空间几何体地表格面积和体积公式大全
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空间几何体的表面积与体积公式大全
一、
全（表）面积（含侧面积）
1
、
柱体
①
棱柱
②
圆柱
2
、
锥体
h
h
S
侧
c
h
S
全
2
S
底
S
< br>侧
S
S
1
‘
c
底
h
2
1
②
圆锥：
S
圆锥侧
c
底
l
2
①
棱锥：
S
棱锥侧
S
全
S
底
S
侧
h
S
h
S
3
、
台体
‘
1<
/p>
2
1
②
圆台：
S
棱台侧
<
/p>
(
c
上底
c
下底
)
l
2
①
棱台：
S
棱台侧
(
c
上底
c
下底
)
h
S
全
S
上
S
侧
S
下
4
、
球体
S
上
S
上
①
球：
S<
/p>
球
4
r
2
②
球冠：略
③
球缺：略
二、
体积
1
、
柱体
h
'
l
S
下
S
下
①
棱柱
②
圆柱
2
、
锥体
V
柱<
/p>
S
h
S
h
h
S
h
S
①
棱锥
②
圆锥
V
柱
1
3
S
h
h
S
3
、
台体
1
(<
/p>
S
上
S
下
S
下
)
3
h
S
上
1
2
2
(
V
圆台
3
h
r
上
r
上
r
下
r
下
)
①
棱台
②
圆台
4
、
球体
V
台<
/p>
S
上
S
上
h
'
h
l
4
①
球：
V
球
r
3
3
S
下
S
下
②
球冠：略
③
球缺：略
说明：棱锥、棱台计算侧面
积时使用侧面的斜高
h
计算；而圆锥、圆台的
< br>侧面积计算时使用母线
l
计算。
三、
拓展提高
1
、
祖暅原理：
（祖暅：祖冲之的儿子）
'
夹在两个平行平面间的两个
几何体，如果它们在任意高度上的平行截
面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。
2
、
阿基米德原理：
（圆柱容球）
圆柱容球原理：
在一个高和底面直径都是
2<
/p>
r
的圆柱形容器装一个最大的球
体，则该
球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的
。
2
3
分析：圆柱体积：
V
圆柱
< br>
S
h
(
r
)
2
r
2
r
2
3
圆柱侧面积：
S
圆柱侧
c
2
3
h
(
2
< br>r
)
2
r
4
r
2
因此：球体体积：
V
球
2
r
3
r
3
球体表面积：
S
球
4
r
2
通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）
+
=
即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同
直径的球体
积之和
3
、
台体体积公式
1
(
3
h
S
上
4
3
公式
：
V
台
S
S
上
下
S
下
)
证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形
ABCD
。
延长两侧棱相
交于一点
P
。
设台体上底面积为
S
上
，下底面积为
S
下
高为
h
。
<
/p>
易知：
PDC
∽
PAB
，设
PE
h
1
，
则
PF
h
1
h
CD
PE
由相似三角形的性质得：
AB
PF
P
D
E
C
A
F
B
即：
S
S
上
下
h
1
h
h
1
(
相似比等于面积比的算术平方根
)
整理得：
h
1
S
h
S<
/p>
S
上
下
上
又因为台体的体积
=
大锥体体积—小锥体体积
∴
V
台
1
1
1
1
（
）
< br>
(
)
3
S
下
h
1
h
3
S
上
h
1
3
h
1
S
下
S
上
3
S
< br>下
h
代入：
h
< br>1
即：
V
台
∴
V
台
4
、<
/p>
1
3
S
h
S
S
上
下
得：
V
台
上
1
< br>3
S
h
(
S
S
S
上
下
上
S
上
)
下
1
S
下
h
3
S
< br>下
)
S
h
上
(
S
下
S
上
)
1
1
(
3
S
下
h
3
h
< br>S
上
S
S
上
下
1
(
S
上
h
3
S
S
上
下
S
下
)
球体体积公式推导
分析
：将半球平行分成相同高度的若干层（
n
层
）
，
n
越大，每一层越近似于
圆柱，
n
<
/p>
时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为
，则：
每个圆柱的体积
V
i
S
i
h<
/p>
=
r
i
2
半球的体积等于这些圆柱的体积之和。
r
n
r
n
0
[
1
0
]
r
)
r
(
)
r
n
n
1
< br>
[
1
1
]
r
r
(
r
)
r
(
)
n
n
2
2
r
r
< br>(
r
)
r
[
1
(
)
]
n
n
2
1
2
2
r
(
2
2
2
< br>2
2
r
2
2
2
2
2
2
o
r
1
2
2
2
3
……
n
1
n
1
r
)
r
[
1
(
)
]<
/p>
r
r
(
n
n
2
n
2
2
2
2
2
∴半球体积为：
V
半球
V
n
(
r
< br>1
2
r
2
......
r
n
)
2
r
n
0
1
n
1
r<
/p>
2
=
r
{
n
1
[
(
)
.
(
)
.....
(
)
]}
< br>n
=
n
r
3
2
2
2
n
1
2
0
[
n
2
2
n
n
2
......
(
n
1
)
2
n
2
]
1
(
n
1
)
n
(
2
n<
/p>
1
)
3
(
n
1
)(
2
n
1
)
3
< br>6
=
r
[
n
]
[
1
]
r
2
2
n
6
n
n
1
1
(
1
< br>
)(
2
)
3
n
n
]
r<
/p>
[
1
6
1
当
n
时，
0
n
1
1
(
1
)(
< br>2
)
n
n
]
3
(
1
1
2
)
2
3
∴
V
半球
r
3
[
1
r
6
6
3
r
4
∴球
体积为：
V
球
r
3
3
5
、
球体表面积公式推导
分析：球体可以
切割成若干（
n
个
）近似棱锥，当
n
时，这些
棱锥的高
为球体半径，
底面积为球面面积的
，
则每一个棱锥的体积
V
1
则所有的小棱锥体积之和为球体体积。即
有：
∴
S
球
4
r
2
6
、
1
4
3
n
3
n
S
球
r
3
r
1
< br>n
1
1
，
S
球
r
3
n
1
S
球
n
o
正六面体（正方体）与正四面体
（
1
）
体
积关系
如图：正方体切下四个三棱锥后，
剩下的部分为正四面体
设正方体棱长
为
a
，
则其
体积为：
V
正方体
< br>a
四个角上切下的每一个三棱锥体积为：
3
V
三棱锥
1
3
S
h
1
1
2
1
3
(
a
)
< br>a
a
3
2
6
中间剩下的正四面体的体积为
：
1
V<
/p>
正三棱锥
3
S
h
1
1
[
(
3
2
2
a
)
2
sin
60
]
(
2
a
)
2
(
2
2
a
3
)<
/p>
3
2
2
1
3
3
a
这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体
即：
1
3
1
< br>3
3
4
a
a
a
6
3
（
2
）
外
接球
正方
体与其体最大的正四面体有相同的外接球。
（理由：过不共面的四
点确定一个球。
）正方体与其体最大的正面体有四个公共顶点。所以它
们共球。
回顾：
①
两点定线
②
三点定面
③
三点定圆
④
四点定球
如图：
(a)
正方体的体对角线
=
球直径
(b)
正四面体的外接球半径
=
高
(c)
正四面体
的棱长
=
正方体棱长
2
(d)
正方体体积：正四
面体体积
=3
：
1
(e)
正方体外接球半径与
正四面体外接球半径相等
（
3
）
正
方体的切球与正四面体的关系
3
4
（
a
）
正
方体切球直径
=
正方体棱长
（
b
）
正
方体切球与正四面体的四条棱相切。
（
c
）
与
正四面体四条棱相切的球半径
=
正方体棱长的一半
（
d
）
设
正四面体棱长为
a
，则与其棱都相切的球半径为
r
1
有：
r
1
<
/p>
7
、
1
2
a
2
2
a
4
利用祖暅原理推导球体体积。
构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物
体体积相等
。
证明：
作如下构造：
在底面半径和高都是
r
的圆柱挖去一个与圆柱等底等
高
的圆锥。如图：
在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究，设圆柱和半球底面半
径均为
R
，截面高度均为
h
，倒圆锥的截面半径为
r
锥
< br>1
，半球截面半径为
h
r
r
锥
1
球
1
h
R
r
球
1
，
2
则：挖去圆锥后的组合体的截面为：
S
1
R
2
r
锥
1
2
半球截面面积为：
S
2
r
球
1
∵倒圆锥的底面半径与高相等，由相似三角形易
得：
r
锥
1
h
在半球，由勾股定理易得：
r
球
1
2
R
2
h
2
∴
S
1
R
2
h<
/p>
S
2
R
2
<
/p>
h
2
即：
S
1
S
2
，也就是说：半球与挖去倒圆锥后有圆柱在
相同的高度上有相
同的截面。
由祖暅
原理可得：
V
1
V
2
2
3
2
4
即，球体体积：
V
球
2
R
3
3
3
所以
半球体积：
V
半球
< br>Sh
Sh
< br>Sh
R
2
R
R
3<
/p>
1
3
2
3
2
3
R
3
8
、
正方体与球
（
1
）
正
方体的切球
正方体的棱长
a
球体的直径
d
V
正方体
a
3
d
4
4
1
3
3
V
球
r
(
)
a
3
3
6
2
3
V
正方体
：
V
球
6
:
（
2
）
正
方体的外接球
正方体的体
对角线
3
a
球体的直径
d
V
球
d
3
3
4
4
3
(
)
< br>2
a
3
r
3
2
3
V
球
：
<
/p>
V
正方体
3<
/p>
:
2