小升初奥数专题训练
-
教学目标
第一讲
数的整除问题
数的整除性是数论的基础内容，
学生能否熟练掌握该内容对以后进
一步深入学习数论至关重要
.
本讲需要教授的内容有：
1
、掌握并熟练运用能被
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
9
、
11
等整除的自然数性质，这类知
识在（Ⅰ、Ⅱ类）题中运用很多
.
2
、训练学生对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（
1
11
、
1001
等）
< br>的分解情况对于解决（Ⅲ类）有很大的帮助
.
3
、自然数乘法末位数规律
.
4
、基础好的学生还应该掌握分式的化简方法
.
基本概念和知识点
1
．整除——约数和倍数
一般地，
如
a
、
b
、
c
为整数，
b
≠
0
，且
a
÷
b
=
c
，即整数
a
除以整数
b
（
b
≠
0
）
，
除得的商<
/p>
c
正好是整数而没有余数
（或者说余数是
0
）
，
我们就
说，
a
能被
b
整除
（或
者说
b
能整除
a
）
。记作
< br>b
︱
a
。否则，称为
a
不能被
b
整除（或
b
不能整除
a
）<
/p>
。
如果整数
a
能被整数
b
整除，
a
就叫做
b
的倍数，
b
就叫做
a
的约数（或因数
）
。
2
．数的整除性质
< br>性质
1
：如果
a
、
b
都能被
c
整除，那么它们的和与差也能被
c
整除。
性质
2
：如果
b
与
c
的积能整除
a
，那么
b
与
c
都能整除
a
。
性质
3
：如果<
/p>
b
、
c
都能整除
a
，且
b
和<
/p>
c
互质，那么
b
与
c
的积能整除
a
。
性质
4
：如果
c
能整除
b
< br>，
b
能整除
a
< br>，那么
c
能整除
a
。
3
．数的整除特征
①
能被
2<
/p>
整除的数的特征：个位数字是
0
、
2
、
4
、
6
、
8
的整数。
②
能被
5
整除的数的特征：个位是
0
或
5
。
③
能被
3<
/p>
（或
9
）整除的数的特征：各个数位数字
之和能被
3
（或
9
）整除。
④
< br>能被
4
（或
25
）整除的数的特征：末两位数能被
4
（或
25
）整除。
⑤
能被
8<
/p>
（或
125
）整除的数的特征：末三位数
能被
8
（或
125
）整除。
⑥
< br>能被
11
整除的数的特征：
这个
整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的
数字之和的差（大减小）是
11
的倍数。
⑦
能被
7<
/p>
（
11
或
13<
/p>
）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数
字所组
成的数之差（以大减小）能被
7
（
11
或
13
）整除。
4.
部分特殊数的分解
111=3
×
37
；
1001=7
×
11
×
13
；
11111=41
×
271<
/p>
；
10001=73
×
137
；
1995=
3
×
5
×
7<
/p>
×
19
；
1998=2
×
3
×
< br>3
×
3
×
37
；
2007=3
×<
/p>
3
×
223
；<
/p>
2008=2
×
2
×
2
×<
/p>
251
；
2007+2008=4
015=5
×
11
×
< br>73; 10101=3
×
7
< br>例题详解
×
13
×
37.
【例
1
】
（全国希望杯数学邀请赛）若四位数
9a8a
能被
15
整
除，则
a
代表的数字
是
．
【例<
/p>
2
】
把三位数
3
ab
接连重复地写下去，共写
1993
个
3
ab
，所
得的数
是
91
的倍数，求
ab
=
？
<
/p>
【例
3
】
如果有
一个九位数
A1999311B
能被
72
整除，试求
A
、
< br>B
两数的差
(
大减小
)
．
【例
4
】
(
< br>2003
年祖冲之杯小学数学邀请赛
)
< br>三个连续自然数的和能被
13
整除
,
且三
个数中最大的数被
9
除余
4,
那么符合条件的最小的三个数是
_____,________,_______
< br>【例
5
】
要使
< br>15ABC6
能被
36
整除，而
且所得的商最小，那么
A
、
B
、
C
分别是多少？
<
/p>
3
ab
3
ab<
/p>
...3
ab
(1993
个
3
ab
)
< br>恰