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2021年2月21日发(作者：北京石油化工学院地址)

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1..3.2

球的体积和 表面积（

1

）

设球的半径为

R

，将半径

OAn

等分，过这些分点作平

面把半球切割成

n

层，每一层都是近似于圆柱形状的“小

圆片”

< br>，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。

由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近

似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度

就是“小圆片”的下底面 。

由勾 股定理可得第

i

层（由下向上数）

“小 圆片”的下底面半径：

R

n

，底面

R

r

i



R

2



[

(

i



< br>1

)]

2

n

，

（

i

＝

1,2,3

，···，

n

）

< p>

第

i

层“小圆片”的体 积为：

R

2

V

≈

π

r

i< /p>

·

n

＝



R

3





< p>
i



1







1





n



n







2

< /p>

（

i

＝

1,2, 3

，···，

n

）



，





半球的体积：

V

半径＝

V

1

＋

V

< br>2

＋···＋

Vn

< p>
≈



R

3

1

2

{

1

＋（

1

－

2

n

n

2

2

） ＋（

1

－

2

n

(

n



1

)

2

）＋···＋［

1

－

n

2

］

（注：

1

2

］

}

＝



R

3

1

2



2

2











< br>(

n



1

)

2

［

n

－

n

n

2



2

2











n

2



1

n

< br>(

n



1

)(

2

n



1

)

）

6< /p>

1

1





(

1



)(

2



)







R

1

< br>(

n



1

)

n

(

2

n



1

)

(

n



1

)(

2

n



1

< p>
)

3

3

n

n

＝

［

n

－

2



＝



R

(

1< /p>



）＝



R



1





2

n

6

6

n

6

n



< br>









3

①

当所分的层数不断增加，也就是说 ，当

n

不断变大时，①式越来越接近于半球的

< br>

体积，如果

n

无限变大，就能 由①式推出半径的体积。

事实上，

n

增大，

V

半径

1

1

就越 来越小，当

n

无限大时，

趋向于

0

，这时，有

n< /p>

n

2

3

4

3

＝



R

< p>
，所以，半径为

R

的球的体积为：

V

＝



R

3

3

1

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