等面积变换
-
初中数学组卷
<
/p>
一．选择题（共
1
小题）
1
．如图，直线
L
1
∥
L
2
，
△
ABC
的面积为
10
，则
△
DBC<
/p>
的面积（
）
A
．
大
于
10
B
．
小
于
10
二．解答题（共
7
< br>小题）
2
．
< br>（
2012
•
西城区二模）阅读
下列材料
小华在学习中发现如下结论：
如图<
/p>
1
，点
A
，
A
1
，
A
2
在直线
l
上，当直线
l
∥
BC
时，
C
．
等
于
10
D
．
不
确定
．
请你参考小华的学习经验画图（保
留画图痕迹）
：
（
< br>1
）如图
2
，已知
△
ABC
，画出一个等腰
△
DBC
，使其面积与
△
ABC
面积相等；
（
2
）如图
3
，已知<
/p>
△
ABC
，画出两个
Rt
△
DBC
，使其面积与
△
ABC
面积相等（要求：所画的两个三角形
不全等）
；
（
3
）如图
4
，已知等腰
△
ABC
中，
AB=AC<
/p>
，画出一个四边形
ABDE
，使其面积与
△
ABC
面积相等，且一组对边
DE=AB
，另一组对边
BD
≠
AE
，对角∠
E=
∠
B
．
3
．
（
2012
•<
/p>
亳州一模）
（
1
）如图
1
，已知
△
ABC
，过点
A
画一条平分三角形
面积的直线；
（
2
< br>）如图
2
，已知
l
1
∥
l
2
< br>，点
E
，
F
在
l
1
上，点
G
，
H
在
l
2
上，试说明
△
EGO
与
△
FHO
面积相等；
（
3
）如图
3
，点
M
在
△
ABC
的边上，过
点
M
画一条平分三角形面积的直线．
4
．
（
1
）如图所示
，已知
△
ABC
中，
< br>D
为
BC
的中点，则
△
ABD
和
△
ACD
的面积相等，理由是：
_________
；
（
2
）如图所示：①在梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，则
△
ABC
和
△
DBC
的面积相等，理由是：
_________
；图中
还有两对面积相等的三角形，分别是：
_________
，
_________
．
②在梯形
ABCD
中，
AD
∥
< br>BC
，若
AD=1
，
BC=2
，且
△
AOD<
/p>
的面积是
a
，试求梯形
< br>ABCD
的面积．
5
．如图
，四边形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AC
与
BD
相交于点
O
，
（
1
）
△
ABC
与
△
DBC
的面积相等吗？为什么？
2
（
2
）若
S
△
AOB
< br>=21cm
，求
S
△
COD
；
2
（
3
）若
S
△
AOD
=10cm
，且<
/p>
BO
：
OD=2
：
1
，求
S
△
ABD
．
6
．
（
2007
•
青岛
）提出问题：如图①，在四边形
ABCD
中，
< br>P
是
AD
边上任意一点，
△
PBC
与
△
ABC
和
△
DBC<
/p>
的面
积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（
1
）当
AP
=
AD
时（如图②）
：
∵
AP=
AD
，
△
ABP
和
△
ABD
的高相等，
∴
S
△
ABP
=
S
△
ABD
．
∵
PD=AD
﹣
AP=
A
D
，
△
CDP
和
△
CDA
的高相等，
∴
S
△
CDP
=
S
△
CDA
．
∴
S
△
PBC
=S
< br>四边形
ABCD
﹣
S
△
ABP
﹣
S
△
CDP
=S
四边形
ABCD
﹣
S<
/p>
△
ABD
﹣
S<
/p>
△
CDA
=S
四边形
ABCD
﹣
（
S
四边形
ABCD
﹣
S
△
DBC
）﹣
（
S
四边形
ABCD
﹣
S
△
ABC
）
=
S
△
DBC
+
S
△
ABC
．
（
2
）当
AP=
AD
时，探求
S<
/p>
△
PBC
与
S<
/p>
△
ABC
和
S<
/p>
△
DBC
之间的关系，写出求解过程；<
/p>
（
3
）当
AP=
AD
时，
S
△
PBC
与
S
△
ABC
和
S
△
DBC
之间的关系式为：
_________
；
（
4
）一般地，当
AP=
AD
< br>（
n
表示正整数）时，探求
S<
/p>
△
PBC
与
S<
/p>
△
ABC
和
S<
/p>
△
DBC
之间的关系，写出求解过程；<
/p>
问题解决：当
AP=
< br>AD
（
0
≤
≤
1
）时，
S
△
PBC
与
S
△
ABC
和
S
△
DBC
之间的关系式为：
_________
．
7
．
（本题满分
1
2
分，任选一题作答．
）
Ⅰ、如图①，在平面直角坐标系中，
O
为坐标原点
，边长为
5
的正三角形
OAB
的
OA
边在
x
轴的正半轴上．点
C
、
D
同时从点
O
出发，点
C
以
1
单位长
/
秒的速度向点
A
运动，点<
/p>
D
以
2
个单位长
/
秒的速度沿折线
OBA
运动．设运
动时间为
t
秒，
0
＜
t
＜
5
．
（
1
）当
时，证明
DC
⊥<
/p>
OA
；
（
2
）若
△
OCD
的面积为
S
，
求
S
与
t
的函
数关系式；
（
3
）
以点
C
为中心，
将
CD
所在的直线顺时针旋转
60
°
交
AB
边于点
E
，
若以
O
、
C
、
E
、
D
为顶点的四边形是梯形，
求点
E
的坐标．
Ⅱ、
（
1
）如图Ⅱ
﹣
1
，已知
△
ABC
，过点
A
画一条平分三角形面积
的直线；
（
2
）如图Ⅱ﹣
2
，已知
l
1
∥
l
2
< br>，点
E
，
F
在
l
1
上，点
G
，
H
在
l
2
上，试说明
△
EGO
与
△
FHO
面积相等．
（
3
）如图Ⅱ﹣
3
，点
M
在
△
ABC
的边上
，过点
M
画一条平分三角形面积的直
线
．
8<
/p>
．如图①，
△
ABC
，
△
DBC
，
△
EBC
，
△
FBC
…
有公共边
BC
，而顶点
A
，
D
，
E
，
F
…
都在一条直线上，我们规定这
样的三角形叫同底共
线的三角形．
（
< br>1
）如图②，
△
ABC
，
△
PBC
，
△
DBC
是同底共线三角形，若
PD=2PA
，
△
DOC
的面积与
△
AOB
的面积的差为
3
，
△
< br>PBC
的面积为
5
，求
△
DBC
和
△
ABC
的面积．
（<
/p>
2
）如图②，当
（
n
表示的正整数）时，
S
△
ABC
=6n
，
S
△
DBC
=n
（<
/p>
n+5
）
，求
S
△
PBC
（
3
）如图③，在同底共线三角形
△
ABC
，
△
DBC
，
△
EBC
，
△
FBC
中，若满足
< br>AD
：
DE
：
< br>EF=a
：
b
：
c
，求
△
ABC
，
△
DBC
，
△
EBC
，
△
FBC
之间的关系．
2014
年
3
月杨俊兴的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共
1
< br>小题）
1
．如图，直线
L
1
∥
L
2
，
△
ABC
的面积为
10
，则
△
DBC
的面积（
）
A
．
大
于
10
B
．
小
于
10
C
．
等
于
10
D
．
不
确定
考点
：
平行线之间的距离；三角形的面积．
分析：
由于平行线间的距离处处相等
，而
△
ABC
和
△
DBC
的
BC
边上的高相等，所以
△
ABC
和<
/p>
△
DBC
的面积相
等，即可求出答案．
解答：
解：∵
L
1
∥
L
2
，
∴
L
1
，
L
2
之间的距离是固定的，
∴△
ABC
和
△
DBC
的
BC
边上的高相等，
∴△
ABC
和
△
DBC
的面积相
等，
∴△
DBC
的面积等于
10
．
故选
C
．
点评：
此题主要考查了平行线的性质
和三角形面积公式．此外还利用了夹在平行线间的距离处处相等．
二．解答题（共
< br>7
小题）
2
< br>．
（
2012
•
西城区二模）阅读下列材料
小华在学习中发现如下结论：
如图<
/p>
1
，点
A
，
A
1
，
A
2
在直线
l
上，当直线
l
∥
BC
时，
．
请你参考小华的学习经验画图（保
留画图痕迹）
：
（
< br>1
）如图
2
，已知
△
ABC
，画出一个等腰
△
DBC
，使其面积与
△
ABC
面积相等；
（
2
）如图
3
，已知<
/p>
△
ABC
，画出两个
Rt
△
DBC
，使其面积与
△
ABC
面积相等（要求：所画的两个三角形
不全等）
；
（
3
）如图
4
，已知等腰
△
ABC
中，
AB=AC<
/p>
，画出一个四边形
ABDE
，使其面积与
△
ABC
面积相等，且一组对边
DE=AB
，另一组对边
BD
≠
AE
，对角∠
E=
∠
B
．
考点
：
作图
—
应用与设计作图．
分析：
（
1
）过
A
点作
B
C
的平行线
l
，在直线
l
上找到
△
DBC
为等腰三角形的点即可；
（
2
）过
A
点作
BC
的平行线
AD
，在直线
AD
上找到
△
DBC
为直角三角形的点即可；
（
3
）①在线段
BC
上任
取一点
D
（
D
不为
BC
的中点）
，连接
AD
；②画出线段
AD
的垂
直平分线
MN
；③
画出点
C
关于直线
MN
的对称点<
/p>
E
，连接
DE
，
AE
．则四边形
ABDE
即为所求．
解答：
解：
（
1
）如图所
示，答案不唯一．画出
△
D
1
BC
，
△
D
2
BC
，
△
D
3
BC
，
△
D
4
BC
< br>，
△
D
5
BC
中的一个即可．
（将
BC
的平行线
l
画在直线
BC
下方对称位置所画出的三角形亦可）
；
（
2
）如图所示，答案不唯一．
（在直线
D
1
D
2
上取其他符合要求的点，或将<
/p>
BC
的平行线画在直线
BC
下方
对称位置所画出的三角形亦可）
（
3
）如图
所示（答案不唯一）
．
点评：
考查了作图﹣应用与设计作图
，解题的关键是灵活运用等底等高的三角形面积相等，两平行线间的距离相
等．
3
．
（
2012
•
亳州一模）
（
1
）如图<
/p>
1
，已知
△
AB
C
，过点
A
画一条平分三角形面积的直
线；
（
2
）
如图
2
，已知
l
1
∥
l
2
，
点
E
，
F
在<
/p>
l
1
上，点
G<
/p>
，
H
在
l
2
上，试说明
△
EG
O
与
△
FHO
面积相等；
（
3
）如图
3
，点
M
< br>在
△
ABC
的边上，过点
M
画一条平分三角形面积的直线．
考点
：
三角形的面积．
分析：
（
1
）根据三角形的面积公式，只需过点
A
和
BC
的中点画直线即可；
（
2
）结合平行线间的距离相等和三角形的面积
公式即可证明；
（
3
）结合（
1
）和（
2
）的结论进行求作．
解答：
（
1
）解：取
BC
的中点
< br>D
，过
A
、
D
画直线，则直线
AD
为所求；<
/p>
（
2
）证明：∵
l
1
∥<
/p>
l
2
，
∴点
E
，
F
到
l
2
之间的距离都相
等，设为
h
．
∴
S
△
EGH
=
GH
•
h
，
S
△
FGH
=
GH
•
h
，
∴
S
△
EGH
=S
△
FG
H
，
∴
S<
/p>
△
EGH
﹣
S<
/p>
△
GOH
=S
△
FGH
﹣
S
△
GOH
，
∴
△
EGO
的面积等于
△
FHO
的面积；
（
3
）解：取
BC
的中点
D
，连接
M
D
，过点
A
作
AN
∥
MD
交
BC
于点
N
，过
M
、
N
画直线，则直线
MN
为所求．
点评：
此题主要是根据三角形的面积
公式，知：三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分；同底等高
的两个三角形
的面积相等．
< br>4
．
（
1
）如图所示，已知
△
ABC
中，
D
为
BC
的中点，
则
△
ABD
和
△
ACD
的面积相等，理由是：
等底同高的两个
三角形面积相等
；
（
2
）如图所示：①在梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，则
△
ABC
和
△
DBC
的面积相等，理由是：
同底等高的两个三角
形面积相等
；图中还有两对面积相等的三角形，分别是：
△
AOB
与
△
COD
，
△
ABD
与
△
ACD
．
②在梯形
ABCD
中，
AD<
/p>
∥
BC
，若
AD
=1
，
BC=2
，且
< br>△
AOD
的面积是
a
，试求梯形
ABCD
的面积．
考点
：
梯形；三角形的面积．
分析：
（
1
）根据三角形的面积公式即可求解．
（
2
）易得
△
AOD
∽△
COB
，就可求得
△
BOC
的面积，因而就可求得
△
ACD
和
△
ABC
的面积，根据：梯形
ABCD
< br>的面积
=
△
ACD
的面积
+
△
ABC
的面积，即可求解．
解答：
解：
（
1
）理由是：等底同高的两个三角形面积相等；
（
2
< br>）
①理由是：
同底等高的两个三角形面积相等；
还有两对面积相等的三角形，
分别是：
△
AOB
与
△
COD<
/p>
、
△
ABD
与<
/p>
△
ACD
．
<
/p>
②∵
AD
∥
BC
∴△
AOD
∽△
COB
∴
=
=2
< br>，即
MN=3OM
；
△
BOC
的面积
=4<
/p>
△
AOD
的面积
=4a
；
△
ACD
的面积
=3
△
< br>AOD
的面积
=3a
；
△
ABC
的面积
=
△
BOC
的面积
=6a
；
∴
梯形
ABCD
的面积
=
△
ACD
的面积
+
△
ABC
的面积
=9a<
/p>
．
点评：
本题考查了梯形的面积问题，
一般与梯形有关的问题可以转化为三角形的问题求解．
5
．如图，四边形
< br>ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AC
与
BD
相交于点
O
，
（
1
）
△
ABC
与
△
DBC
的面积相等吗？为什么？
2
（
2
）若
< br>S
△
AOB
=21cm
，求
S
△
COD
；
2
（
3
）若
S
△
AOD
=10cm
，且
BO
：
OD=2
：
1
，求
S
△
A
BD
．
考点
：
平行线之间的距离；三角形的面积．
分析：
（
1
）根据已知得出∴△
ABC
的边
BC
上的高和
△
DB
C
边
BC
上的高相等，设此高为
h
，根据三角形的面积
公式求出即可；
（
2
）根据
△
ABC
的面积和
△
DBC
的面积相等，都减去
△
OBC
的面积，即可得出
△
AOB
的面积和
△
DOC
的面积相等；
（
3<
/p>
）求出
BD=3OD
，根据面积公式代入
求出即可．
解答：
解：
（
1
）
< br>）
△
ABC
与
< br>△
DBC
的面积相等，理由是：
∵
AD
∥
BC
，
∴△
AB
C
的边
BC
上的高和
< br>△
DBC
边
BC
上的高相等，设此高为
h
，
∴△
ABC
的面积是
< br>BC
×
h
，
△
DBC
的面积是
×
BC
×
h
，
∵
BC=BC
，
∴△
ABC
与
△
DBC
的面积相等；
（
2
）∵<
/p>
S
△
ABC
=S
△
DBC
，
∴
S
△
ABC
﹣
S
△
OBC
=S
△
DBC
﹣
S
△
OBC
，
2
∴
S<
/p>
△
AOB
=S
△
DOC
=21cm
，
< br>
2
即
S
△
COD
=21cm
；
（
3
< br>）∵
BO
：
OD=2
：
1
，
∴
BD=3OD
，
∵△
AOD
的边
OD<
/p>
上的高和
△
ABD
的边
BD
上的高相等，设此高为
a<
/p>
，
∵
S
△
AOD
=
×
OD
×
a=10cm
，
∴
S
△<
/p>
ABD
．
=
×<
/p>
BD
×
a=
×<
/p>
3OD
×
a=3
×
10cm
=30cm
．
点评：
本题考查了平行
线间的距离和三角形的面积，注意：等高的三角形的面积之比等于对应的边之比．
2
2
2