专题8-数轴穿根法
-
专题：数轴穿根法
“数轴穿根法”又称“数轴标根法”
第一步：通过不等式的诸多性质对
不等式进行移项，使得右侧为
0
。（注意：
一定要保证
x
前的系数为正数）
例如：
(x-2)(x-1)(x+1)>0
第二步：将不等号换成等号解出所有根。
例如：
(
x-2)(x-1)(x+1)=0
的根为：
x
1
=2
，
x
< br>2
=1
，
x
3
=-1
第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。
例如：
-1 1 2
第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，
然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。
第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，
穿根线以内的范
围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。
例如：
若求
(x-2)(x-1)(x+1)>0
的解。
因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：
<
br>
2 x <
br>。 图象，数轴下方有线表示数轴下方有函数图象，此线并不表示函数的真实
-1
或
x>2
。
穿根法的奇过偶不过定律：
“奇穿过，偶弹回”。
还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是
可以用穿根法
的，但是注意，解不能让原来分式下面的式子等于
0
专项训练：
1
、解不等式
(
2
x
1
)(
x
1
)(
x
3
)
0
解析：
1
）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式未知数的系数为正。
）因式
(
2
1
)
、
(
x
1<
/p>
)
、
(
x
3
)
的根分别是<
/p>
1
、
1
、
3
。在数轴上把
2
它们标出（如图
1
）
1
3
x
1
2
图
1
3
）从最大根
3
的右上方开始，向左依次
穿线（数轴上方有线表示数轴上方有函数
图象）
。
4
）
数轴上方曲线对应的
x
的取值区间，
为
(
2
x
1
)(
x
< br>
1
)(
x
3
)
0
的解集，
数轴下方曲线对应的
x
的取值区间，为
(
2
x
1
)(
x
1
)(
x
3
)
0
的解集。
1<
/p>
不等式
(
2<
/p>
x
1
)(
x
1
)(
x
3
)
0
的解集为
(
,
1
)
(
3
,
< br>
)
。
2
在上述解题过程中，学生存在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；
为什
1
么从最大根的右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对
应的
x
的集合是大于零不等式的解
集，
数轴下方曲线对应
x
的集合是小于零不等式的解集。
2
、解不等式
(
x
2
)(
x
1
)
(
x
3
< br>)
0
解析：
1
）一边是因式乘积、另一边是零的形式，其中各因式
未知数的系数为正。
2
）因式
(
x
2
)
、
(
x
1
)
、
(
x
3
)
的根分别为
2
、
2
、
3
，在数轴上把它
们标出（如图
2
）
。
3
）从最大根
3
的右上方开始向左依次穿线，次数
为奇数的因式的根一次性穿过，
次数为偶数的因式的根穿而不过。
4
）
数轴上方曲线对应的
x
的取值区间，
为
(<
/p>
x
2
)(
x
1
)
(
x
3
)
0
的解集，
数
轴下方曲线对应的
x
的
取值范围，为
(
x
< br>2
)(
x
1
)
(
x
3
)
0<
/p>
的解集。
1
2
2
3
1
2
2
3
1
2
2
3
1
2
2
3
1
< br>(
x
2
)(
x
1
)
2
(
x
<
/p>
3
)
3
0
的解集为
(
2
,
2
)
(
2
,
3
)
2
2
－
图
2
2
3
x
数轴标根法、分式不等式、绝对值不等式
一、数轴标根法解不等式
例
1.
解下列不等式
1
.
（
x-1
）
（
x-2
）
(x+3)>0
2.
（
x-1
）
（
x-2
）
(x+3)<0
3.
（
1- x
）
（
x-2
）
(x+1)
0
4.
（
x- 1
）
（
x-2
）
(x+1)
0
二．
分
式不等式
x
3
思考
（
1
）
0
与
x
3
x
2
0
解集是否相同，为什么
x
2
x
3
（
2
）
0
与
x
3
x
2
0
解集是否相同，为什么
x
2
解：方法
1
：利用符号法则转化为一元一次
不等式组，进而进行比较。
方法
2<
/p>
：在分母不为
0
的前提下，两边同乘以分
母的平方。
2
2
< br>3
通过例
1
，得出解分式不等式
的基本思路：等价转化为整式不等式（组）
：
（
1
）
f
x
f
x
<
/p>
g
x
0
0
f
x
g
x
0
（
2
）
f
x
0
g
x
g
x
< br>
g
x
0
例
2.
解下列不等式
< br>
1.
x
3
0
2.
1
1
3.
2
x
1
1
x
3
2
x
x
2
x
x
3
< br>4.
x
3
x
2
0
5.
2
0
< br> 6.
0
x
1
1
9
x
x
2
2
x
3
x
三、含绝对值的不等式的解法
|x|
>a(a>0)
________________
|x|
________________<
/p>
例
3:
解下列
不等式
1.
2
x
1
3
2.
x
1
(
x
1
)
< br>
0
3.|x
-2x|>x 2.
4.
x
1
(
x
1
)
0
2
巩固练习
2
3
x
1
1.
解不等式
2
x
2
3
x
<
/p>
1
0
2.
解不等式
< br>1
3
x
7
x
2
3
x
3.
不等式<
/p>
2
x
1
x
2
x
1
的解集是
x
4
.
（
2012
山东理）
若不等式
kx
4
2
的解集为
x
1
x
3
，
则实数
k
__________.
5.
解不等式（
2x- 1
）
（
x-2
）
(x+1)
0
6.
解不等式（
3- x
）
（
x-2
）
(x+1)
0
3
2
7
2
3<
/p>
不等式解
法
15
种典型例题
典型例题一
3
2
例
1
解
不等式：
（
1
）
2
x
x
15
x
0<
/p>
；
（
2
）
(
x
4
)(
x
5
)
(
2
< br>x
)
0
．
2
3
分
析
：如果多项式
f
(
< br>x
)
可分解为
n
个一次式的积，则一元高次不等式
f
(
x
)
0
（或
f
(
x
)
0
）
可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
解：
（
1
）原不等式
可化为
x
(
2
x
5
)(
x
3
)
0
把方程
x
(
2
x
5
)(
x
3
)
0
的三个根
5
x
1
0
,
< br>x
2
,
x
3
3
顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集
2
如
下
图
的
阴
影
部
分
．
∴
原
不
等
式
解
集
< br>为
5
x
x
0
或
x
3
2
（
2
）原不等式等价于
(<
/p>
x
4
)(
x
5
)
(
x
2
)
0
< br>2
3
x
5
x
5
0
(
x
4
)(
x
2
)
0
x
4
或
x
2<
/p>
∴
原
不
等
式
解
集
为
x
x
5
< br>或
5
x
4
或
x
2
说明
：用“穿根法”解不等式时应注意：
①各一次项中
x
的系数必为正；②对于偶次或
< br>奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”
，但注意“奇穿偶不
穿”
，其法
如图．
典型例题二
x
2
4
x
1
3
2
1
例
2
解下列分式不等式：
（
1
）
；
（
2
）
2
1
3
x
7
x
2
x
2
x
2
分析
：当分式不等式化
为
f
(
x
)<
/p>
0
(
或
0
)
时，要注意它
的等价变形
g
(
x
)
f
(
x
)
g<
/p>
(
x
)
0
f
(
x
)
f
(
x
)
0
f
(
x
)
g
(
x
)<
/p>
0
；
②
①
0
g
(
x
)
g
(
x
)
0
g
< br>(
x
)
（
1
）解：
原不等式等价于
3
x
3
x
< br>
0
x
2
x
2
x
2
x
2
4
3
(
x
2
)
x
(
x
2
)
x
2
5
x
6
<
/p>
0
0
(
x
2
)(
x
2
)
(
x
< br>
2
)(
x
2
)
(
x
6<
/p>
)(
x
1
)(
x
2
)(
x
2
)
0
(
x
6
)(
x
1
)
0
(
x
2<
/p>
)(
x
2
)
(
x
2
)(
x
2
)
0
用“穿根法”
∴原不等式
解集为
(
,
2
)
1
,
2
6
,
。
2
x
2
3
x
1
0
（
2
）解法一：原不等式等价于
2
3
x
7
x
2
2
2
< br>2
x
3
x
1
0
2
x
3
x
1
0
2
2
(
2
< br>x
3
x
1
)(
3
x
7
x
<
/p>
2
)
0
2
或
2
3
x
7
x
< br>2
0
3
x
7
x
2
0
1
1
1
1
x
或
x
1
< br>或
x
2
，∴原不等式解集为
(
,
)
(
,
1
)
(
2
,
)
< br>。
3
2
3
2
解法二：原不等式等价于
(
2
x
1
)(
x
1
)
0
(
2
x
1
)(
x
1
)(
3
x
1
)
<
/p>
(
x
2
)
0
(
3
x
1
)(
x
< br>2
)
用“穿根法”∴原不等式解集为
(
,
)
(
,
1
)
(
2
,
)
典型例题三
例
3
解不等
式
x
2
4<
/p>
x
2
分析
：
解此题的关
键是去绝对值符号，
而去绝对值符号有两种方法：
一是根据绝对
值的
意义
a
1
3
1
2<
/p>
a
(
a
0
)
；二是根据绝
对值的性质：
x
a
< br>
a
x
a
,
x
.
a
x
a
或
a
(
a
0
)
2
< br>2
x
4
0
x
4
0
2
或
2
x
< br>4
x
2
4
x
x
2
x
a
，因此本题有如下两种解法．
解
法
一
：
< br>原
不
等
式
，
即
x
2
或
x
2
2
x
2
或
< br>
2
x
x
x
2
或
x
1
∴
2
x
3
或
1
< br>
x
2
，故原不等式的解集为
x
1
x
3
．
解法二：
原不等式等价于
(
x
2
)
x
4
x
2
2
<
/p>
2
x
3
x
4
x
2
故
1
x
3
．
即
2
∴
x
1
或
x
2
< br>
x
4
(
x
2
)
2
5
典型例题四
x
2
6
x
5
例
4
解不等式
0
．<
/p>
2
12
4
x
x
分析：
这是一个分式不等式，其左边是两个关于
x
二次式的商，由商的符号法则，它等
2
2
x
6
x
5
0
x
6
x
5
0
< br>价于下列两个不等式组：
或
，所以，原不等式的解集是
2
2
12
4
x
x
0
12
4
x
x
0
上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解．
2
2
,
x
6
x
5
0
x
< br>
6
x
5
0
,
解
法一：
原不等式等价下面两个不等式级的并集：
或
2
< br>2
12
4
x
x
0
<
/p>
12
4
x
x
0
x
1
,
或
x
< br>5
,
1
x
5
,
(
x
1
)(
x
5
)
0
,
(
x
1
)(
x
< br>
5
)
0
,
或
或
；
(
x
2
)(
x
6
)
0
;
(
x
2
)(
x
6
)
0
;
2
x
6
x
2
< br>,
或
x
6
1
x
5
,
或
x
2
或
x
6
．∴原不等式解集是
{
x
x
2
，或<
/p>
1
x
5
，或
x
6
}
．
解法二：
原不等式化为
(
x
1
)(
x<
/p>
5
)
0
．画数轴，找因式根，分区间，定符号．
(
x
2
)(
x
6
)
(
x
1
)(
x
5
)
符号
(
x
2
)(
x
6
)
∴原不等式解集是
{
x
x
2
，或
1
x
< br>
5
，或
x
6
}
．
说明：
解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不
等式的交集，
再求两组
的解的并集，否则会产生误解．解法二中
，
“定符号”是关键．当每个因式
x
的
系数为正值
时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间
符号，其他各
区间正负相间．在解题时要正确运用．
典型例题五
x
2
2
x
2
x
．
例
5
解不等式
2
3
2
x
x
分析：
不等式左右两边都是含有
x
的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为
0
再<
/p>
解．
(
x
2
)(
x
2
x
1
)
0
．
解：
移项整理，将原不等
式化为
(
x
3
)(
x
1
)
由
x
2
x
1
0
恒成立，知原不等式等价于
(
x
2
)
0
．
(
x
3
)(
x
1
)
解之，得原不等式的解集为
{
x
1
< br>x
2
或
x
3
}
．
6