
平方厘米
2
、
15<
/p>
×
4
＝
60
平方厘米
3
、
6
×
6
÷
2
－
6
×
4
÷
2
＝
6
< br>平方厘米
6
×
2
÷
4
＝
3
平方厘米
（
6+3<
/p>
）×
6
÷
2
＝
27
平方厘米
练
4
1
、
4
×
2
＝
8
平方厘米
8
×
2
＝
16
平方厘米
16+8+8+4
＝
36
平方厘米
2
、
14
÷
2
＝
7
平方厘米
7
÷
2
＝
3.5
平方厘
米
14+7+7+3.5
＝
31.5
平方厘米
3
、
6
×（
3+1
）＝
24
6
÷
3
＝
2
24+6+2
＝
32
练
5
1
1
、
20
÷
2<
/p>
－
7
＝
3
3
×
＝
1.5
20
－
7
－<
/p>
5
－
1.5
＝<
/p>
6.5
2
10
－
6
2
2
3
2
、
20
÷
2<
/p>
＝
10
<
/p>
（
10
－
4
）×
＝
2
20
－
6<
/p>
－
4
－
2
＝
7
10
5
5<
/p>
5
4
1
3
、
24
÷
2
＝
12
平方厘米
（
12
－<
/p>
4
）×（
1
－<
/p>
）＝
5
平方厘米
12
3
1
2
24<
/p>
－
4
－
4
－
5
＝
10
平方厘米
3
3
面积计算（二）
专题简析：
在进行组合图形的面积计
算时，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由几个基本
单位组成的，还要找出图中的
隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关系。
例题
1
。
<
/p>
求图中阴影部分的面积（单位：厘米）
。
6
6
6
6
6
6
19
－
1
<
/p>
1
【思路导航】
如图
19
－
1
所示的特点，阴影部分的
面积可以拼成
圆的面积。
4
1
6
2
×
3.14<
/p>
×
＝
28.2
6
（平方厘米）
4
答：阴影部分的面积是
28.26
平方厘米。
练习
1
求下
面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）
。
6
6
19
－
2
19
－
3
10
19
－
4
例题
2
。
<
/p>
求图
19
－
5<
/p>
中阴影部分的面积（单位：厘米）
。
4
19
－
6
19
－
5
【思路导航】
阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图
19
－
6
所示）
，从
< br>图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
1
3.14
×
4
2<
/p>
×
－
4
×
4
÷
2
÷
2
＝
8.56
（平方厘米）
4
答：阴影部分的面积是
8.56
平方厘米。
练习
2
<
/p>
计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）
。
19
－
8
19
－
7
19
－
9
例题
3
。
<
/p>
如图
19
－
10
所示，两圆半径都是
1
厘米，且图中两
个阴影部分的面积相等。求长方形
ABO
1
O
的面积。
B
A
O
1
O
19
－
10
【思路导航】
因为两圆的半径相等，
所以两个扇形中的空白部分相等。
又
因为图中两个阴影
部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图
19
－
10
右图
所示）
。所以
1
3.14
×
1
2<
/p>
×
×
2
＝
1.57
（平方厘米）
4
答：长方形长方形
ABO
1
O
的面积是
1.57
平方厘米
。
练习
3
1
、
如图<
/p>
19
－
11
所示
，圆的周长为
12.56
厘米，
AC<
/p>
两点把圆分成相等的两段弧，阴影部
分（
1
）的面积与阴影部分（
2
）的面积相
等，求平行四边形
ABCD
的面积。
C
A
1
B
A
D
B
2
A
O
C
B
C
8
D
19
－
12
19
－
11
19
－
13
2
、
如图
19
－
12<
/p>
所示，
直径
BC
＝
8
厘米，
AB
＝
AC
，
D
为
AC
的重点，
求阴影部分的面积。<
/p>
3
、
如图
19
－
13
所示，
AB
＝
BC
＝
8
厘米，求阴影部分的面积。
例题
4
。
<
/p>
如图
19
－
14
所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）
。
C
II
6
D
I
B
A
E
4
19<
/p>
－
14
3
D
【思路导航
】我们可以把三角形
ABC
看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如右
图所示）
，
因为原大三角形的面积与后加上的三角形面积相等，
并且空白部分
的两组三角形面积分别相等，所以
I
和
II
的面积相等。
6
×
4
＝
24
（平方厘米）
答：阴影部分的面积是
24
平方厘米。
练习
4
1
、
如图<
/p>
19
－
15
所示
，求四边形
ABCD
的面积。
2
、
如图<
/p>
19
－
16
所示
，
BE
长
5
厘
米，
长方形
AEFD
面积是
38
平方厘米。
求
CD<
/p>
的长度。
3
、
图
19
－
17
是两个
完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部
分的面积（单位：厘米
）
。
C
C
F
D
38
40
30
○
45
B
B
A
E
5
7
19
－
16
19
－
17
19
－
15
例题
5
。
<
/p>
如图
19
－
18
所示，图中圆的直径
AB
是
4
厘米，平行四边形
ABCD
的面积是
7
平方厘
米，
∠
ABC
＝
30
度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）
。
C
C
D
D
B
B
A
A
O
O
19
－
18
【思路导航】
阴影部分的面积等于平
行四边形的面积减去扇形
AOC
的面积，再减去三角形
BOC
的面积。
半径：
4
÷
2
＝
2
（厘米
）
扇形的
圆心角：
180
－（
180
－
30
×
2
）＝
60
（度）
60
扇形的
面积：
2
×
2
×
3.14
×
≈
2.09
（平方厘米）
360
120
A
三角形
BOC
的面积：
7
÷
2
÷
2
＝
1.75
（平方厘米）
7
－（
2.
09+1.75
）＝
3.16
（平方厘
米）
答：阴影部分的面积是
3.16
平方厘米。
练习
5
1
、
如图<
/p>
19
－
19
所示
，
∠
1
＝
15
度，圆的周长位
62.8
厘米，平行四
边形的面积为
100
平方厘米。求阴影部分的面积（得数保留两
位小数）
。
2
、
如图<
/p>
19
－
20
所示
，三角形
ABC
的面积是
31.2
平方厘米，圆的直径
AC
＝
6
厘米，
BD
：
DC
＝
3
：
1
。求阴影部分的面积。
3
、
如图<
/p>
19
－
21
所示
，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数）
。
A
O